量子論理ゲートのリスト

ゲートベースの量子コンピューティングでは、量子演算を表現するためにさまざまな量子論理ゲートのセットが一般的に使用されます。次の表には、いくつかのユニタリ量子論理ゲートが、その一般名、表現方法、およびいくつかのプロパティとともにリストされています。これらのゲートの一部については、制御バージョンまたは共役転置(アジョイント) バージョンがリストされていない場合があります。

恒等ゲートは恒等演算 であり、ほとんどの場合このゲートは回路図には示されませんが、数学的な結果を説明するときに役立ちます。 ${\displaystyle I|\psi \rangle =|\psi \rangle }$

これは「待機サイクル」^[2]およびNOP [ ³ ]であると説明されています。^[1]

グローバル位相ゲートは、量子ビットの量子状態全体にグローバル位相を導入します。量子状態は位相まで一意に定義されます。ボルン則により、位相係数は測定結果に影響を与えません。 任意の に対して。${\displaystyle e^{i\varphi}}$${\displaystyle |e^{i\varphi }|=1}$${\displaystyle \varphi}$

グローバル位相ゲートを量子レジスタ内の単一の量子ビットに適用すると、レジスタ全体のグローバル位相が変化する ためです。${\displaystyle e^{i\delta }|\psi \rangle \otimes |\phi \rangle =e^{i\delta }(|\psi \rangle \otimes |\phi \rangle ),}$

また、${\displaystyle \mathrm {Ph} (0)=I.}$

これらのゲートは、任意の数の量子ビットまたは量子ディットに拡張できます。

この表には、量子ビットによく使われるクリフォードゲートが含まれています。^{[1] [4] [5]}

高次元のものを含むその他のクリフォード ゲートはここには含まれていませんが、定義によりおよびを使用して生成できます。 ${\textstyle H,S}$${\textstyle \mathrm {CNOT} }$

クリフォード ゲートA がパウリ グループに含まれていない場合、または制御されたA がクリフォード ゲートに含まれていない場合に注意してください。^{[引用が必要]}${\displaystyle {\sqrt {A}}}$

クリフォード集合は普遍的な量子ゲート集合ではありません。

位相シフトは、基底状態とをマップする単一量子ビット ゲートのファミリです。このゲートを適用した後、またはを測定する確率は変わりませんが、量子状態の位相が変更されます。これは、水平円 (緯度線) をトレースすること、またはブロッホ球面上の z 軸に沿ったラジアンの回転に相当します。一般的な例は、Tゲートです。ここで、(歴史的にはゲートとして知られています)、位相ゲートです。一部のクリフォード ゲートは、位相シフト ゲートの特殊なケースであることに注意してください。${\displaystyle P(\varphi )|0\rangle =|0\rangle }$${\displaystyle P(\varphi )|1\rangle =e^{i\varphi }|1\rangle }$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle \varphi }$${\textstyle \varphi ={\frac {\pi }{4}}}$${\displaystyle \pi /8}$${\displaystyle P(0)=I,\;P(\pi )=Z;P(\pi /2)=S.}$

位相シフトゲートの引数はU(1)にあり、ゲートは指定された基底状態に沿って U(1) の位相回転を実行します（たとえば、位相を について回転します）。2レベル量子システム（量子ビット）の両方の基底状態の一般的な位相についての回転への拡張は、直列回路を使用して実行できます。このゲートが回転演算子ゲートであり、グローバル位相である場合。[ ^{a] [b]}${\displaystyle P(\varphi )}$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle P(\varphi )}$${\displaystyle P(\beta )\cdot X\cdot P(\alpha )\cdot X={\begin{bmatrix}e^{i\alpha }&0\\0&e^{i\beta }\end{bmatrix}}}$${\displaystyle \alpha =-\beta }$${\displaystyle R_{z}(2\beta )}$${\displaystyle \alpha =\beta }$

Tゲートの歴史的な名前であるゲートは、 というアイデンティティに由来しています。 ${\displaystyle \pi /8}$${\displaystyle R_{z}(\pi /4)\operatorname {Ph} \left({\frac {\pi }{8}}\right)=P(\pi /4)}$${\displaystyle R_{z}(\pi /4)={\begin{bmatrix}e^{-i\pi /8}&0\\0&e^{i\pi /8}\end{bmatrix}}}$

任意の単一量子ビット位相シフトゲートは、マイクロ波制御パルスのタイミングを介して、トランスモン量子プロセッサにネイティブに利用可能である。 ^{[13]これは}フレームの変化の観点から説明することができる。^{[14] [15]}${\displaystyle P(\varphi )}$

任意の単一量子ビットゲートと同様に、位相シフトゲートの制御バージョンを構築できます。計算ベースに関しては、2量子ビット制御位相シフトゲートは、状態 に作用する場合にのみ位相をシフトします。 ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle |11\rangle }$

${\displaystyle |a,b\rangle \mapsto {\begin{cases}e^{i\varphi }|a,b\rangle &{\mbox{for }}a=b=1\\|a,b\rangle &{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

制御Z (または CZ) ゲートは、次の特別なケースです。 ${\displaystyle \varphi =\pi }$

制御Sゲートは制御の場合であり、よく使われるゲートです。^[6]${\displaystyle P(\varphi )}$${\displaystyle \varphi =\pi /2}$

回転演算子ゲートととは、ブロッホ球面投影のx、y、またはz軸に沿ったSO(3)、^[c]の3つの直交軸におけるアナログ回転行列である。 ${\displaystyle R_{x}(\theta ),R_{y}(\theta )}$${\displaystyle R_{z}(\theta )}$

パウリ行列は回転の生成元と関連しているため、これらの回転演算子はパウリ行列を引数に持つ行列指数として記述できます。SU (2)の任意のユニタリ行列は、3つ以下の回転ゲートの積（つまり直列回路）として記述できます。量子ビットやスピノルなどの2レベルシステムの場合、これらの回転の周期は4πであることに注意してください。2π（360度）の回転は、異なる位相で同じ状態ベクトルを返します。^[16]${\displaystyle 2\times 2}$

私たちも、そして皆のために${\displaystyle R_{b}(-\theta )=R_{b}(\theta )^{\dagger }}$${\displaystyle R_{b}(0)=I}$${\displaystyle b\in \{x,y,z\}.}$

回転行列はパウリ行列と次のように関連しています。${\displaystyle R_{x}(\pi )=-iX,R_{y}(\pi )=-iY,R_{z}(\pi )=-iZ.}$

パウリベクトル上の回転の随伴作用、つまりロドリゲスの回転公式を適用して角度aの 2 倍の回転を効果的に計算することができます。

${\displaystyle R_{n}(-a){\vec {\sigma }}R_{n}(a)=e^{i{\frac {a}{2}}\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}~{\vec {\sigma }}~e^{-i{\frac {a}{2}}\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}={\vec {\sigma }}\cos(a)+{\hat {n}}\times {\vec {\sigma }}~\sin(a)+{\hat {n}}~{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}~(1-\cos(a))~.}$

任意の単位ベクトルと上記の式とのドット積を取ると、随伴回転ゲート内に挟まれた任意の単一量子ビットゲートの式が生成されます。たとえば、 と示せます。また、反交換関係を使用すると となります。 ${\displaystyle R_{y}(-\pi /2)XR_{y}(\pi /2)={\hat {x}}\cdot ({\hat {y}}\times {\vec {\sigma }})=Z}$${\displaystyle R_{y}(-\pi /2)XR_{y}(\pi /2)=XR_{y}(+\pi /2)R_{y}(\pi /2)=X(-iY)=Z}$

回転演算子には興味深い恒等式があります。例えば、およびまた、反交換関係を用いると、および${\displaystyle R_{y}(\pi /2)Z=H}$${\displaystyle XR_{y}(\pi /2)=H.}$${\displaystyle ZR_{y}(-\pi /2)=H}$${\displaystyle R_{y}(-\pi /2)X=H.}$

グローバル位相と位相シフトはZ回転演算子によって相互に変換できる。[ ^{5] : 11  [1] : 77–83}${\displaystyle R_{z}(\gamma )\operatorname {Ph} \left({\frac {\gamma }{2}}\right)=P(\gamma )}$

ゲートは、ブロッホ球面におけるx軸を中心としたπ/2の回転を表します。 ${\displaystyle {\sqrt {X}}}$${\displaystyle {\sqrt {X}}=e^{i\pi /4}R_{x}(\pi /2)}$

SU(3)にもゲルマン行列を使った同様の回転演算子ゲートが存在する。これらは量子トリットで使用される回転演算子である。

_{量子ビット-量子ビットの}イジング結合ゲートまたはハイゼンベルク相互作用ゲートRxx、Ryy、Rzz_は2量子ビットゲートであり、例えばモルマー・ソレンセンゲート手順を使用して、一部のトラップイオン量子コンピュータ_にネイティブに実装されています。^{[17] [18]}

これらのゲートは、たとえば正弦波形式でも表現できることに注意してください。 ${\displaystyle R_{xx}(\phi )=\exp \left(-i{\frac {\phi }{2}}X\otimes X\right)=\cos \left({\frac {\phi }{2}}\right)I\otimes I-i\sin \left({\frac {\phi }{2}}\right)X\otimes X}$

CNOTゲートは、回転演算子ゲートと2量子ビット相互作用ゲートの積としてさらに分解することができる。例えば、

${\displaystyle {\mbox{CNOT}}=e^{-i{\frac {\pi }{4}}}R_{y_{1}}(-\pi /2)R_{x_{1}}(-\pi /2)R_{x_{2}}(-\pi /2)R_{xx}(\pi /2)R_{y_{1}}(\pi /2).}$

SWAP ゲートは、たとえば 2 量子ビット相互作用ゲートを使用して他のゲートから構築できます。 ${\displaystyle {\text{SWAP}}=e^{i{\frac {\pi }{4}}}R_{xx}(\pi /2)R_{yy}(\pi /2)R_{zz}(\pi /2)}$

超伝導回路では、ハイゼンベルク相互作用から生じるゲートのファミリーは、fSimゲートセットと呼ばれることもあります。これらは、磁束調整可能な結合を持つ磁束調整可能な量子ビットを使用して実現できます。 ^[19]または固定結合を持つ固定周波数量子ビットのマイクロ波駆動を使用して実現できます。 ^[20]

√SWAPゲートは2量子ビットスワップの途中までを実行します（クリフォードゲートを参照）。これは普遍的なゲートであり、多量子ビットゲートは√SWAPと単一量子ビットゲートのみで構築できます。積状態からベル状態を生成するには、√SWAPを複数回適用する必要があります。√SWAPゲートは、交換相互作用を利用するシステムで自然に発生します。^{[21] [1]}

イジングのような相互作用を持つシステムでは、虚数スワップ^[22]またはiSWAP[23]を導入する方が自然な場合があります。^{[24 ]}および、またはより一般的には0を除くすべての実数nに対してであることに注意してください。 ${\displaystyle i{\mbox{SWAP}}=R_{xx}(-\pi /2)R_{yy}(-\pi /2)}$${\displaystyle {\sqrt {i{\mbox{SWAP}}}}=R_{xx}(-\pi /4)R_{yy}(-\pi /4)}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{i{\mbox{SWAP}}}}=R_{xx}(-\pi /2n)R_{yy}(-\pi /2n)}$

SWAP ^αはスピントロニクス量子コンピュータで自然に発生します。^[1]

Fredkin ゲート( CSWA​​P または CS ゲートとも呼ばれる) は、エドワード・フレドキンにちなんで名付けられ、制御された スワップを実行する 3 ビット ゲートです。これは、古典的な計算では普遍的です。このゲートには、0 と 1 の数が全体を通じて保存されるという便利な特性があり、これはビリヤードのボール モデルでは、入力と同じ数のボールが出力されることを意味します。