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クワイン＝パトナムの不可欠性論証[ a ]は、数学哲学において、数や集合などの抽象的な数学的対象の存在を主張する論証であり、数学的プラトン主義として知られる立場である。この論証は、哲学者ウィラード・ヴァン・オーマン・クワインとヒラリー・パトナムにちなんで名付けられ、数学哲学における最も重要な論証の一つである。
不可欠性論証の要素はゴットロープ・フレーゲやクルト・ゲーデルといった思想家に由来するかもしれないが、クワインによるこの論証の展開は、自然主義、確証的全体論、存在論的コミットメントの基準といった彼の哲学的立場を数多く取り入れた点で独特であった。パトナムは1971年の著書『論理の哲学』でクワインの論証を初めて詳細に定式化した。しかし、彼は後にクワインの考え方の様々な側面に異議を唱え、科学哲学における奇跡なし論証に基づいて独自の不可欠性論証を定式化した。現代哲学におけるこの論証の標準的な形式はマーク・コリバンによるものとされている。クワインとパトナムの両方の影響を受けているものの、彼らの定式化とは重要な点で異なっている。スタンフォード哲学百科事典に掲載されている：[ 2 ]
抽象対象の存在を否定する哲学者である唯名論者は、この議論の前提の両方に反論してきた。ハートリー・フィールドによる影響力のある議論では、数学的実体は科学にとって不要であると主張されている。この議論は、科学的および数学的理論を再定式化して、数学的実体への言及をすべて削除できることを実証しようとする試みによって支持されてきた。ペネロペ・マディ、エリオット・ソーバー、ジョセフ・メリアなどの他の哲学者は、科学に不可欠なすべての実体を信じる必要はないと主張している。これらの著者の議論は、アラン・ベイカーとマーク・コリバンが支持する、数学は特定の科学的説明だけでなく、理論全体にも不可欠であると主張する、この議論の新しい説明バージョンに影響を与えた。
1973年の論文「数学的真理」の中で、ポール・ベナセラフは数学の哲学に問題提起をした。[ b ]ベナセラフによれば、「2は素数である」のような数学的命題は、数学的対象の存在を意味する。[ 5 ]彼は、数学は独自の特別な意味論を持つべきではないという考えでこの主張を支持した。言い換えれば、数学的命題の意味は、他の種類の命題と同じ規則に従うべきである。例えば、「火星は惑星である」という命題が火星の存在を意味するならば、「2は素数である」という命題もまた、2という数の存在を意味するべきである。[ 6 ]しかし、ベナセラフによれば、数学的対象が存在するならば、それらは知ることができない。[ 5 ]これは、数学的対象が存在するならば、それらは抽象的な対象、つまり、物事を引き起こすことができず、空間と時間の中に位置を持たない対象だからである。[ 7 ]ベナセラフは、因果的知識理論に基づいて、そのような対象は誰とも因果的に接触できないため、それらについて知ることは不可能だと主張した。[ c ] [ 9 ]これは、数学の認識論、つまり人々が数学について知っていることをどのように知るかに関わるため、ベナセラフの認識論的問題と呼ばれている。[ 10 ]
数学の哲学は、プラトン主義と名目主義という2つの主要な流れに分かれています。プラトン主義は、数や集合などの抽象的な数学的対象が存在すると主張しますが、名目主義はそれらの存在を否定します。[ 11 ]これらの見解はそれぞれ、ベナセラフが提起した問題のために問題を抱えています。名目主義は数学的対象の存在を否定するため、認識論的な問題には直面しませんが、数学が独自の特別な意味論を持つべきではないという考えに関する問題に直面します。プラトン主義は、ジレンマの意味論的な側面に関する問題には直面しませんが、数学的対象についてどのように知ることができるのかを説明するのに苦労します。[ 12 ]
不可欠性論証は、抽象的な数学的対象への信仰の正当化を提供することによって、プラトン主義に対して提起された認識論的問題を克服することを目的としている。[ 13 ]これは、数学の哲学で最も一般的に適用される、広範な不可欠性論証のクラスの一部であるが、言語哲学や倫理の議論も含まれる。[ 14 ]最も一般的な意味では、不可欠性論証は、結論の真実性が特定の目的のために不可欠または必要であるという主張に基づいて、その結論を支持することを目的としている。[ 15 ]存在論（何が存在するかの研究）の分野に適用される場合、直接調査できない論争のある実体の存在を確立するためのクワイン的戦略の例となる。この戦略によれば、これらの実体が他の論争の少ない実体の理論を定式化するために不可欠であることは、それらの実体の存在の証拠となる。[ 16 ]数学の哲学の場合、数学的実体が科学理論を定式化するために不可欠であることは、それらの数学的実体の存在の証拠とみなされる。[ 17 ]
マーク・コリバンは、スタンフォード哲学百科事典でこの議論を次のように提示している。[ 2 ]
ここで、実体に対する存在論的コミットメントとは、その実体が存在すると信じるコミットメントのことである。[ 18 ]最初の前提は、自然主義と確証的全体論という 2 つの基本的な仮定に基づいている。自然主義によれば、何が存在すると信じるに足る最良の理由があるかを判断するために、最良の科学理論に目を向けるべきである。[ 19 ]クワインは自然主義を「現実が特定され記述されるべきものであるのは、何らかの先行する哲学ではなく、科学そのものの中にあるという認識」と要約した。[ 20 ]確証的全体論とは、科学理論は単独では確認できず、全体として確認されなければならないという見解である。したがって、確証的全体論によれば、科学を信じるならば、最良の科学理論が前提とする数学を含む、すべての科学を信じることになる。 [ 19 ]この議論は主に科学的実在論者である名目論者を対象としており、電子やクォークなどの理論的実体に対する信念の正当化と同様の方法で、数学的実体に対する信念を正当化しようとしている。クワインは、そのような名目論者は存在論に関して「二重基準」を持っていると主張した。 [ 2 ]
不可欠性論証は、科学に不可欠な数学の部分のみを信じるべきだと主張する点で、プラトン主義の他の論証とは異なります。クワインが「存在 論的権利のない数学的再創造」と呼んだ集合論の最も抽象的な部分を信じることを必ずしも正当化するものではありません。[ 21 ]一部の哲学者は、数学的真理は、それが不可欠な科学理論の経験的検証によってのみ確立できることを意味するため、数学的知識はアポステリオリであると論証から推論します。これはまた、経験的に知られている真理は一般的に偶然的であるため、数学的真理は偶然的であることを示しています。このような立場は、数学的知識を必然的真理のアプリオリな知識とする伝統的な見解と矛盾するため、議論の的となっています。[ 22 ]
クワインの元の議論はプラトン主義の議論であるが、不可欠性の議論は、文実在論のより弱い主張、つまり数学理論が客観的に真であるという主張を論じるためにも構築することができる。これは、抽象的な数学的対象が存在することを必ずしも意味しないため、より弱い主張である。[ 23 ] [ d ]
不可欠性論証の第二の前提は、数学的対象が最良の科学理論にとって不可欠であるというものである。この文脈では、不可欠性とは排除不可能性とは同じではない。なぜなら、理論体系の他の部分に適切な調整を行えば、いかなる対象も理論体系から排除できるからである。[25 ]むしろ不可欠性とは、理論の魅力を低下させることなく対象を排除することはできないことを意味する。理論の魅力は、説明力、経験的妥当性、単純さといった理論的美徳の観点から評価できる。[ 26 ]さらに、ある対象が理論にとって不要であれば、それなしで同等の理論を構築することができる。[ 27 ]例えば、ある理論の各文が別の理論の文の言い換えである場合や、2つの理論が同じ経験的観察を予測する場合などがこれに該当する。[ 28 ]
スタンフォード哲学百科事典によると、不可欠性論に対する最も影響力のある反論の一つはハートリー・フィールドによるものである。[ 29 ]フィールドは、数学的対象が科学に不可欠であるという主張を否定し、数学的対象を参照しないように科学理論を再定式化または「名詞化」することでこの議論を支持した。[ 30 ]このプロジェクトの一環として、フィールドは時空点間の関係という観点からニュートン物理学を再定式化した。数値的な距離を参照する代わりに、フィールドの再定式化は、「間」や「合同」などの関係を使用して、数の存在を暗示することなく理論を回復する。[ 31 ]ジョン・バージェスとマーク・バラゲールは、この名詞化プロジェクトを量子力学を含む現代物理学の分野に拡張する措置を講じた。[ 32 ]デイヴィッド・マラメントやオタヴィオ・ブエノなどの哲学者は、特に量子力学の場合、そのような再定式化が成功しているか、あるいはそもそも可能かどうかについて議論している。[ 33 ]
フィールドのプラトン主義に対する代替案は数学的虚構主義であり、それによれば、数学理論は存在しない抽象的な対象を参照するため偽である。[ 34 ]フィールドは、不可欠性論に対する反論の一部として、誤った数学的記述が科学的予測を偽にすることなく科学で使用されることがどのように可能であるかを説明しようとした。[ 35 ]彼の議論は、数学は保守的であるという考えに基づいている。数学理論は、科学理論と組み合わせたときに、科学理論単独では既に持っていない物理世界について何も意味しない場合、保守的である。[ 36 ]これにより、科学の予測を偽にすることなく、数学が科学理論で使用されることがどのように可能であるかが説明される。さらに、フィールドは、数学が応用においてどのように役立つかを正確に特定しようとした。[ 29 ]フィールドは、数学言語が複雑な物理システムについて話すための便利な略記法を提供するので、数学は科学に役立つと考えている。[ 32 ]
数学的実体が科学に不可欠であることを否定するもう一つのアプローチは、数学理論自体を再定式化して、数学的対象の存在を暗示しないようにすることである。チャールズ・チハラ、ジェフリー・ヘルマン、パトナムは、数学的対象への言及をすべて可能性に関する主張に置き換える、数学の様相再定式化を提案した。[ 32 ]
不可欠性論の根底にある自然主義は、真理を決定するための科学的方法の優位性を主張する、方法論的自然主義の一形態である。 [ 37 ]言い換えれば、クワインの自然主義によれば、最良の科学理論は、存在するものの最良の指針となる。[ 19 ]この形態の自然主義は、哲学が科学に先行し、最終的に科学への信念を正当化するという考えを否定し、代わりに、科学と哲学は、世界に対する単一の統一された探究の一部として互いに連続していると考える。[ 38 ]そのため、この形態の自然主義は、科学の存在論的コミットメントを覆すことができる先行する哲学の考えを排除する。[ 39 ]これは、抽象的な対象は物理的ではないため、その存在を排除する形而上学的形態の自然主義とは対照的である。 [ 40 ]このような自然主義の一例として、デイビッド・アームストロングが支持しているものがある。それは、因果関係のある存在のみが存在し、因果関係のない存在は存在しないという、エレア派の原理と呼ばれる原理を主張している。 [ 41 ]クワインの自然主義は、哲学原理は科学を覆すことはできないため、そのような原理を用いて科学の数学に対する存在論的コミットメントを覆すことはできないと主張する。[ 42 ]
哲学的な理由で数学を拒否するなんて、どれほど傲慢なことかと思うと、思わず笑ってしまいます。哲学が階級など存在しないことを発見した今、数学者たちにやり方を変え、数々の誤りを放棄しなければならないと伝える仕事は、あなたにとってどうでしょうか？哲学的な議論がどこへ導こうとも、真顔で彼らに従えと言えるでしょうか？もし彼らがあなたの資格に異議を唱えたら、あなたは哲学の他の偉大な発見、つまり運動は不可能であること、それより偉大な存在は存在しないとは考えられないこと、精神の外に何かが存在することは考えられないこと、時間は非現実的であること、いかなる理論も証拠によって蓋然性が証明されたことはないこと（しかしその一方で、経験的に妥当な理想理論は決して偽りではないこと）、誰かが何かを信じたことがあるかどうかは未解決の科学的問題であることなどなど、延々と自慢するのでしょうか？私には無理です！
クワインは自然主義を根本的な前提としていたが、後の哲学者たちはそれを支持する議論を提供してきた。クワインの自然主義を支持する最も一般的な議論は、実績に基づく議論である。これは、哲学や他の学問分野と比較した科学の成功実績に訴える議論である。[ 44 ]デイヴィッド・ルイスは、1991年の著書『 Parts of Classes』の一節で、数学と比較した哲学の実績を嘲笑し、哲学が科学を凌駕するという考えはばかげていると主張し、このような議論を展開したことで有名である。[ 45 ]実績に基づく議論の批判者たちは、それが行き過ぎであり、哲学の議論や方法論を完全に信用失墜させ、哲学の実績が常に悪いと判断できるという考えに異議を唱えている。[ 46 ]
クワインの自然主義は、数学の実践と矛盾するとしてペネロペ・マディからも批判されている。[ e ] [ 47 ]不可欠性論によれば、数学は、その正当性が自然科学に依存しているという意味で、自然科学に従属している。[ 48 ]しかしマディは、数学者は自分たちの実践が自然科学の活動によって何らかの形で制限されているとは考えていないようだと主張している。例えば、ツェルメロ＝フレンケル集合論の公理に関する数学者の議論は、自然科学への応用には言及していない。同様に、チャールズ・パーソンズは、数学的真理は、科学の結果に依存しないことを示唆するような形で、すぐに自明であるように思われると主張している。[ 49 ]
確認的全体論とは、科学理論や仮説は単独では確認できず、より大きな理論群の一部として一緒に確認されなければならないという考え方である。[ 50 ]マイケル・レズニックが提示したこの考え方の例として、油と水は混ざらないため、混ぜ合わせると分離するという仮説がある。この仮説は、分離を妨げる化学物質が存在しないことや、分離を観察するのに十分なほど観察者の目が機能していることなどの仮定に基づいているため、単独では確認できない。[ 51 ]数学理論も同様に科学理論によって前提とされているため、確認的全体論は、科学理論の経験的確認がこれらの数学理論も支持することを示唆している。[ 52 ]
マディの反論によれば、不可欠性論証の第一前提を構成する自然主義と確証的全体論のテーゼは互いに矛盾している。マディは、自然主義は科学者が真実を明らかにする最良の方法として用いる方法を尊重することを意味するが、科学者は科学に不可欠なすべての実体を信じなければならないかのように行動するわけではないと述べた。[ 53 ]この点を説明するために、マディは原子論を例に挙げ、1860年までに原子は科学者の最良の理論に不可欠であったにもかかわらず、直接的な実験的検証が行われた1913年までその実在は普遍的に受け入れられていなかったと述べている。[ 54 ]マディやメアリー・レングなどの他の人々は、科学者が水域が無限に深いと仮定するなど、数学的な理想化を、それが真実かどうかに関係なく用いているという事実にも訴えている。 [ 55 ]マディによれば、これは科学者が科学にとって数学が不可欠であることを、数学や数学的実体の存在を信じる正当化とは考えていないことを示している。総じて、マディは自然主義を支持し、確証的全体論を拒否することを主張しており、つまり科学に不可欠なすべての実体を信じる必要はないということである。[ 29 ]
エリオット・ソーバーによる別の反論では、数学理論は科学理論と同じ方法で検証されていないと主張されている。ソーバーによれば、科学理論は、どの理論が最も経験的裏付けを持っているかを見つけるために、他の理論と競合する。しかし、数学理論には競合する他の理論が存在しない。なぜなら、すべての科学理論は同じ数学的核を共有しているからである。その結果、ソーバーによれば、数学理論は科学理論の経験的裏付けを共有していないため、確証的全体論は拒否されるべきである。[ 56 ]
これらの反論が提起されて以来、レズニック、アラン・ベイカー、パトリック・ディベニー、デイヴィッド・リギンズ、ジェイコブ・ブッシュ、アンドレア・セレニなど多くの哲学者が、確証的全体論は議論から排除できると主張してきた。[ 57 ]例えば、レズニックは、証拠の概念よりも科学的探究を行う上での数学の実践的な重要性に焦点を当てた、実用的不可欠性の議論を提示している。[ 58 ]
議論のもう1つの重要な部分は、存在論的コミットメントの概念です。理論の存在論的コミットメントとは、その理論に従って存在するすべてのものです。クワインは、人々は最良の科学理論がコミットメントしているのと同じ実体に対して存在論的にコミットメントするべきだと考えていました。つまり、人々はそれらが存在すると信じることにコミットすべきだということです。[ 59 ]彼は「存在論的コミットメントの基準」を定式化しました。これは、科学理論のコミットメントを、日常言語から一階述語論理に翻訳または「統制」することによって明らかにすることを目的としています。[ 60 ]日常言語では、「存在する」という語は存在論的コミットメントを伴わなければならないとクワインは考えていました。何かが「存在する」と言うことは、その物が存在することを意味します。[ f ] [ 62 ]そしてクワインにとって、一階述語論理における存在量化子は、「存在する」の自然な等価物でした。したがって、クワインの基準は、理論の存在論的コミットメントを、統制された理論が量化するすべての対象とみなします。[ 60 ]
クワインは、日常言語は曖昧であるのに対し、論理によって理論のコミットメントをより正確にすることができるため、科学理論を一階述語論理に翻訳することが重要だと考えた。理論を一階述語論理に翻訳することには、二階述語論理などの高階論理に翻訳するよりも利点がある。二階述語論理は一階述語論理と同じ表現力を持つが、完全性やコンパクト性といった一階述語論理の技術的な強みの一部が欠けている。また、二階述語論理では「赤さ」のような性質を量化できるが、性質に対する存在論的なコミットメントがあるかどうかは議論の余地がある。[ 18 ]クワインによれば、そのような量化は単に文法的ではない。[ 63 ]
ジョディ・アズーニは、クワインの存在論的コミットメントの基準に異議を唱え、一階述語論理における存在量化子は必ずしも存在論的コミットメントを伴うとは限らないと述べている。[ 64 ]アズーニによれば、存在量化の日常言語における等価表現である「there is」は、存在論的コミットメントを暗示することなく文中でよく用いられる。特にアズーニは、「there are fictional detectives who are avanted by some real detectives」のような文で架空の対象について言及する際に「there is」が用いられることを指摘している。[ 65 ]アズーニによれば、ある実体に対して存在論的コミットメントを持つためには、それに対する適切なレベルの認識論的アクセスが必要である。これは、例えば、それが仮定されるためには、いくつかの認識論的負担を克服しなければならないことを意味する。しかしアズーニによれば、数学的実体は「単なる仮定」であり、「単に一連の公理を書き記す」ことで誰でもいつでも仮定できるため、実在するものとして扱う必要はない。[ 66 ]
この議論のより現代的な提示では、クワインの存在論的コミットメントの基準を必ずしも受け入れるわけではなく、存在論的コミットメントが日常言語から直接決定されることを許容する場合もある。[ 67 ] [ g ]
ジョセフ・メリアが提起したこの議論の潜在的な問題点の1つは、科学における数学の役割を考慮していないことである。メリアによれば、数学が正しい意味で科学に不可欠な場合にのみ、私たちは数学を信じる必要がある。特に、科学的説明に不可欠でなければならない。[ 69 ]しかし、メリアによれば、数学は科学において純粋に表象的な役割を果たしており、単に「具体的な対象についてより多くのことを言えるようにする」にすぎない。[ 70 ]彼は、この理由で数学へのコミットメントを撤回することは正当であると主張し、「ごまかし」と呼ばれる言語現象を引用している。これは、ある人が発言した後で、その発言によって暗示される何かを撤回する場合である。日常的な文脈で情報を表現するために使われるごまかしの例は、「セミナーに来た人は全員配布資料を受け取った。しかし、遅れて来た人は受け取らなかった。」である。[ 71 ]ここでは、一見矛盾した情報が伝えられているが、好意的に読めば、遅れて来た人以外の全員が配布資料を受け取ったと述べているだけである。[ 71 ]同様に、メリアによれば、数学は科学に不可欠であるにもかかわらず、「ほとんどすべての科学者は …数学的対象というものが存在することを否定している」とあり、数学的対象へのコミットメントが巧妙に回避されていることを示唆している。[ 72 ]メリアにとって、数学は科学において真に説明的な役割を果たしていないため、このようなごまかしは許容できる。[ 73 ]
確証的全体論に対する反論[ 74 ]と、数学が科学において真に説明的な役割を果たさないならば、数学への信念は保留できるというメリアの主張[ 75 ]の両方に触発されて、コリバンとベイカーは、不可欠性論証の説明的バージョンを擁護した。[ 76 ] [ h ]このバージョンの論証は、確証的全体論への依存を最良の説明への推論に置き換えることで、それを排除しようとするものである。この論証は、数学的対象が最良の科学的説明に現れるからこそ、数学的対象を信じることが正当化されるのであって、最良の理論の経験的裏付けを受け継ぐからではないと述べている。[ 79 ]インターネット哲学百科事典では、次のように紹介されている。 [ 76 ]
ベイカーが提示した数学の説明上の不可欠性の例として、周期ゼミが挙げられる。周期ゼミは通常13年または17年の周期で生活する昆虫の一種である。13と17は素数であるため、これは進化上の利点であると仮説が立てられている。素数には非自明な約数がないため、捕食者がゼミの生活周期に同調する可能性は低い。ベイカーは、これは数学、特に数論が経験的現象を説明する上で重要な役割を果たす説明であると述べている。 [ 80 ]
その他の重要な例としては、ミツバチの巣の六角形構造の説明や、ケーニヒスベルクの7つの橋を街を歩いて渡る際に一度だけ渡ることは不可能であることの説明などが挙げられる。[ 81 ]メリア、クリス・デイリー、サイモン・ラングフォード、ユハ・サーツィなどの哲学者が採用しているこの種の議論に対する主な反論は、経験的現象の真に数学的な説明は存在しないと否定し、代わりに数学の役割を表象的または指示的なものとして位置づけることである。[ 82 ]
この議論は歴史的にはウィラード・ヴァン・オーマン・クワインとヒラリー・パトナムに関連付けられていますが、ゴットロープ・フレーゲやクルト・ゲーデルといった初期の思想家にまで遡ることができます。数学を「2」などの数学記号の操作方法に関するルールがあるチェスのようなゲームに例える数学形式主義に対するフレーゲの議論は、1893年に「算術をゲームから科学の地位に高めるのは、適用可能性のみである」と述べています。 [ 83 ]ゲーデルは、集合論の公理に関する1947年の論文で、新しい公理が十分に検証可能な帰結を持つためには、「少なくとも確立された物理理論と同じ意味で受け入れられなければならない」と述べています。[ 84 ]フレーゲとゲーデルの議論は、自然主義や実践の従属といった特徴を欠いているため、後のクワインの不可欠性論証とは異なり、ピエラナ・ガラヴァソを含む一部の哲学者は、それらは不可欠性論証の真の例ではないと述べている。[ 85 ]
クワインは、確証的全体論の哲学的見解を発展させる過程で、ピエール・デュエムの影響を受けた。[ 86 ] 20世紀初頭、デュエムは、慣性の法則は経験的内容がなく反証不可能であると主張する批判者から、慣性の法則を擁護した。[ 51 ]これらの批判者は、慣性の法則は、何らかの観測基準を仮定しない限り、観測可能な予測を何も行わないこと、そして反証事例は基準の選択を変えることで常に回避できるという事実に基づいて、この主張を行った。デュエムは、慣性の法則は基準を固定する補助仮説と組み合わせると予測を生み出すので、他の物理理論と何ら変わりはないと答えた。[ 87 ]デュエムは、個々の仮説は単独では観測可能な予測を何も行わないかもしれないが、仮説体系の一部として確認できると述べた。クワインはこの考えを数学的仮説にまで拡張し、数学的仮説はそれ自体では経験的内容を持たないものの、それらが包含される仮説体系の経験的検証を共有できると主張した。[ 88 ]このテーゼは後にデュエム＝クワインのテーゼとして知られるようになった。[ 89 ]
クワインは自身の自然主義を「第一哲学の目標の放棄」と表現した。自然科学は現実への探求であり、誤りやすく修正可能ではあるが、いかなる超科学的な審判機関にも責任を負わず、観察と仮説演繹法以外の正当化を必要としない、とクワインは述べている。[ 90 ] 「第一哲学」という用語は、デカルトの『第一哲学に関する省察』を指して用いられており、デカルトはこの中で懐疑の方法を用いて科学の基礎を確立しようと試みた。クワインは、デカルトによる科学の基礎を提供しようとする試みは失敗に終わり、科学の基礎的正当化を見つけるという試みは拒否されるべきだと述べた。なぜなら、哲学は科学的方法よりも説得力のある正当化の方法を提供することは決してできないと信じていたからである。[ 91 ]
クワインは、師であるルドルフ・カルナップなどの論理実証主義者からも影響を受けており、彼の自然主義は彼らの多くの考えに反論する形で定式化された。[ 92 ]論理実証主義者にとって、正当化された信念はすべて感覚データに還元可能であり、木などの日常的な対象に関する知識も含まれる。[ 93 ]クワインは感覚データを自己矛盾的だと批判し、日常的な対象への信念は、世界に対する私たちの経験を整理するために必要だと述べた。また、感覚経験が日常的な対象についての信念をどのように提供するかについての最良の理論であるため、科学も信じるべきだと述べた。[ 94 ]論理実証主義者は個々の主張は感覚データによって裏付けられなければならないと述べたが、クワインの確証的全体論は、科学理論は本質的に数学理論と結びついており、科学理論の証拠は、数学的対象が直接知覚されない場合でも、数学的対象への信念を正当化できることを意味する。[ 93 ]
クワインは、最終的には不可欠性論証の定式化によりプラトン主義者となったが、[ 95 ]キャリアの初期段階から名目論に共感していた。[ 96 ] 1946年の講演で、彼は「今ここで私の偏見を公表しよう。私は名目論を受け入れたいのだ」と述べた。[ 97 ]その後、ネルソン・グッドマンと共同で1947年に「構成的名目論へのステップ」と題する論文を発表した。[ 98 ]これは、クワインが「自然科学のすべてを表現できる名目論的言語を構築する」という継続的なプロジェクトの一環であった。[ 99 ]しかし、翌年ジョセフ・ヘンリー・ウッドジャーに宛てた手紙の中で、クワインは「抽象的な実体の仮定と外部世界の仮定は同じ種類の仮定である」という確信が強まっていると述べた。[ 100 ]彼は後に1948年の論文「存在するものについて」を発表し、その中で「数学の神話と物理学の神話の類似性は …驚くほど近い」と述べ、最終的に「不本意なプラトン主義」を受け入れる方向へと転換した。[ 101 ]
1950年代を通して、クワインはプラトン主義、唯名論、構成主義を妥当な見解として頻繁に言及し、どれが正しいかについて決定的な結論にはまだ達していなかった。[ 102 ]クワインがプラトン主義をいつ受け入れたのかは正確には不明である。1953年には、グッドマンとの1947年の論文における唯名論の主張から距離を置いたが、1956年になってもグッドマンはクワインの唯名論からの「離脱」を「まだいくらか暫定的」と表現していた。[ 103 ]リーベン・デコックによれば、クワインは1960年の著書『言葉と対象』の出版までに抽象的な数学的実体の必要性を受け入れており、その中で「徹底した唯名論の教義は、それを満たすにはあまりにも過酷だ」と書いている。[ 104 ]しかし、彼は多くの論文で不可欠性論証の示唆を発表したが、詳細な定式化は行わなかった。[ 105 ]
パトナムは、1971年の著書『論理の哲学』の中で、この議論をクワインに帰属させ、初めて明示的に提示した。[ 106 ]彼はこの議論を「数学的実体に対する量化は、形式的科学と物理的科学の両方にとって不可欠である。したがって、我々はそのような量化を受け入れるべきである。しかし、これは問題となっている数学的実体の存在を受け入れることを約束する」と述べた。[ 107 ]また、クワインは「長年にわたり、数学的実体に対する量化の不可欠性と、日常的に前提としているものの存在を否定することの知的誠実さの欠如の両方を強調してきた」とも書いている。[ 107 ]パトナムがクワインの議論を支持したかどうかは議論の余地がある。インターネット哲学百科事典には、「ヒラリー・パトナムは初期の著作で、不可欠性に関する議論のクワインの解釈を受け入れた」とある。[ 108 ]しかし、リギンズとブエノは、パトナムはこの議論を支持したことはなく、クワインの議論として提示しただけだと主張している。[ 109 ] 1990年の講演で、パトナムは、ハーバード大学の学生だった1948年以来、クワインの不可欠性論証に関する見解を共有していたが、その後、それらに同意できなくなったと述べた。[ 110 ]彼は後に、少なくとも1975年からは、この論証に対する自分の態度がクワインと異なっていたと述べた。 [ 111 ]パトナムが同意できなくなったこの論証の特徴には、単一の、統制された最良の理論に依存していることが含まれる。[ 108 ]
1975年、パトナムは科学哲学における「奇跡なし」論に基づいて独自の「不可欠性」論を定式化した。この論では、科学の成功は奇跡的ではなく科学的実在論によってのみ説明できると主張している。彼はその年に次のように書いている。「私は、（科学における）実在論の積極的な論証には、数学的実在論の場合にも類似するものがあると信じている。ここでも、実在論は科学の成功を奇跡としない唯一の哲学だと信じている。」[ 112 ]インターネット哲学百科事典はこの論証のバージョンを「パトナムの成功論証」と呼び、次の形式で提示している。[ 108 ]
インターネット哲学百科事典によると、この議論の第一と第二の前提は議論の余地がないとされてきたため、この議論の議論は第三の前提に焦点が当てられてきた。数学の成功の理由を説明しようとした他の立場としては、数学が保守的な略記法として有用であることを説明するフィールドの科学の再定式化がある。[ 108 ]パトナムは、フィールドの再定式化は古典物理学にしか適用できず、将来の基礎物理学に拡張できる可能性は低いとして批判している。[ 115 ]
イアン・ハッキングによれば、クワインが最初にこの議論を提起してから数十年の間、この不可欠性論証に対する「組織的な異議申し立て」はなかった。[ 116 ]千原は、1973年の著書『存在論と悪循環原理』で、クワインの議論に応答して数学を再定式化しようとした最初期の哲学者の一人だった。[ 117 ]フィールドは1980年に『数のない科学』を出版し、1980年代から1990年代にかけて、この不可欠性論証に関する議論を支配した。[ 118 ] 1990年代にマディが最初にこの議論の第一前提に反対する議論を導入し、2000年代にはメリアらがそれを継続したことで、フィールドのアプローチは、それが要求する科学の技術的な再構築の難しさから、「ハードロード・ノミナリズム」として知られるようになった。対照的に、最初の前提を攻撃するアプローチは「イージーロード・ノミナリズム」として知られるようになった。[ 119 ]
コリバンは、より最近の哲学的研究において、この議論の標準的または「正統的」な定式化を提示したとよく見なされており、彼の議論のバージョンは、現代の数学哲学において影響力を持っています。[ 120 ]これは、クワインとパトナムが提示した議論とは重要な点で異なります。クワインの議論のバージョンは、科学理論を日常言語から一階述語論理に翻訳してその存在論的コミットメントを決定することに依存していますが、これはコリバンの定式化では明示的に要求されていません。パトナムの議論は、数学の客観性に関するものでしたが、必ずしも数学的対象に関するものではありませんでした。[ 121 ]パトナムは、この議論のバージョンから明確に距離を置いており、「私の見解では、コリバンによる私の議論の説明は正しくない」と述べ、彼の不可欠性議論を「架空の「クワイン＝パトナムの不可欠性議論」」と対比させています。[ 122 ]コリバンは、「クワインとパトナムへの帰属は、提示された議論がクワインまたはパトナムのいずれかによって細部に至るまで支持されることを示すものではなく、知的負債を認めるものである」と述べている。[ 123 ]
不可欠性論証は、数学の哲学においてプラトン主義の最良の論証であると広く考えられているが、普遍的ではない。[ 124 ]スタンフォード哲学百科事典によれば、この分野の一部の人々は、これをプラトン主義の唯一の良い論証と見なしている。[ 125 ]これは、数学的実在論と数学的反実在論の間の議論を支配するようになった数少ない論証の1つである。[ 126 ]現代哲学では、多くの種類の名目論が不可欠性論証に反対する形で自らを定義しており、[ 127 ]これは一般的に、虚構主義などの名目論的見解が克服すべき最も重要な論証と見なされている。[ 128 ]
クワインとパトナムの議論は、数学の哲学以外にも影響を与え、哲学の他の分野で不可欠性に関する議論を促してきた。例えば、クワインの弟子であったデイヴィッド・ルイスは、 1986年の著書『世界の多元性について』の中で、様相実在論を主張するために不可欠性に関する議論を用いた。彼の議論によれば、可能世界に対する量化は我々の最良の哲学的理論に不可欠であるため、我々はそれらの具体的な存在を信じるべきである。[ 129 ]形而上学における他の不可欠性に関する議論は、デイヴィッド・アームストロング、グレアム・フォーブス、アルヴィン・プランティンガなどの哲学者によって擁護されており、彼らは、事物の状態が真理決定要因、様相、可能世界に関する我々の最良の哲学的理論において不可欠な理論的役割を果たしていることから、事物の状態の存在を主張している。[ 130 ]倫理学の分野では、デイヴィッド・エノックは、クワイン＝パトナムの不可欠性論証で用いられた存在論的コミットメントの基準を拡張し、道徳的実在論を主張している。エノックの「熟慮的不可欠性論証」によれば、熟慮に対する不可欠性は、科学に対する不可欠性と同様に存在論的にコミットメントを伴うものであり、道徳的事実は熟慮に不可欠である。したがって、エノックによれば、私たちは道徳的事実を信じるべきだ。[ 131 ]
