量子回路

量子情報理論において、量子回路は量子計算のモデルであり、古典回路と同様である。量子回路における計算は、量子ゲート、測定、量子ビットの既知の値への初期化、およびその他の操作のシーケンスで構成される。量子計算を可能にするために回路が量子ビットに対して実行できる必要のある最小限の操作のセットは、ディヴィンチェンツォの基準として知られている。

回路は、水平軸が時間で、左端から始まり右端で終わるように記述されます。水平線は量子ビット、二重線は古典ビットを表します。これらの線で接続されている項目は、測定やゲートなどの量子ビットに対して実行される操作です。これらの線はイベントのシーケンスを定義し、通常は物理的なケーブルではありません。^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

量子回路要素の図解は、ペンローズの図解表記法の変形を用いて記述される。リチャード・ファインマンは1986年に量子回路表記法の初期バージョンを使用した。^{[ 5 ]}

古典コンピュータの基本的な論理ゲートのほとんどは可逆ではありません。したがって、例えばANDゲートの場合、出力ビットから2つの入力ビットを常に復元できるとは限りません。例えば、出力ビットが0の場合、入力ビットが01なのか10なのか00なのかを判別することはできません。

しかし、古典コンピュータの可逆ゲートは​​任意の長さのビット列に対して容易に構築できます。さらに、不可逆ゲートは​​常に物理的エントロピーを増加させる必要があるため、これらは実際に実用上興味深いものです。可逆ゲートは​​、 nビットデータ に対する可逆関数であり、 nビットデータを返します。ここで、nビットデータとは、 長さ nのビット列x ₁、x ₂、 ...、x _nです。nビットデータの集合は空間 {0,1} ⁿであり、これは0 と 1 の2 ^{n個の文字列から構成されます。}

より正確に言うと、nビット可逆ゲートとは、nビットデータの集合{0,1} ⁿからそれ自身への全単射写像fのことです。このような可逆ゲートfの一例として、入力に固定の順列を適用する写像が挙げられます。実用的なエンジニアリング上の理由から、通常はnの値が小さい場合（例えばn =1、n =2、n =3など）のゲートのみを研究します。これらのゲートは表を用いて容易に記述できます。

量子論理ゲートは、少なくとも1つの量子ビットに対する可逆的なユニタリ変換です。複数の量子ビットをまとめて量子レジスタと呼びます。量子ゲートを定義するには、まずnビットデータの量子置換を指定する必要があります。古典的なnビット空間{0,1} ⁿの量子化バージョンはヒルベルト空間です。

${\displaystyle H_{\operatorname {QB} (n)}=\ell ^{2}(\{0,1\}^{n}).}$

^{これは定義上、{0,1} n}上の複素数値関数の空間であり、自然に内積空間である。$\displaystyle \ell ^{2}}$これは、関数が二乗可積分関数であることを意味します。この空間は、古典的なビット列の 線形結合、または重ね合わせから構成されていると考えることもできます。H QB _{( n )}は、 2 ⁿ次元の複素数上のベクトル空間であることに注意してください。このベクトル空間の要素は、n量子ビット量子レジスタの可能な状態ベクトルです。

ディラックケット記法を用いると、x ₁ , x ₂ , ..., x _nが古典的なビット列である場合、

${\displaystyle |x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\rangle \quad }$

は、この古典的なビット列を 1 にマッピングし、他のすべてのビット列を 0 にマッピングする関数に対応する特別な n量子ビットレジスタです。これらの 2 ⁿ個の特別なn量子ビットレジスタは、計算基底状態と呼ばれます。すべてのn量子ビットレジスタは、これらの計算基底状態の複素線形結合です。

量子論理ゲートは、古典論理ゲートとは異なり、常に可逆です。可逆関数には、特別な種類の関数、すなわちユニタリ写像、つまりエルミート内積を保存する複素内積空間の線形変換が必要です。n量子ビット（可逆）量子ゲートは、n量子ビットレジスタの空間 H _{QB( n )からそれ自身への}ユニタリ写像Uです。

通常、我々はnの値が小さい場合のゲートのみに関心を持つ。

可逆なnビット古典論理ゲートは、次のように可逆なnビット量子ゲートを生成します。各可逆nビット論理ゲートfには、次のように定義される 量子ゲートW _fが対応します。

${\displaystyle W_{f}(|x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\rangle )=|f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\rangle .}$

W _{f は}計算基底状態を置換することに注意してください。

特に重要なのは、量子化された2量子ビット上で定義される制御NOTゲート（CNOTゲートとも呼ばれる）W _CNOTである。古典的な論理ゲートから派生した量子論理ゲートの他の例としては、トフォリゲートとフレドキンゲートがある。

しかし、量子ビットのヒルベルト空間構造は、古典的なゲートでは生成されない多くの量子ゲートを可能にする。例えば、相対位相シフトは、位相シフト演算子による乗算によって与えられる1量子ビットゲートである。

${\displaystyle P(\varphi )={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i\varphi }\end{bmatrix}},}$

それで

${\displaystyle P(\varphi )|0\rangle =|0\rangle \quad P(\varphi )|1\rangle =e^{i\varphi }|1\rangle 。}$

ここでも、まず可逆な古典的計算について考えてみましょう。概念的には、可逆なnビット回路と可逆なnビット論理ゲートに違いはありません。どちらもnビットデータの空間における可逆関数に過ぎません。しかし、前のセクションで述べたように、工学的な理由から、任意の可逆回路を組み立てるために組み合わせることができる、少数の単純な可逆ゲートを用意したいと考えます。

この組み立てプロセスを説明するために、可逆なnビットゲートfと可逆な mビットゲートgがあると仮定します。これらを組み合わせるということは、下の図に示すように、 fのk個の出力をgのk個の入力に接続することによって新しい回路を生成することを意味します。この図では、n = 5、k = 3、m = 7 です。結果として得られる回路も可逆であり、 n + m − kビットで動作します。

この構成を古典的アセンブリと呼ぶことにする（この概念は、後述するキタエフの先駆的な論文における技術的な定義に対応する）。これらの可逆機械を構成する際には、中間機械も可逆であることを確認することが重要である。この条件により、 中間的な「ゴミ」が生成されないことが保証される（正味の物理的効果はエントロピーの増加であり、これがこの作業を行う動機の一つである）。

上記の図の各水平線は、これらの確率ではなく、0 または 1 のいずれかを表していることに注意してください。量子計算は可逆であるため、各「ステップ」では、線の数は入力線の数と同じでなければなりません。また、各入力の組み合わせは、各「ステップ」で単一の組み合わせにマッピングされなければなりません。これは、量子回路の各中間組み合わせが入力の全単射関数であることを意味します。^{[ 6 ]}

これで、トフォリゲートがユニバーサルゲートであることを示すことができる。これは、任意の可逆な古典的なnビット回路hが与えられた場合、上記の方法でトフォリゲートの古典的な集合を構築して、( n + m ) ビット回路fを生成することができることを意味する。

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n},\underbrace {0,\ldots ,0} )=(y_{1},\ldots ,y_{n},\underbrace {0,\ldots ,0} )}$

ここで、m 個のアンダーブレースされたゼロ入力があり、

${\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{n})=h(x_{1},\ldots ,x_{n})}$。

結果の補助ビットは常にm個のゼロの列となることに注目してください。「ゴミ」は一切生成されないため、この計算は物理的な意味でエントロピーを全く生成しません。この点については、キタエフの論文で詳しく議論されています。

より一般的に言えば、任意の関数f (全単射であるか否かを問わず) は、トフォリゲートの回路によってシミュレートできる。当然ながら、写像が単射でない場合、シミュレーションのある時点 (例えば最終ステップ) で、何らかの「ゴミ」を生成する必要がある。

量子回路についても、同様の量子ビットゲートの構成を定義できます。つまり、上記のような任意の古典的な構成に対して、 fの代わりに n 量子ビットゲート U を、g の代わりに m 量子ビットゲート W を用いることで、可逆的な量子回路を生成できます。下の図を参照してください。

このようにゲートを接続することで、 n + m − k量子ビット空間上でユニタリ写像が得られることは容易に確認できる。実際の量子コンピュータでは、ゲート間の物理的な接続は、デコヒーレンスが発生する可能性のある箇所の1つであるため、大きな技術的課題となる。

特定のよく知られたゲートの集合に対しても普遍性定理が存在します。例えば、上記で述べた単一量子ビット位相ゲートU _{θ (適切な θ の値の場合) と 2 量子ビット}CNOT ゲートW _CNOTからなるペアに対して、そのような普遍性定理が存在します。ただし、量子の場合の普遍性定理は、古典の場合の普遍性定理よりもやや弱く、任意の可逆n量子ビット回路は、これら 2 つの基本ゲートから構成される回路によって任意に良好に近似できると主張するだけです。可能な単一量子ビット位相ゲートは、可能なすべての角度 θ に対して 1 つずつ、数えきれないほど存在するため、それらすべてを { U _θ , W _CNOT }から構成される有限回路で表現することはできません。

これまで、量子回路が計算を実行するためにどのように使用されるかは示していませんでした。多くの重要な数値計算問題は、有限次元空間上のユニタリ変換Uの計算に帰着するため (有名な離散フーリエ変換はその代表例です)、何らかの量子回路を設計して変換U を実行できると期待されるかもしれません。原理的には、入力に対する計算基底状態の適切な重ね合わせとしてn量子ビット状態 ψを準備し、出力U ψ を測定するだけで済みます。残念ながら、これには 2 つの問題があります。

• 計算上の基底状態においてψの位相を測定することはできないため、完全な答えを読み出す方法はありません。これは量子力学における測定の本質的な性質です。
• 入力状態ψを効率的に準備する方法はありません。

これは、離散フーリエ変換用の量子回路を他の量子回路の中間ステップとして使用することを妨げるものではありませんが、その使用方法はより微妙です。実際、量子計算は確率的です。

ここでは、量子回路が確率的だが古典的な計算をどのようにシミュレートできるかを示す数学モデルを提示する 。レジスタ空間H _{QB( r )を持つ}r量子ビット回路Uを考える。Uはユニタリ写像である。

${\displaystyle H_{\operatorname {QB} (r)}\rightarrow H_{\operatorname {QB} (r)}.}$

この回路をビット列上の古典的なマッピングに関連付けるために、以下を指定します。

• 入力レジスタX = {0,1} ^mはmビット（古典的）である。
• nビット（古典的）の出力レジスタY = {0,1} ^{n 。}

古典入力レジスタの内容x = x ₁ , ..., x _{m は}、何らかの方法で量子ビットレジスタを初期化するために使用されます。理想的には、これは計算基底状態を使用して行われます。

${\displaystyle |{\vec {x}},0\rangle =|x_{1},x_{2},\cdots ,x_{m},\underbrace {0,\dots ,0} \rangle ,}$

ここでは、 r - m個の下付きゼロ入力があります。しかしながら、この完全な初期化は全く非現実的です。したがって、初期化は、適切なメトリックで理想化された入力に近い、ある密度演算子Sによって与えられる混合状態であると仮定しましょう。

$\displaystyle \operatorname {Tr} \left({\big |}|{\vec {x}},0\rangle \langle {\vec {x}},0|-S{\big |}\right)\leq \delta .}$

同様に、出力レジスタ空間は、Y 値の観測量Aによって量子ビットレジスタと関連付けられます。量子力学における観測量は通常、R上の射影値測度で定義されることに注意してください。変数が離散的である場合、射影値測度は、可算集合上の何らかのパラメータ λ でインデックス付けされた族 {E _λ } に縮小されます。同様に、Y値の観測量は、 Yの要素でインデックス付けされたペアワイズ直交射影の族 {E _y }と関連付けることができます。

${\displaystyle I=\sum _{y\in Y}\operatorname {E} _{y}.}$

混合状態Sが与えられた場合、 Y上の確率測度は 次のように表される。

${\displaystyle \operatorname {Pr} \{y\}=\operatorname {Tr} (S\operatorname {E} _{y}).}$

関数F : X → Yは、長さmのすべてのビット列xに対して、ε の範囲内で回路 U : H _{QB( r )} → H _{QB( r )によって計算されます。}

$\displaystyle \left\langle {\vec {x}},0{\big |}U^{*}\operatorname {E} _{F(x)}U{\big |}{\vec {x}},0\right\rangle =\left\langle \operatorname {E} _{F(x)}U(|{\vec {x}},0\rangle ){\big |}U(|{\vec {x}},0\rangle )\right\rangle \geq 1-\epsilon .}$

今

$\displaystyle \left|\operatorname {Tr} (SU^{*}\operatorname {E} _{F(x)}U)-\left\langle {\vec {x}},0{\big |}U^{*}\operatorname {E} _{F(x)}U{\big |}{\vec {x}},0\right\rangle \right|\leq \operatorname {Tr} ({\big |}|{\vec {x}},0\rangle \langle {\vec {x}},0|-S{\big |})\|U^{*}\operatorname {E} _{F(x)}U\|\leq \delta }$

となることによって

${\displaystyle \operatorname {Tr} (SU^{*}\operatorname {E} _{F(x)}U)\geq 1-\epsilon -\delta .}$

定理。ε + δ < 1/2 の場合、確率分布は

${\displaystyle \operatorname {Pr} \{y\}=\operatorname {Tr} (SU^{*}\operatorname {E} _{y}U)}$

Y上の確率分布 Pr は、十分なサンプルサイズがあれば、多数決サンプリングによってF ( x ) を任意に小さな誤差確率で決定するために使用できます。具体的には、 Y上の確率分布 Pr からk 個の独立したサンプルを取り出し、サンプルの半数以上が同意する値を選択します。値F ( x ) がk /2 回以上サンプリングされる確率は少なくとも

${\displaystyle 1-e^{-2\gamma ^{2}k},}$

ここで、γ = 1/2 - ε - δ である。

これは、チェルノフ限界を適用することによって導かれる。

• 抽象索引表記法
• 角運動量図（量子力学）
• 回路の複雑さとBQP
• 行列積の状態はペンローズの図式表記法を使用する
• 量子レジスタ
• スピンネットワーク
• トレース図

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• Quantum Circuit Simulator (Davy Wybiral) ( qcsimulator.github.io on GitHub ) は、ブラウザベースの量子回路図エディタおよびシミュレータです。
• Quantum Computing Playground（GitHubのQuantum-Computing-Playground）は、ブラウザベースの量子スクリプト環境です。
• Quirk - Quantum Circuit Toy ( GitHubのQuirk ) は、ブラウザベースの量子回路図エディタおよびシミュレータです。