切片定理

交差定理（タレスの定理、基本比例定理、または辺分割定理とも呼ばれる）は、共通の始点を持つ2 つの半直線が一対の平行線によって交差する場合に生成されるさまざまな線分の比率に関する初等幾何学の重要な定理です。これは相似三角形の比率に関する定理と同等です。伝統的にギリシャの数学者タレスに帰せられています。古代バビロニア人やエジプト人には知られていましたが、その最初の証明はユークリッドの『原論』に登場します。幾何学的に相似な形状を生成する機械装置はパンタグラフとして知られています。

定理の定式化

{\displaystyle {\tfrac {|SA|}{|SB|}}={\tfrac {|AC|}{|BD|}}} — ${\tfrac {|SA|}{|SB|}}={\tfrac {|AC|}{|BD|}}$ $ACが$ $BD$ と平行であるとは必ずしも言えません。

S を 2 つの光線の共通の始点とし、2 つの平行線がそれらの 2 つの光線と交差しているとします (図を参照)。A、B を最初の光線と 2 つの平行線との交点とし、B は S から A よりも遠いとします。同様に、C、D を 2 番目の光線と 2 つの平行線との交点とし、D は S から C よりも遠いとします。この構成では、次の記述が成り立ちます。^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

第１光線上の任意の２つの線分の比は、第２光線上の対応する線分の比に等しい。 ${\frac {|SA|}{|AB|}}={\frac {|SC|}{|CD|}}$ 、 ${\frac {|SB|}{|AB|}}={\frac {|SD|}{|CD|}}$ 、 ${\frac {|SA|}{|SB|}}={\frac {|SC|}{|SD|}}$
点Sから始まる同一光線上の2つの線分の比は、平行線上の線分の比に等しい。 ${\frac {|SA|}{|SB|}}={\frac {|SC|}{|SD|}}={\frac {|AC|}{|BD|}}$
最初の記述の逆もまた真である。つまり、2 つの光線が 2 つの任意の直線によって遮られ、 ${\frac {|SA|}{|AB|}}={\frac {|SC|}{|CD|}}$ が成り立つ場合、交差する2本の直線は平行である。しかし、2番目の命題の逆は成り立たない（反例については図を参照）。

補足事項と結論

最初の2つの記述は、2つの光線が交差する2本の直線に置き換えられた場合でも真のままです。 $S$ この場合、2 つのシナリオがあります。 $S$ 2つの平行線の間にある場合（X図）、ない場合（V図）のどちらかです。 $S$ が2つの平行線の間に位置しない場合、元の定理が直接適用されます。 $S$ 2 つの平行線の間にあるので、 $A$ そして $C$ で $S$ 元の定理が適用される同一の尺度を持つV図が得られる。^{[ 2 ]}

しかし、3番目の命題（逆）は、光線ではなく直線の場合には真とはならない。^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}ただし、長さの比を有向線分の 符号付き比に置き換えると、逆を含む切片定理のすべての命題は直線に対しても有効となる。より正確には、 $A$ そして $B$ は直線上の 2 つの点であり、 $C$ そして $D$ 2点が同じ線上にあるか平行線上にある場合、符号付き比 ${\textstyle {\frac {AB}{CD}}}$ は ${\textstyle {\frac {|AB|}{|CD|}}}$ 方向が $A$ に $B$ 方向は $C$ に $D,$ そしてそれは ${\textstyle -{\frac {|AB|}{|CD|}}}$ そうでなければ。^{[ 3 ]}

開始点が 2 線を超える場合 $S$ または2本以上の線が交差している $S$ すると、各平行線には複数の線分が含まれ、一方の平行線上の2つの線分の比は、もう一方の平行線上の対応する線分の比に等しくなります。たとえば、3番目の光線がから始まっている場合 $S$ そして、平行線を交差させて $E$ そして $F$ 、したがって $F$ より遠く $S$ よりも $E$ すると、次の等式が成り立つ。^{[ 4 ]}

{\frac {|AE|}{|BF|}}={\frac {|EC|}{|FD|}}

、

{\frac {|AE|}{|EC|}}={\frac {|BF|}{|FD|}}

2番目の式についても逆が成り立ちます。つまり、3本の光線が2本の直線によって交差し、それぞれの直線上の対応する線分の比率が等しい場合、それらの2本の直線は平行でなければなりません。^{[ 4 ]}

アプリケーション

コンパスと定規を用いた作図の代数的定式化

初等幾何学には、ギリシャ人がコンパスと定規を使った作図の観点から提起した有名な問題が３つあります。^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}

これら3つの問題が最終的に不可能であることが証明されるまでには、2000年以上もの歳月を要しました。これは19 世紀に、当時利用可能になっていた代数的手法の助けを借りて達成されました。体拡張を用いてこれら3つの問題を代数的に再定式化するには、体演算をコンパスと定規による作図と対応させる必要があります（作図可能数を参照）。特に重要なのは、与えられた2つの線分に対して、長さが他の2つの線分の長さの積に等しくなるような新しい線分を作図できることを保証することです。同様に、長さの線分に対して、 $a$ 長さの新しい線分 $\displaystyle a^{-1}}$ 切片定理を用いると、どちらの場合もそのような構成が可能であることを示すことができる。

線分を所定の比率で分割する

任意の線分を分割する ${\overline {AB}}$ で $m:n$ 比率、Aに任意の角度を描画します ${\overline {AB}}$ 片方の脚として。もう一方の脚の構造 $m+n$ 等間隔の点を描き、最後の点とBを通る直線とm番目の点を通る平行線を引きます。この平行線は ${\overline {AB}}$ 所望の比率で。次の図は線分の分割を示しています。 ${\overline {AB}}$ で $5:3$ 比率。^{[ 8 ]}

計測と調査

クフ王のピラミッドの高さ

いくつかの歴史的資料によると、ギリシャの数学者タレスは、クフ王のピラミッドの高さを決定するために切片定理を適用した。以下の説明は、ピラミッドの高さを計算するための切片定理の使用法を示している。ただし、これは失われたタレスの元の研究を記述したものではない。^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}

タレスはピラミッドの底辺の長さと、測量棒の高さを測った。そして同じ時刻に、ピラミッドの影の長さと測量棒の影の長さを測った。その結果、以下のデータが得られた。

ポールの高さ（A）：1.63m
電柱の影（B）：2m
ピラミッドの底辺の長さ：230メートル
ピラミッドの影：65メートル

これから彼は計算した

C=65~{\text{m}}+{\frac {230~{\text{m}}}{2}}=180~{\text{m}}

A、B、Cがわかったので、切片定理を適用して計算することができた。

D={\frac {C\cdot A}{B}}={\frac {1.63~{\text{m}}\cdot 180~{\text{m}}}{2~{\text{m}}}}=146.7~{\text{m}}

川の幅を測る

切片定理は、川や湖の幅、高層ビルの高さなど、直接測定できない距離を求めるのに使用できます。右の図は、川の幅を測定する例を示しています。 $|CF|$ 、 $|CA|$ 、 $|FE|$ 測定され、目的の距離を計算するために使用されます。 $|AB|={\frac {|AC||FE|}{|FC|}}$ 。

三角形と台形における平行線

切片定理は、ある作図によって平行線（線分）が得られることを証明するために使用できる。

歴史的側面

この定理は伝統的にギリシャの数学者ミレトスのタレスに帰せられており、彼はエジプトのピラミッドの高さを決定したり、船と海岸との距離を計算したりするために、この定理の何らかの形を使用した可能性がある。^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}

証拠

この定理の初歩的な証明では、面積が等しい三角形を用いて比率に関する基本的な命題（主張1）を導き出します。他の主張は、最初の主張と矛盾を適用することによって導き出されます。^{[ 1 ]}

請求項１

請求項２

請求項３

注記

1 2 Schupp、H. (1977)。Elementargeometry (ドイツ語)。 UTBシェーニン。124 ～ 126ページ。ISBN 3-506-99189-2。
1 2シュトラレンザッツェ。で: Schülerduden: Mathematik I。 Dudenverlag、第 8 版、マンハイム、2008 年、431 ～ 433 ページ (ドイツ語)
1 2アグリコラ、イルカ；フリードリヒ、トーマス（2008）。初等幾何学。AMS。pp . 10–13、16–18。ISBN 0-8218-4347-8。（オンライン版、10ページ、Googleブックス）
1 2 3 Lorenz Halbeisen、 Norbert Hungerbühler、Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie。 Springer 2016、 ISBN 9783662530344、191～208ページ（ドイツ語）
↑アグリコラ/トーマス、または次の図を参照。
${\tfrac {|SA|}{|SB|}}={\tfrac {|SC|}{|SD|}}$ $ACが$ $BD$ と平行であるとは必ずしも言えません。
↑カザリノフ、ニコラス・D. (2003) [1970]、『定規と円』、ドーバー出版、3ページ、ISBN 0-486-42515-0
↑クンツ、エルンスト (1991)。代数(ドイツ語)。見るeg。5 ～ 7ページ。ISBN 3-528-07243-1。
↑オスターマン、アレクサンダー；ワナー、ゲルハルト（2012）。『幾何学の歴史』。シュプリンガー。6-7頁。ISBN 978-3-642-29163-0。
↑タレスのオリジナルの著作は現存していません。彼に交差定理や関連する知識を帰する歴史的資料はすべて、彼の死後数世紀経ってから書かれたものです。ディオゲネス・ラエルティオスとプリニウスは、厳密には交差定理を必要とせず、単純な観察、つまり一日のある時点で物体の影の長さがその高さと一致するという観察のみに依拠できる説明をしています。ラエルティオスは、哲学者ヒエロニムス（紀元前3世紀）のタレスに関する次の言葉を引用しています。「ヒエロニムスは、タレスがピラミッドの高さを、影の長さが私たち自身の高さと同じになる時刻に観察することで、ピラミッドが落とす影によって測定したと述べている。」プリニウスは次のように書いています。「タレスは、物体とその影の長さが等しい時刻に物体の影を測定することによって、ピラミッドやその他の同様の物体の高さを得る方法を発見した。」しかし、プルタルコスは、タレスが交差定理、あるいは少なくともその特殊な場合を知っていたことを示唆する記述を残している。「…何の苦労もなく、いかなる道具の助けも借りずに、ピラミッドが落とす影の端に棒を立て、太陽光線の交差によって2つの三角形を作り、…ピラミッドと棒の比率が、ピラミッドの影と棒の影の比率と同じであることを示した。」（出典：マクチューターのタレス伝、プルタルコスとラエルティオスの（翻訳された）原著は、『モラリア』、『七賢人の晩餐』 147A、『哲学者列伝』第1章タレス、第27節）
↑ハーバート・ブルーデラー著『アナログおよびデジタルコンピューティングのマイルストーン』、シュプリンガー、2021年、 ISBN 9783030409746、214～217ページ
↑ディートマー・ヘルマン：古代数学。古代ギリシャとヘレニズムにおける数学の歴史、シュプリンガー、2022年、 ISBN 978-3-662-66493-327-36ページ
↑ Francis Borceux: An Axiomatic Approach to Geometry . Springer, 2013, pp. 10–13
↑ジル・ドウェック著『計算、証明、機械』ケンブリッジ大学出版局、2015年、 ISBN 978052111801917-18ページ
↑ Lothar Redlin、Ngo Viet、Saleem Watson: "Thales' Shadow", Mathematics Magazine、第73巻、第5号（2000年12月）、347-353ページ（ JSTOR）

参考文献

French, Doug (2004).幾何学の教授と学習. ブルームズベリー. pp. 84–87 . ISBN 9780826473622。（オンライン版、84ページ、Googleブックス）
アグリコラ、イルカ；フリードリヒ、トーマス（2008）。初等幾何学。AMS。pp. 10–13、16–18。ISBN 0-8218-4347-8。（オンライン版、10ページ、Googleブックス）
スティルウェル、ジョン（2005）。幾何学の四つの柱。シュプリンガー。34ページ。ISBN 978-0-387-25530-9。（オンライン版、34ページ、Googleブックス）
オスターマン、アレクサンダー；ワナー、ゲルハルト（2012）。『幾何学の歴史』。シュプリンガー。3-7頁。ISBN 978-3-642-29163-0。（オンライン版、3ページ、Googleブックス）
Lorenz Halbeisen、Norbert Hungerbühler、Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie。 Springer 2016、ISBN 9783662530344、191～208ページ（ドイツ語）

外部リンク

PlanetMathのインターセプト定理
アレクサンダー・ボゴモルニー：タレスの定理、特にカット・ザ・ノットにおけるタレスの定理
切片定理インタラクティブ

[Schupp-1] 1 2 Schupp、H. (1977)。Elementargeometry (ドイツ語)。 UTBシェーニン。124 ～ 126ページ。ISBN 3-506-99189-2。

[Duden-2] 1 2シュトラレンザッツェ。で: Schülerduden: Mathematik I。 Dudenverlag、第 8 版、マンハイム、2008 年、431 ～ 433 ページ (ドイツ語)

[Agricola-3] 1 2アグリコラ、イルカ；フリードリヒ、トーマス（2008）。初等幾何学。AMS。pp . 10–13、16–18。ISBN 0-8218-4347-8。（オンライン版、10ページ、Googleブックス）

[Halbeisen-4] 1 2 3 Lorenz Halbeisen、 Norbert Hungerbühler、Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie。 Springer 2016、 ISBN 9783662530344、191～208ページ（ドイツ語）

[ce-5] アグリコラ/トーマス、または次の図を参照。
${\tfrac {|SA|}{|SB|}}={\tfrac {|SC|}{|SD|}}$ $ACが$ $BD$ と平行であるとは必ずしも言えません。

[6] カザリノフ、ニコラス・D. (2003) [1970]、『定規と円』、ドーバー出版、3ページ、ISBN 0-486-42515-0

[Kunz-7] クンツ、エルンスト (1991)。代数(ドイツ語)。見るeg。5 ～ 7ページ。ISBN 3-528-07243-1。

[Ostermann-8] オスターマン、アレクサンダー；ワナー、ゲルハルト（2012）。『幾何学の歴史』。シュプリンガー。6-7頁。ISBN 978-3-642-29163-0。

[mactutor-9] タレスのオリジナルの著作は現存していません。彼に交差定理や関連する知識を帰する歴史的資料はすべて、彼の死後数世紀経ってから書かれたものです。ディオゲネス・ラエルティオスとプリニウスは、厳密には交差定理を必要とせず、単純な観察、つまり一日のある時点で物体の影の長さがその高さと一致するという観察のみに依拠できる説明をしています。ラエルティオスは、哲学者ヒエロニムス（紀元前3世紀）のタレスに関する次の言葉を引用しています。「ヒエロニムスは、タレスがピラミッドの高さを、影の長さが私たち自身の高さと同じになる時刻に観察することで、ピラミッドが落とす影によって測定したと述べている。」プリニウスは次のように書いています。「タレスは、物体とその影の長さが等しい時刻に物体の影を測定することによって、ピラミッドやその他の同様の物体の高さを得る方法を発見した。」しかし、プルタルコスは、タレスが交差定理、あるいは少なくともその特殊な場合を知っていたことを示唆する記述を残している。「…何の苦労もなく、いかなる道具の助けも借りずに、ピラミッドが落とす影の端に棒を立て、太陽光線の交差によって2つの三角形を作り、…ピラミッドと棒の比率が、ピラミッドの影と棒の影の比率と同じであることを示した。」（出典：マクチューターのタレス伝、プルタルコスとラエルティオスの（翻訳された）原著は、『モラリア』、『七賢人の晩餐』 147A、『哲学者列伝』第1章タレス、第27節）

[Bruderer-10] ハーバート・ブルーデラー著『アナログおよびデジタルコンピューティングのマイルストーン』、シュプリンガー、2021年、 ISBN 9783030409746、214～217ページ

[Herrmann-11] ディートマー・ヘルマン：古代数学。古代ギリシャとヘレニズムにおける数学の歴史、シュプリンガー、2022年、 ISBN 978-3-662-66493-327-36ページ

[Borceux-12] Francis Borceux: An Axiomatic Approach to Geometry . Springer, 2013, pp. 10–13

[Dowek-13] ジル・ドウェック著『計算、証明、機械』ケンブリッジ大学出版局、2015年、 ISBN 978052111801917-18ページ

[Redlin-14] Lothar Redlin、Ngo Viet、Saleem Watson: "Thales' Shadow", Mathematics Magazine、第73巻、第5号（2000年12月）、347-353ページ（ JSTOR）

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切片定理

定理の定式化

補足事項と結論

関連概念

同位体

相似と相似三角形

ベクトル空間におけるスカラー乗算