ユニタリ演算子

関数解析において、ユニタリ演算子は、内積を保存するヒルベルト空間上の全射 有界演算子です。ユニタリ演算子は通常、ヒルベルト空間上で作用するものとみなされますが、同じ概念がヒルベルト空間間の同型性の概念を定義するためにも使用されます。

定義 1.ユニタリ演算子は、U * U = UU * = I を満たすヒルベルト空間H上の有界線型演算子 U  : H → Hです。ここで、U *はUの随伴演算子であり、I  : H → H は恒等演算子です。

より弱い条件U * U = I は等長変換を定義します。もう 1 つの弱い条件UU * = Iは余長変換を定義します。したがって、ユニタリ演算子は、等長変換と余長変換の両方である有界線型演算子です^{[1] 。}または、同義語として、射影的等長変換です^[2]。

同等の定義は次のとおりです。

定義 2.ユニタリ演算子は、ヒルベルト空間H上の有界線型演算子U  : H → Hであり、以下が成り立つ。

• Uは射影的であり、
• U はヒルベルト空間Hの内積を保存します。言い換えると、Hのすべてのベクトルxとyに対して次の式が成り立ちます。

  ${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle _{H}=\langle x,y\rangle _{H}.}$

この定義において、定義域と値域が異なることを許容すれば、ヒルベルト空間のカテゴリにおける同型性の概念が捉えられる。等長写像はコーシー列を保存するため、ヒルベルト空間の完全性は保存される^[3]

一見弱いように見える次の定義も同等です。

定義 3.ユニタリ演算子は、ヒルベルト空間H上の有界線型演算子U  : H → Hであり、以下が成り立つ。

• Uの値域はHに稠密であり、
• U はヒルベルト空間Hの内積を保存します。言い換えると、Hのすべてのベクトルxとyに対して次の式が成り立ちます。

  ${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle _{H}=\langle x,y\rangle _{H}.}$

定義 1 と 3 が同等であることを確認するには、U が内積を保存するということはUが等長変換(つまり、有界線型演算子) であることを意味することに注意してください。 U が稠密な範囲を持つという事実は、それが有界逆U ^{−1を持つことを保証します。} U ⁻¹ = U *であることは明らかです。

したがって、ユニタリ演算子はヒルベルト空間の自己同型にすぎず、作用する空間の構造（ベクトル空間構造、内積、したがって位相）を保存します。与えられたヒルベルト空間Hからそれ自身へのすべてのユニタリ演算子の群は、Hのヒルベルト群と呼ばれ、Hilb( H )またはU ( H )と表記されることがあります。

• 恒等関数は明らかにユニタリ演算子です。
• R ²における回転は、ユニタリ演算子の最も単純で非自明な例です。回転によってベクトルの長さや 2 つのベクトル間の角度が変化することはありません。この例はR ³に拡張できます。
• 複素数のベクトル空間 C上では、絶対値1の数、つまりθ ∈ Rに対してe ^iθの形式の数による乗算はユニタリ演算子です。θ は位相と呼ばれ、この乗算は位相による乗算と呼ばれます。θの2 πを法とする値は乗算の結果に影響しないことに注意してください。そのため、 C上の独立したユニタリ演算子は円によってパラメータ化されます。対応するグループは、集合として円であり、U(1)と呼ばれます。
• より一般的には、ユニタリ行列はまさに有限次元ヒルベルト空間上のユニタリ作用素なので、ユニタリ作用素の概念はユニタリ行列の概念の一般化である。 直交行列は、すべての要素が実数であるユニタリ行列の特殊なケースである。^{[4]それらは}R ⁿ上のユニタリ作用素である。
• 整数でインデックス付けされたシーケンス空間ℓ ²上の左右シフトはユニタリです。一般に、正規直交基底を置換することによって作用するヒルベルト空間内の任意の演算子はユニタリです。有限次元の場合、そのような演算子は置換行列です。
• 一方向シフト（右シフト）は等長変換であり、その共役（左シフト）は共等長変換です。
• フーリエ演算子はユニタリ演算子、つまりフーリエ変換（適切な正規化を伴う）を実行する演算子です。これはパーセバルの定理に従います。
• ユニタリ演算子はユニタリ表現で使用されます。
• 量子論理ゲートはユニタリ演算子です。すべてのゲートがエルミートであるわけではありません。
• ユニタリ元はユニタリ演算子の一般化である。ユニタリ代数において、代数の元Uがユニタリ元と呼ばれるのは、U * U = UU * = I （ Iは乗法単位元）であるときである。^[5]

ユニタリ演算子の定義における線形性の要件は、スカラー積の線形性と正定値性から導かれるため、意味を変えることなく削除できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\|\lambda U(x)-U(\lambda x)\|^{2}&=\langle \lambda U(x)-U(\lambda x),\lambda U(x)-U(\lambda x)\rangle \\[5pt]&=\|\lambda U(x)\|^{2}+\|U(\lambda x)\|^{2}-\langle U(\lambda x),\lambda U(x)\rangle -\langle \lambda U(x),U(\lambda x)\rangle \\[5pt]& =|\lambda |^{2}\|U(x)\|^{2}+\|U(\lambda x)\|^{2}-{\overline {\lambda }}\langle U(\lambda x),U(x)\rangle -\lambda \langle U(x),U(\lambda x)\rangle \\[5pt]&=|\lambda |^{2}\|x\|^{2 }+\|\lambda x\|^{2}-{\overline {\lambda }}\langle \lambda x,x\rangle -\lambda \langle x,\lambda x\rangle \\[5pt]&=0\end{整列}}}$

同様にして、

${\displaystyle \|U(x+y)-(Ux+Uy)\|=0.}$

• ユニタリ演算子Uのスペクトルは単位円上にあります。つまり、スペクトル内の任意の複素数λに対して、 | λ | = 1が成り立ちます。これは、正規演算子のスペクトル定理の結果として見ることができます。定理により、U は、ある有限測度空間( X、μ )に対して、L ² ( μ )上のボレル測定可能なfによる乗算とユニタリに等しくなります。ここで、UU * = I は、 | f ( x )| ² = 1、μ -aeを意味します。これは、 fの本質的な範囲、つまりUのスペクトルが単位円上に存在することを示しています。
• 線型写像は、射影的かつ等長である場合にユニタリです。( 「only if」の部分を示すには、分極恒等式を使用します。)

• 反ユニタリー – 2 つの複素ヒルベルト空間間の全単射反線型写像リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• しわのある弧
• 量子論理ゲート – 量子コンピューティングの基本回路
• ユニタリ行列 – 共役転置がその逆行列に等しい複素行列
• ユニタリ変換 – 内積を保存する準同型性

• コンウェイ、JB (1990)。関数解析コース。数学大学院テキスト。第96巻。Springer Verlag。ISBN 0-387-97245-5。

• ロバート・S・ドーラン;ベルフィ、ビクター A. (1986)。C*-代数の特徴付け: ゲルファント・ナイマルクの定理。ニューヨーク：マーセル・デッカー。ISBN 0-8247-7569-4。

• ハルモス、ポール(1982)。ヒルベルト空間問題集。数学の大学院テキスト。第 19 巻 (第 2 版)。Springer Verlag。ISBN 978-0387906850。

• ラング、セルジュ(1972)。微分多様体。マサチューセッツ州レディング、ロンドン、オンタリオ州ドンミルズ: アディソン・ウェスリー出版、ISBN 978-0387961132。

• ローマン、スティーブン（2008）、上級線形代数、数学大学院テキスト（第3版）、Springer、ISBN 978-0-387-72828-5