ヘルマート変換

ヘルマート変換（フリードリヒ・ロベルト・ヘルマート、1843年- 1917年）は、測地学において基準面間の変換を計算するために用いられる、幾何学的相似のパラメータ化手法である。ヘルマート変換は、 7パラメータ変換とも呼ばれる。

ヘルマート変換は次のように表すことができます。

${\displaystyle X_{T}=C+\mu RX\,}$

どこ

• Xは座標ベクトルで表される初期点である。
• X _Tは点変換されたベクトルです

パラメータは以下のとおりです。

• C –座標軸に沿った移動を表す成分を持つ並進ベクトル
• μ –スケールファクター。百万分率で表す場合は、1,000,000で割って1を加える必要がある。
• Rは回転行列であり、測地線の観点から角度が小さい3つの座標軸を中心とした3つの回転r _x、r _y、r _zに分解されます。

ヘルマート変換は、測地学において、ある座標系から別の座標系へ点の座標を変換するために用いられる。これを用いることで、地域測量地点をGPSで使用されるWGS84座標系に変換することが可能になる。

例えば、ガウス・クリューガー座標から始めて、xとy、そして高さhは、段階的に3D値に変換されます。

1. 地図投影を元に戻す：楕円体の緯度、経度、高さ（W、L、H）の計算
2. 測地座標から地心座標への変換：測量の基準楕円体に対するx、y、zの計算
3. 7パラメータ変換（x、y、zはほとんどの場合、最大でも数百メートル変化し、距離は1kmあたり数ミリメートル変化する）。
4. このため、地上で測定した位置をGPSデータと比較することができ、これらのデータを逆の順序で変換した新しい点として測量に取り込むことができる。

3番目のステップは、回転行列の適用とスケールファクターとの乗算から成ります。${\displaystyle \mu =1+s}$（1に近い値）と3つの並進c _x、c _y、c _zの追加。

基準系 B の座標は、基準系 A から次の式で導出されます (位置ベクトル変換規約と非常に小さな回転角の簡略化): ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}}^{B}={\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}+(1+s\times 10^{-6})\cdot {\begin{bmatrix}1&-r_{z}&r_{y}\\r_{z}&1&-r_{x}\\-r_{y}&r_{x}&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}}^{A}}$

または、座標の各パラメータごとに：

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{B}&=c_{x}+(1+s\times 10^{-6})\cdot (X_{A}-r_{z}\cdot Y_{A}+r_{y}\cdot Z_{A})\\Y_{B}&=c_{y}+(1+s\times 10^{-6})\cdot (r_{z}\cdot X_{A}+Y_{A}-r_{x}\cdot Z_{A})\\Z_{B}&=c_{z}+(1+s\times 10^{-6})\cdot (-r_{y}\cdot X_{A}+r_{x}\cdot Y_{A}+Z_{A}).\end{aligned}}}$

逆変換の場合、各要素に-1を掛けます。

7つのパラメータは、両システムで3つ以上の「同一点」を持つ各領域について決定されます。両者の値を一致させるために、わずかな不一致（通常は数センチメートル程度）は最小二乗法を用いて調整されます。つまり、統計的に妥当な方法で不一致が解消されるのです。

変換パラメータが不明な場合は、参照点（つまり、変換前後の座標が既知の点）を使用して計算できます。合計 7 つのパラメータ（3 つの並進、1 つのスケール、3 つの回転）を決定する必要があるため、少なくとも 2 つの点と、3 番目の点の 1 つの座標（たとえば、Z 座標）がわかっている必要があります。これにより、7 つの方程式と 7 つの未知数を持つシステムが得られ、これを解くことができます。

任意の点の近傍における等角写像間の変換については、ヘルマート変換パラメータは変換関数のヤコビ行列から正確に計算できる。

実際には、より多くの点を用いるのが最善である。この対応関係により精度が向上し、結果の統計的評価が可能となる。この場合、ガウス最小二乗法を用いて計算を調整する。

変換パラメータの精度を示す数値は、基準点における値を計算し、その結果を各点の重心に対して重み付けすることによって得られる。

この手法は数学的に厳密ではあるものの、使用されるパラメータの精度に完全に依存します。実際には、これらのパラメータはネットワーク内の少なくとも3つの既知の点を含めることによって計算されます。しかし、これらの点には観測誤差が含まれるため、その精度は後続の変換パラメータに影響を与えます。したがって、「現実世界」における変換は最良の推定値にすぎず、その品質を統計的に評価する必要があります。

• 地理座標変換
• プロクルステス分析
• 測量

• PROJ座標変換ソフトウェアにおけるヘルマート変換
• ヘルマート変換の計算（ 2022年9月13日、 Wayback Machineにアーカイブ済み）