量子Tデザイン

量子tデザインは、純粋量子状態またはユニタリ演算子上の確率分布であり、次数t以下の多項式に対するハール測度上の確率分布の特性を再現できます。具体的には、デザイン上の次数tの任意の多項式関数の平均は、ハール測度上の平均とまったく同じです。ここで、ハール測度は、すべての量子状態またはすべてのユニタリ演算子上の均一な確率分布です。量子tデザインは、実験計画の問題に関連して歴史的に生まれた古典統計のtデザインに類似しているため、このように呼ばれています。量子力学におけるtデザインの特に重要な2つのタイプは、射影tデザインとユニタリtデザインです。^[1]

球面設計は、単位球面上の点の集合であり、その点の集合について、有限次数の多項式を平均すると、球面上の面測度を積分して得られる値と同じ値が得られる。球面 T 設計と射影 T 設計は、1970 年代後半の Delsarte、Goethals、および Seidel の研究にちなんで名付けられたが、これらのオブジェクトは、数値積分や数論など、数学のいくつかの分野でそれ以前にも役割を果たしていた。これらのオブジェクトの特定の例は、量子情報理論、^[2] 量子暗号、およびその他の関連分野で使用されている。

ユニタリtデザインは、ユニタリ行列の有限集合を介してユニタリ群全体を再現するという点で、球面デザインに類似しています。^{[1]ユニタリ}2デザインの理論は、ゲートと呼ばれる量子コンピューティング操作のエラーを評価するための効率的でスケーラブルなランダム化ベンチマーク^[3]の実用的な手段を実現するために、2006年に開発されました。それ以来、ユニタリtデザインは量子コンピューティングの他の分野、さらに広くは量子情報理論で有用であることが判明し、ブラックホール情報パラドックスにまで及ぶ問題に適用されています。^[4]理想的な操作は通常ユニタリ演算子によって表されるため、ユニタリtデザインは量子コンピューティングのランダム化タスクに特に関連しています。

d 次元ヒルベルト空間では、すべての量子純粋状態を平均すると、自然群は次元 d の特殊ユニタリー群SU(d) になります。 ^[要出典]ハール測度は、定義により、唯一のグループ不変測度であるため、すべての状態またはすべてのユニタリーにわたってユニタリー不変ではない特性を平均化するために使用されます。

この例として特に広く使われているのはスピン系です。この系では、関連する群はSU(2)で、これは行列式が1であるすべての2x2ユニタリ演算子の群です。SU(2)のすべての演算子はブロッホ球の回転であるため、スピン1/2粒子のハール測度はブロッホ球のすべての回転に対して不変です。これは、ハール測度がブロッホ球上の回転不変測度であり、球の表面上の一定の密度分布と考えることができることを意味します。 ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$

複素射影tデザインの重要なクラスは、対称的な情報的に完全な正の演算子値測度（POVM）であり、複素射影2デザインです。このような2デザインは少なくとも要素を持つ必要があるため、SIC-POVMは最小サイズの複素射影2デザインです。^[5]${\displaystyle d^{2}}$

複素射影tデザインは量子情報理論において量子tデザインとして研究されてきた。^[6]これらは単位球面上のベクトルの球面2tデザインと密接に関連しており、これに自然に埋め込まれると複素射影tデザインが生じる。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$

正式には、量子状態上の確率分布を^[6]複素射影tデザイン と定義し、${\displaystyle (p_{i},|\phi _{i}\rangle )}$

${\displaystyle \sum _{i}p_{i}(|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|)^{\otimes t}=\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi }$

ここで、状態積分は単位球面上のハール測度に対して行われる。${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$

確率分布から状態の t 個のコピーを使用する場合、量子状態に対する正確な t デザインは、すべての状態に対する均一な確率分布と区別できません。ただし、実際には t デザインでさえ計算が難しい場合があります。このため、近似 t デザインが役立ちます。

近似 t 設計は、効率的に実装できるため、最も有用です。つまり、時間内の確率分布に従って分散された量子状態を生成することが可能です。この効率的な構築は、演算子のPOVM を時間内に実装できることも意味します。 ${\displaystyle |\phi \rangle }$${\displaystyle p_{i}|\phi _{i}\rangle }$${\displaystyle O(\log ^{c}d)}$${\displaystyle Np_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|}$${\displaystyle O(\log ^{c}d)}$

近似 T デザインの技術的な定義は次のとおりです。

もし${\displaystyle \sum _{i}p_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|=\int _{\psi }|\psi \rangle \langle \psi |d\psi }$

そして${\displaystyle (1-\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi \leq \sum _{i}p_{i}(|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|)^{\otimes t}\leq (1+\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi }$

は近似tデザイン です。${\displaystyle (p_{i},|\phi _{i}\rangle )}$${\displaystyle \epsilon}$

おそらく非効率的ではあるが、固定された t に対して量子純粋状態からなる近似 t 設計を 見つけることは可能である。${\displaystyle \epsilon}$

便宜上、d は 2 の累乗であると仮定します。

任意の d に対して関数の集合 {0,...,d-1} {0,...,d-1} が存在し、任意の異なる {0,...,d-1} に対して、f が S からランダムに選択される、f による像は、{0,...,d-1} の N 要素の組にわたる均一分布とまったく同じになるという事実を使用します。 ${\displaystyle N^{d}}$${\displaystyle \rightarrow}$${\displaystyle k_{1},...,k_{N}\in }$

をハール測度から導出するものとします。 をの確率分布とし、 とします。最後に、 をP から導出するものとします。 を確率で、 を確率で定義すると、jが奇数 の場合、j が偶数の場合となります。 ${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i=1}^{d}\alpha _{i}|i\rangle }$${\displaystyle P_{d}}$${\displaystyle \alpha _{1}}$${\displaystyle P=\lim _{d\rightarrow \infty }{\sqrt {d}}P_{d}}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle X=|\alpha |}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle X=-|\alpha |}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle E[X^{j}]=0}$${\displaystyle E[X^{j}]=({\tfrac {j}{2}})!}$

これとガウス積分法を使用して、近似的な t デザインを 構築できます。${\displaystyle p_{f,g}={\frac {\sum _{i=1}^{d}a_{f,i}^{2}}{|S_{1}||S_{2}|}}}$${\displaystyle p_{f,g}|\psi _{f,g}\rangle }$

ユニタリtデザインは、ユニタリ行列の有限集合を介してユニタリ群全体を再現するという点で、球面デザインに類似しています。^{[1]ユニタリ}2デザインの理論は、ゲートと呼ばれる量子コンピューティング操作のエラーを評価するための効率的でスケーラブルなランダム化ベンチマーク^[3]の実用的な手段を実現するために、2006年に開発されました。それ以来、ユニタリtデザインは量子コンピューティングの他の分野、より広くは量子情報理論、さらにはブラックホール物理学にまで及ぶ分野で有用であることがわかりました。^[4]理想的な操作は通常ユニタリ演算子によって表されるため、ユニタリtデザインは量子コンピューティングのランダム化タスクに特に関連しています。

ユニタリ t デザインの要素は、ユニタリ グループ U(d) (ユニタリ マトリックスのグループ) の要素です。ユニタリ演算子の t デザインは、状態の t デザインを生成します。 ${\displaystyle d\times d}$

がユニタリ t デザイン (つまり、ユニタリ演算子の集合) であるとします。この場合、任意の純粋状態に対してとします。この場合、状態に対しては常に t デザインになります。 ${\displaystyle {U_{k}}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi _{k}\rangle =U_{k}|\psi \rangle }$${\displaystyle {|\psi _{k}\rangle }}$

ユニタリtデザインXを 正式に定義すると、

${\displaystyle {\frac {1}{|X|}}\sum _{U\in X}U^{\otimes t}\otimes (U^{*})^{\otimes t}=\int _{U(d)}U^{\otimes t}\otimes (U^{*})^{\otimes t}dU}$

U のすべての選択にわたって行列によって線形に張られる空間は、制約と同一であり、この観察から、ユニタリ設計とユニタリ コード間の双対性についての結論が導き出されることに注意してください。 ${\displaystyle U^{\otimes r}\otimes (U^{*})^{\otimes s}dU}$${\displaystyle U\in X}$${\displaystyle r+s=t}$

順列写像を用いることで、ユニタリ行列の集合がTデザインを形成することを直接検証することが可能です^{[6] 。 [7]}

この直接的な結果の一つは、任意の有限${\displaystyle X\subseteq U(d)}$

${\displaystyle {\frac {1}{|X|^{2}}}\sum _{U,V\in X}|\operatorname {tr} (U*V)|^{2t}\geq \int _{U(d)}|\operatorname {tr} (U*V)|^{2t}dU}$

X が t デザインである場合にのみ等式となります。

1と2の設計が詳細に検討され、Xの次元の絶対的な境界、|X|が導出されました。^[8]

を における t 次同次関数の集合として定義し、 における t 次同次関数の集合として定義すると、任意の に対して次のようになります。 ${\displaystyle \operatorname {Hom} (U(d),t,t)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U^{*}}$${\displaystyle f\in \operatorname {Hom} (U(d),t,t)}$

${\displaystyle {\frac {1}{|X|}}\sum _{U\in X}f(U)=\int _{U(d)}f(U)dU}$

X はユニタリ T デザインです。

さらに、関数との内積を の平均値として次のように定義します。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle U(d)}$${\displaystyle {\bar {f}}g}$

${\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int _{U(d)}{\bar {f(U)}}g(U)dX}$

任意の有限部分集合上のの平均値として表されます。 ${\displaystyle \langle f,g\rangle _{X}}$${\displaystyle {\bar {f}}g}$${\displaystyle X\subset U(d)}$

したがって、X がユニタリ t デザインとなるのは、次の場合のみです。 ${\displaystyle \langle 1,f\rangle _{X}=\langle 1,f\rangle \quad \forall f}$

上記から、Xがtデザインであれば、はデザインの絶対的な境界であることが証明できます。これは、ユニタリデザインのサイズに上限を課します。この境界は絶対的であり、デザインの強さまたはコードの次数のみに依存し、サブセットX内の距離には依存しません^。[9]${\displaystyle |X|\geq \dim(\operatorname {Hom} (U(d),\left\lceil {\tfrac {t}{2}}\right\rceil ,\left\lfloor {\tfrac {t}{2}}\right\rfloor ))}$

ユニタリ コードとは、要素間にいくつかの内積値が発生するユニタリ グループの有限部分集合です。具体的には、ユニタリ コードは、X のすべての が異なる値のみを取る 場合の有限部分集合として定義されます。${\displaystyle X\subset U(d)}$${\displaystyle U\neq M}$${\displaystyle |\operatorname {tr} (U^{*}M)|^{2}}$

したがって、U と M が直交する場合は次のようになります。${\displaystyle |X|\leq \dim(\operatorname {Hom} (U(d),s,s))}$${\displaystyle |X|\leq \dim(\operatorname {Hom} (U(d),s,s-1))}$

• 球形デザイン
• 等角線
• ウェルチ境界