RNS形式

弦理論において、ラモンド・ネヴー・シュワルツ (RNS) 形式主義は、世界面が明示的な超共形不変性を持つが時空超対称性は隠されている超弦を定式化するアプローチであり、後者が明示されているグリーン・シュワルツ形式主義とは対照的である。これはもともと 1971 年にピエール・ラモンド、アンドレ・ネヴー、ジョン・シュワルツによってRNS モデルで開発され、^{[1] [2]}タイプ II 弦理論を生み出し、タイプ I 弦理論も与えることができる。この形式主義では、異なる世界面作用を使用することでヘテロティック弦理論も取得できる。この枠組みの中で弦を量子化する方法は様々で、光円錐量子化、古い標準量子化、BRST 量子化などがある。矛盾のない弦理論は、状態のスペクトルがGSO 射影と呼ばれる手順によって制限される場合にのみ取得され、^[3]この射影はグリーン・シュワルツ形式主義に自動的に存在する。

1968年に4つの中間子の散乱を記述するヴェネツィアーノ振幅が発見され、これらの散乱振幅を任意の数の中間子による散乱に一般化する二重共鳴モデルの研究が開始された。 ^{[4] [5]}これらは量子場理論ではなくS行列理論であるが、南部陽一郎、ホルガー・ベック・ニールセン、レナード・サスキンドは、中間子が有限の長さの弦として振る舞うという弦の解釈を与えた。

1970年、ピエール・ラモンドはイェール大学で、ディラック方程式の一般化を通じて、フェルミオン の自由度を含むように二重共鳴モデルを拡張しようとしていた。^[2]これにより、彼は最初の超代数であるラモンド超代数を構築することになった。同じ頃、アンドレ・ヌヴーとジョン・シュワルツはプリンストン大学で、既存の二重共鳴モデルに反交換生成消滅演算子を追加することで拡張しようとしていた。これは当初、ボソンのみを含むモデルを生み出した。このトピックに関する2番目の論文の直後、彼らは自分たちのモデルをラモンドのフェルミオンモデルと組み合わせることができることに気づき、それを成功させて、当時は二重パイ中間子モデルと呼ばれていたラモンド・ヌヴー・シュワルツ（RNS）モデルを生み出した。^{[1] [6]}

この研究は、 1974年にスタンレー・マンデリシュタムがRNSモデルを回転する弦のモデルとして再解釈するまで、弦を参照することなくハドロン物理学のみを念頭に置いて行われました。ジョエル・シャークとジョン・シュワルツは、モデルのスピン-2粒子が重力子として振る舞うことを示し、それがハドロンだけでなく素粒子を記述する可能性があることを初めて示唆しました。^[7]

当時、RNSモデルの主な問題は、最低エネルギー状態としてタキオンが含まれていたことであった。1976年にフェルディナンド・グリオッツィ、ジョエル・シェルク、デビッド・オリーブによるGSO投影の導入によって、初めて一貫したタキオンフリーの弦理論が構築された。^[3]

RNS形式は、ボゾン場とフェルミオン場の両方がワールドシート上にある時空に埋め込まれた弦ワールドシートを扱うことで弦を量子化するアプローチである。この形式で弦を量子化する方法はいくつかある。主なものは、古い共変量子化、光円錐量子化、^{[8] 、}経路積分によるBRST量子化である。^{[9] [10]}最後のアプローチは、ユークリッド 分割関数から始まる。

${\displaystyle Z=\int {\frac {1}{V_{G}}}[{\mathcal {D}}\ {\text{fields}}]e^{-S},}$

ここで、 は、その作用が依存する物理的に異なるフィールド構成の過剰カウントを表すゲージ対称群を持つワールドシート作用です。この過剰カウントは、ゲージ群の体積で割ることで除去されます。BRST 量子化は、 Fadeev-Popov 手順を介して経路積分をゲージ固定することによって進行し、これにより、ゲージ固定された作用に加えて ゴースト作用が発生します。${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle V_{G}}$

RNS モデルは、ゲージ固定時に RNS 作用と、場の非物理的な時間励起を除去するために必要な正則ゴーストと反正則ゴーストを記述するゴースト作用を与える超重力作用を使用することから生まれました。この理論の物理的状態は、フェルミオン場の周期性条件に応じていくつかのセクターに分割されます。完全な理論は矛盾しており、非物理的なタキオンを含みますが、これらのセクターのいくつかを投影すると、矛盾のないタキオンのない理論を生み出すことができます。特に、RNS モデルは、閉じた弦に対してタイプ IIA およびタイプ IIB の弦理論を生み出し、開いた弦と IIB 弦の修正バージョンを組み合わせると、タイプ I 弦理論を生み出します。代わりに超重力作用から始めると、ヘテロティック弦理論が生まれます。 ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle (1,0)}$

この形式論を用いて構築できるすべての弦理論を分類する 1 つの方法は、発生する可能性のある残差対称性代数を調べることです。つまり、ゲージ固定は常にゲージ対称性全体を完全に固定するわけではなく、代わりに、ゲージ固定作用を変更しないままにする作用を持つ、固定されていない残差対称性を残すことができます。この残差対称性に対応する代数は、制約代数として知られています。物理理論を生み出すには、この代数を、不要な状態を射影することによってヒルベルト空間に課す必要があります。物理状態とは、この代数の作用によって消滅する状態です。

例えば、ボゾン弦理論では、元々の微分同相ワイル対称性は残差共形対称性に崩壊し、生成元が応力エネルギーテンソルである共形代数を与える。すると、物理的状態、は となる状態になる。^[11]同様に、超重力作用を RNS 作用にゲージ固定すると、残差超共形代数が残る。 ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle T^{ab}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi '\rangle }$${\displaystyle \langle \psi |T^{ab}|\psi '\rangle =0}$${\displaystyle (1,1)}$${\displaystyle (1,1)}$

ユニタリー性や空間次元の正の数などの物理的条件により、許容される制約代数の数が制限される。^[12]共形代数と超共形代数の他に、許容される代数は、、および超共形代数である。前者はヘテロティック弦理論を生み出し、他の2つは低次元で矛盾はないが物理的にはあまり興味のない理論を生み出す。位相弦理論はこの分類には含まれていない。これは、完全な議論で必要とされる共形ゲージでスピン統計定理が成立しないためである。 ${\displaystyle (1,1)}$${\displaystyle (1,0)}$${\displaystyle (1,2)}$${\displaystyle (0,2)}$

弦の世界面は、2 つの座標 でパラメータ化できる 2 次元の面です。ここで はユークリッド時間を表し、ある時点における弦をパラメータ化します。閉じた弦の場合は 、開いた弦の場合は です。他の 2 つの座標系がよく使用されます。これらはで定義される複素座標、またはで定義される座標です。後者の場合、特定の時点における弦は、複素平面の原点の周りの円であり、半径が小さいほど前の時点に対応します。 ${\displaystyle (\sigma _{1},\sigma _{2})}$${\displaystyle \sigma _{2}}$${\displaystyle \sigma _{1}}$${\displaystyle \sigma _{1}\sim \sigma _{1}+2\pi }$${\displaystyle \sigma _{1}\in [0,\pi ]}$ ${\displaystyle (w,{\bar {w}})}$${\displaystyle w=\sigma _{1}+i\sigma _{2}}$${\displaystyle (z,{\bar {z}})}$${\displaystyle z=e^{-iw}}$

RNSモデルは、弦の世界面上の超共形場理論を用いて、次のような作用で 形成される。${\displaystyle (1,1)}$

${\displaystyle S_{\text{RNS}}={\frac {1}{4\pi }}\int d^{2}z{\bigg (}{\frac {2}{\alpha '}}\partial X^{\mu }{\bar {\partial }}X_{\mu }+\psi ^{\mu }{\bar {\partial }}\psi _{\mu }+{\tilde {\psi }}^{\mu }\partial {\tilde {\psi }}_{\mu }{\bigg )},}$

ここで、およびは正則で、反正則で反交換フェルミオン場であり、はボソン場である。^[12] これらのボソン場は、時空に埋め込まれた弦の世界面の座標として物理的に解釈され、 は時空の次元の数にわたって走る。平坦時空における超弦理論では、理論の一貫性にはちょうど 10 次元が必要である。偏微分は複素座標およびにおける微分である。 ${\displaystyle \psi ^{\mu }(z)}$${\displaystyle {\tilde {\psi }}^{\mu }({\bar {z}})}$${\displaystyle X^{\mu }(z,{\bar {z}})}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \partial =\partial _{z}}$${\displaystyle {\bar {\partial }}=\partial _{\bar {z}}}$

演算子は、リジッドリスケーリング の下での挙動によって分類できます。 のように変換する場合、重み を持つと言われます。2 つのフェルミオン場の重みは であり、ボソン場の重みは です。正則応力エネルギーテンソルは重み を持ち、次のように与えられます。 ${\displaystyle z'=\zeta z}$${\displaystyle {\mathcal {O}}'(z',{\bar {z}}')=\zeta ^{-h}{\bar {\zeta }}^{-{\tilde {h}}}{\mathcal {O}}(z,{\bar {z}})}$${\displaystyle (h,{\tilde {h}})}$${\displaystyle (1/2,0)}$${\displaystyle (0,1/2)}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle (2,0)}$

${\displaystyle T_{B}(z)=-{\frac {1}{\alpha '}}\partial X^{\mu }\partial X_{\mu }-{\frac {1}{2}}\psi ^{\mu }\partial \psi _{\mu }.}$

世界面超対称性の存在により、世界面超電流が生じ、その正則超電流は重みを持ち、次のように表される。 ${\displaystyle (3/2,0)}$

${\displaystyle T_{F}(z)=i{\sqrt {2/\alpha '}}\psi ^{\mu }(z)\partial X_{\mu }(z).}$

重みを持つ任意の正則演算子はローラン級数として展開できる。${\displaystyle {\mathcal {O}}(z)}$${\displaystyle (h,0)}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} +\nu }{\frac {{\mathcal {O}}_{n}}{z^{n+h}}},}$

ここで、 は、演算子が周期的か反周期的かによって、それぞれモードおよびまたはと呼ばれます。正則応力エネルギーテンソルと正則超電流は、超ヴィラソロ代数として知られる閉じた代数を形成します。応力テンソルモードが で与えられ、超電流モードが で与えられるモード展開を使用すると、代数は次の形式になります。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$${\displaystyle \nu =0}$${\displaystyle 1/2}$${\displaystyle N=1}$ ${\displaystyle L_{n}}$${\displaystyle G_{r}}$

${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {c}{12}}(m^{3}-m)\delta _{m,-n},}$

${\displaystyle \{G_{r},G_{s}\}=2L_{r+s}+{\frac {c}{12}}(4r^{2}-1)\delta _{r,-s},}$

${\displaystyle [L_{m},G_{r}]={\frac {m-2r}{2}}G_{m+r},}$

ここで、 は中心電荷です。代数は、 、が整数のときはラモンド代数、 、 が半整数のときはヌヴー・シュワルツ代数と呼ばれることがあります。閉じた弦の場合、この代数のコピーは 2 つあり、1 つは正則側、もう 1 つは反正則側ですが、開いた弦の場合はコピーは 1 つだけです。 ${\displaystyle c}$${\displaystyle r}$${\displaystyle s}$

閉じた弦は空間方向に周期的であり、この周期性は世界面に存在する場によって尊重されなければならない。ポアンカレ不変理論は周期的 を持たなければならない。フェルミオン場の場合、ローレンツ不変性は2つの境界条件、すなわち周期的または反周期的境界条件を許容し、反正則場に対しても同様の条件が適用される。これは簡潔に次のようにまとめることができる。 ${\displaystyle X^{\mu }(\sigma _{1},\sigma _{2})}$${\displaystyle \psi ^{\mu }(\sigma _{1}+2\pi ,\sigma _{2})=\pm \psi ^{\mu }(\sigma _{1},\sigma _{2})}$

${\displaystyle \psi ^{\mu }(w+2\pi )=e^{2\pi i\nu }\psi ^{\mu }(w),\ \ \ \ \ \ \ \ {\tilde {\psi }}^{\mu }({\bar {w}}+2\pi )=e^{-2\pi i{\tilde {\nu }}}{\tilde {\psi }}^{\mu }({\bar {w}}),}$

ここで、 と は互いに独立しており、 または です。周期的な場合 ( ) はラモンド (R) 境界条件として知られ、反周期的な場合 ( ) はネヴー・シュワルツ (NS) 境界条件として知られています。これにより、フェルミオンを閉じた弦上に配置する 4 つの方法が可能になり、ヒルベルト空間に NS–NS、NS–R、R–NS、および R–R セクターの 4 つのセクターが生じます。超電流の周期性は、フェルミオンの周期性から継承されます。 ${\displaystyle \nu }$${\displaystyle {\tilde {\nu }}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1/2}$${\displaystyle \nu =0}$${\displaystyle \nu =1/2}$

開弦の場合、境界条件は運動方程式の表面項が消えることを要求し、制約を課す。

${\displaystyle \psi ^{\mu }(0,\sigma ^{2})=e^{2\pi i\nu }{\tilde {\psi }}^{\mu }(0,\sigma ^{2}),\ \ \ \ \ \ \ \psi ^{\mu }(\pi ,\sigma ^{2})={\tilde {\psi }}^{\mu }(\pi ,\sigma ^{2}).}$

したがって、オープンストリングにはRセクターとNSセクターの2つのセクターしかありません。2つのフィールドを1つのフィールドに結合し、拡張範囲を次のように定義すると 便利なことがよくあります。${\displaystyle 0\leq \sigma ^{1}\leq 2\pi }$

${\displaystyle \psi ^{\mu }(\sigma ^{1},\sigma ^{2})={\tilde {\psi }}^{\mu }(2\pi -\sigma ^{1},\sigma ^{2}),}$

ここで、R セクターと NS セクターは、この拡張されたフィールド上の周期性または反周期性条件に対応します。

RセクターとNSセクターのヒルベルト空間は、フェルミオン場のモードとを考慮することによって決定される。 ^[12] Rセクターではべき乗が整数であるため、このセクターには分岐切断があるが、NSセクターには半整数があるため分岐切断はない。フェルミオン理論の演算子積展開（OPE）は、次式で与えられるモードの反交換関係に変換される。 ${\displaystyle \psi _{r}^{\mu }}$${\displaystyle {\tilde {\psi }}_{r}^{\mu }}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle \{\psi _{r}^{\mu },\psi _{s}^{\nu }\}=\{{\tilde {\psi }}_{r}^{\mu },{\tilde {\psi }}_{s}^{\nu }\}=\eta ^{\mu \nu }\delta _{r,-s}.}$

ヒルベルト空間の状態は、これらのモードを真空状態に作用させることによって構築できます。NSセクターのすべての消滅モードは を持つため、そのスペクトルはすべてのモードによって消滅する 唯一の真空状態を持つことになります。${\displaystyle r>0}$${\displaystyle |0\rangle _{\text{NS}}}$

${\displaystyle \psi _{r}^{\mu }|0\rangle _{\text{NS}}=0,\ \ \ \ \ \ \ r>0.}$

モードは増加演算子として機能し、反交換性があるため、各モードは最大で 1 回しか作用せず、NS セクター スペクトルが与えられます。 ${\displaystyle r<0}$

R セクターには、真空状態を別の真空状態にマッピングするゼロモードがあります。再スケーリング では、これらの反交換関係はディラック代数になり、R スペクトルの基底状態がこの代数の表現を形成することを意味します。10 次元では、これはディラックスピノル、つまり 32 次元の表現であり、カイラリティによって区別される2 つのワイル表現に縮小できます。R セクタースペクトルは、これらの基底状態に最大 1 回モードを作用させることによって形成されます。 ${\displaystyle \psi _{0}^{\mu }}$${\displaystyle \gamma ^{\mu }=2^{-1/2}\psi _{0}^{\mu }}$ ${\displaystyle {\text{32}}={\text{16}}+{\text{16}}'}$${\displaystyle r>0}$

フェルミオン超弦に対するローレンツ共変、微分同相不変な作用は、ボソン場とフェルミオン場を2次元超重力に結合することによって見出され、作用は次のようになる。

${\displaystyle S=\int d^{2}ze{\bigg [}{\frac {1}{2}}\nabla _{a}X^{\mu }\cdot \nabla _{a}X^{\mu }-{\frac {1}{2}}i{\bar {\psi }}^{\mu }\gamma ^{a}\nabla _{a}\psi ^{\mu }+{\frac {1}{2}}i({\bar {\chi }}_{a}\gamma ^{b}\gamma ^{a}\psi ^{\mu }){\bigg (}\partial _{b}X^{\mu }-{\frac {1}{4}}i{\bar {\chi }}_{b}\psi ^{\mu }{\bigg )}{\bigg ]},}$

ここで は2次元のビエルバインであり、 は対応するグラビティーノである。^[13]これは以下の対称性を持つ。 ${\displaystyle e_{a}^{m}}$${\displaystyle \chi _{a}}$

• 2次元再パラメータ化不変性、
• 2次元ローレンツ不変性、
• 2次元局所超対称性、
• ワイル対称性、
• 局所S対称性、ここではマヨラナスピノル、${\displaystyle \delta \psi _{\alpha }=\gamma _{\alpha }\zeta }$${\displaystyle \zeta _{A}}$
• ポアンカレ対称性。

この作用のゲージ対称性は、微分同相対称性、ワイル対称性、局所超対称性である。作用を量子化するには、これらの対称性をゲージ固定する必要がある。これは通常、およびであり、およびが作用から切り離される超共形ゲージによって行われる。Faddeev-Popov 手順によってこのゲージ固定を実行すると、RNS 作用と BRST ゴースト作用が残る。 ${\displaystyle e_{a}^{m}=e^{\phi }\delta _{a}^{m}}$${\displaystyle \chi _{a}=\gamma _{a}\xi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle S\rightarrow S_{\text{RNS}}+S_{g}}$

ゲージ固定の超弦作用には、正則ゴーストと反正則ゴーストが存在する。正則側には、重み と を持つ反交換体とのペアと、重み と を持つ交換体と のペアがある。^[14]これらは、次のような形の作用を持つ 。${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle h_{b}=2}$${\displaystyle h_{c}=-1}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle h_{\beta }=3/2}$${\displaystyle h_{\gamma }=1/2}$

${\displaystyle S_{g}={\frac {1}{2\pi }}\int d^{2}z(b{\bar {\partial }}c+\beta {\bar {\partial }}\gamma ),}$

反正則ゴーストに対しても同様の作用が起こります。この作用により、理論全体の応力エネルギーテンソルと超伝導流にゴーストの寄与が追加されます。 ${\displaystyle T_{B}^{g}}$${\displaystyle T_{F}^{g}}$

ゴーストモード展開はそれらの重みによって決定され、反交換ゴースト場は周期的であるのに対し、交換ゴースト場はRセクターでは周期的、NSセクターでは反周期的である。モードは（反）交換関係およびを満たす。ラモンド基底状態とネヴー・シュワルツ基底状態は次のように定義される。 ${\displaystyle \{b_{m},c_{n}\}=\delta _{n,-m}}$${\displaystyle [\gamma _{r},\beta _{s}]=\delta _{r,-s}}$

${\displaystyle b_{m}|0\rangle _{\text{NS,R}}=0,\ \ \ m\geq 0,\ \ \ \ c_{m}|0\rangle _{\text{NS,R}}=0,\ \ \ m\geq 1,}$

${\displaystyle \beta _{r}|0\rangle _{\text{NS}}=0,\ \ \ r\geq {\tfrac {1}{2}},\ \ \ \ \gamma _{r}|0\rangle _{\text{NS}}=0,\ \ \ r\geq {\tfrac {1}{2}},}$

${\displaystyle \beta _{r}|0\rangle _{\text{R}}=0,\ \ \ r\geq 0,\ \ \ \ \ \ \gamma _{r}|0\rangle _{\text{R}}=0,\ \ \ r\geq 1.}$

理論のBRST量子化にはBRST電流の構築が必要である。

${\displaystyle j_{B}=cT_{B}^{m}+\gamma T_{F}^{m}+{\frac {1}{2}}(cT_{B}^{g}+\gamma T_{F}^{g}),}$

ここで、およびはゴースト、およびは物質およびゴーストの応力テンソルおよび超電流である。BRST電荷は、この電流に関連する 対応する電荷である。${\displaystyle c}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle T_{B,F}^{m,g}}$${\displaystyle Q_{B}}$

${\displaystyle Q_{B}={\frac {1}{2\pi i}}\oint (dzj_{B}-d{\bar {z}}{\bar {j}}_{B}).}$

物理的スペクトルは、BRSTコホモロジー クラスの集合です。これは、電荷によって消滅する状態の集合であり、すべての状態は BRST の正確な状態 (ヌル状態とも呼ばれる)によって異なり、同等です。Rセクター状態の場合は、 、 という追加条件があります。この条件は、運動学的理由からゴースト スペクトルを切り捨てます。 ${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle Q_{B}|\psi \rangle =0}$${\displaystyle Q_{B}|\eta \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle \sim |\psi \rangle +Q_{B}|\eta \rangle }$${\displaystyle b_{0}|\psi \rangle =L_{0}|\psi \rangle =0}$${\displaystyle \beta _{0}|\psi \rangle =G_{0}|\psi \rangle =0}$

この理論の最も低いエネルギー状態を見るのは便利です。^[12]フェルミオン数演算子 を導入すると、 NSセクターとRセクターをさらにNS−、NS+、R−、R+セクターに細分化できます。ここで、符号は状態の 符号を表します。${\displaystyle F}$${\displaystyle e^{i\pi F}=\pm 1}$

• NS−: これには、質量と4元運動量のタキオンであるNS基底状態が含まれます。${\displaystyle |0;k\rangle _{\text{NS}}}$${\displaystyle -1/2\alpha '}$ ${\displaystyle k^{\mu }}$
• NS+: これには、およびを満たす分極を持つ質量ゼロのベクトルボソンに対応するNS の最初の励起状態が含まれます。${\displaystyle |e;k\rangle _{\text{NS}}=e\cdot \psi _{-1/2}|0;k\rangle _{\text{NS}}}$ ${\displaystyle e}$${\displaystyle k^{2}=e\cdot k=0}$${\displaystyle e^{\mu }\sim e^{\mu }+\lambda k^{\mu }}$
• R−/R+: Rセクターの基底状態は、分極を持つ質量のないマヨラナ・ワイル粒子であり、その半分はR+セクターに属し、残りの半分はR−セクターに属します。${\displaystyle |u;k\rangle _{\text{R}}}$${\displaystyle u_{\boldsymbol {s}}}$

これらの状態は、10次元ローレンツ群の回転部分群である群のどのスピン表現に属するかによって分類されます。特に、タキオンNS−はシングレットですが、NS+状態は で表されるベクトルです。R+セクターのマヨラナ・ワイルスピノルは 表現に属し、R− は表現に属します。 ${\displaystyle {\text{SO}}(8)}$ ${\displaystyle {\text{SO}}(1,9)\supset {\text{SO}}(1,1){\text{SO}}(8)}$${\displaystyle 8_{v}}$${\displaystyle 8}$${\displaystyle 8'}$

開いた弦の場合、NS+、NS-、R+、R-はRNS弦の可能な質量ゼロおよびタキオン状態を形成します。閉じた弦の場合、物理的状態は、左および右に移動するセクターとしてのこれら4つのセクターのさまざまな組み合わせです。結果として得られる弦の質量 シェル条件は

${\displaystyle {\frac {\alpha '}{4}}m^{2}=N-\nu ={\tilde {N}}-{\tilde {\nu }},}$

ここで、はレベルであり、状態を作成するために使用される生成演算子を数えます。結果として得られる状態は、表現に従って再び分類することができ、これは左に移動する表現と右に移動する表現の直積であり、既約表現の合計に分解されます。^[15] NS−がNS+、R−、またはR+と一致する状態はありません。その場合、レベル一致条件が満たされないため、閉じた弦理論にはNS−NS−セクターから来る単一のタキオンがあります。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle {\text{SO}}(8)}$

素朴な RNS 弦ヒルベルト空間は、無矛盾な弦理論を生み出さない。理論が無矛盾であるためには、3 つの条件を満たす必要がある。^[12]まず、理論の頂点演算子は相互に局所的でなければならない。つまり、それらの OPE には分岐がない。次に、OPE は閉じていなければならない。最後に、1 ループ振幅はモジュラー不変でなければならない。GSO 射影は、ヒルベルト空間を、これら 3 つの条件の下で無矛盾なセクターのサブセットに射影したものである。^[3]射影から得られる無矛盾な理論の 1 つのセットは、タイプ 0 弦理論であるが、これらはタキオンフリーではない。無矛盾な理論のもう 1 つのセットは、セクターで構成されるタキオンフリーのタイプ II 弦理論である。

• IIA: (NS+,NS+)、(R+,NS+)、(NS+,R−)、(R+,R−)、
• IIB: (NS+、NS+)、(R+、NS+)、(NS+、R+)、(R+、R+)。

これらのセクターを簡潔にまとめると、IIA 型理論ではおよび のセクターのみが保持され、IIB 理論では のセクターのみが保持されるということです。 ${\displaystyle e^{i\pi F}=+1}$${\displaystyle e^{i\pi {\tilde {F}}}=(-1)^{\tilde {\alpha }}}$${\displaystyle e^{i\pi F}=e^{i\pi {\tilde {F}}}=+1}$

タイプ I 弦理論は、ワールドシートパリティ対称性をゲージし、GSO 投影された開いた RNS 弦と組み合わせたタイプ IIB 理論から構築できます。開いた弦には、ゲージ グループに属するChan-Paton 因子も必要です。この最後の条件は、理論を非異常にするという要件から生じます。ヘテロティック弦理論は、RNS 作用とは異なる作用から開始することを除いて、この同じ形式を使用して構築できます。 ${\displaystyle {\text{SO}}(32)}$

• GS形式主義
• GSO投影
• カルブ・ラモンド場