量子状態の忠実度

量子力学、特に量子情報理論では、忠実度は2 つの密度行列間の「近さ」を定量化します。これは、一方の状態が他方の状態と同一視するテストに合格する確率を表します。これは密度行列の空間上の測定基準ではありませんが、この空間上のビュール測定基準を定義するために使用できます。

2つの量子状態と間の忠実度は密度行列として表され、一般的に次のように定義される: ^{[1] [2]}${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \sigma}$

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\left(\operatorname {tr} {\sqrt {{\sqrt {\rho }}\sigma {\sqrt {\rho }}}}\right)^{2}.}$

この式の平方根は、と が両方とも半正定値行列であり、半正定値行列の平方根がスペクトル定理によって定義されているため、明確に定義されています。古典的な定義のユークリッド内積は、ヒルベルト・シュミット内積に置き換えられます。 ${\displaystyle \rho}$${\displaystyle {\sqrt {\rho }}\sigma {\sqrt {\rho }}}$

次のセクションで説明するように、この式はさまざまなケースで簡略化できます。特に、純粋状態 および の場合、次の式は次のようになります。これは、純粋状態間の忠実度は、 を含む基底で測定した場合に状態が見つかる確率という観点から簡単に解釈できることを示しています。 ${\displaystyle \rho =|\psi _{\rho }\rangle \!\langle \psi _{\rho }|}$${\displaystyle \sigma =|\psi _{\sigma }\rangle \!\langle \psi _{\sigma }|}$$${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=|\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |^{2}.}$$${\displaystyle |\psi _{\rho }\rangle }$${\displaystyle |\psi _{\sigma }\rangle }$${\displaystyle |\psi _{\rho }\rangle }$

一部の著者は別の定義を使用して、この量を忠実度と呼んでいます。^[2]ただし、の定義の方が一般的です。^{[3] [4] [5]}混乱を避けるために、「平方根忠実度」と呼ぶこともできます。いずれにしても、忠実度が使用されるときはいつでも、採用された定義を明確にすることをお勧めします。 ${\displaystyle F':={\sqrt {F}}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F'}$

値（カテゴリカルランダム変数）と確率を持つ2つのランダム変数 が与えられた場合、およびの忠実度は量として定義されます。 ${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle (1,...,n)}$${\displaystyle p=(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n})}$${\displaystyle q=(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle F(X,Y)=\left(\sum _{i}{\sqrt {p_{i}q_{i}}}\right)^{2}}$。

忠実度はランダム変数の周辺分布を扱います。これらの変数の結合分布については何も言及しません。言い換えると、忠実度は、ユークリッド空間のベクトルとして見たとの内積の 2 乗です。の場合に限り となることに注意してください。一般に です。この尺度はBhattacharyya 係数として知られています。 ${\displaystyle F(X,Y)}$${\displaystyle ({\sqrt {p_{1}}},\ldots ,{\sqrt {p_{n}}})}$${\displaystyle ({\sqrt {q_{1}}},\ldots ,{\sqrt {q_{n}}})}$${\displaystyle F(X,Y)=1}$${\displaystyle p=q}$${\displaystyle 0\leq F(X,Y)\leq 1}$ ${\displaystyle \sum _{i}{\sqrt {p_{i}q_{i}}}}$

2 つの確率分布の区別可能性の古典的な尺度が与えられれば、2 つの量子状態の区別可能性の尺度を次のように動機付けることができます。実験者が量子状態が 2 つの可能性のどちらかであるか、またはであるかを決定しようとしている場合、状態に対して実行できる最も一般的な測定はPOVMであり、これは一連のエルミート正半正定値演算子によって記述されます。この POVM を使用して状態を測定すると、- 番目の結果が確率 で見つかり、同様に については確率 で見つかります。と を区別する能力は、古典的な確率分布とを区別する能力と同等です。すると、自然な疑問として、2 つの分布を可能な限り区別可能にする POVM は何か、この文脈では POVM の可能な選択肢にわたって Bhattacharyya 係数を最小化することを意味します。正式には、量子状態間の忠実度を次のように定義します。 ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \{F_{i}\}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle i}$${\displaystyle p_{i}=\operatorname {tr} (\rho F_{i})}$${\displaystyle q_{i}=\operatorname {tr} (\sigma F_{i})}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\min _{\{F_{i}\}}F(X,Y)=\min _{\{F_{i}\}}\left(\sum _{i}{\sqrt {\operatorname {tr} (\rho F_{i})\operatorname {tr} (\sigma F_{i})}}\right)^{2}.}$

^{FuchsとCaves [6]}は、この式の最小化は明示的に計算できることを示しており、解は の固有基底で測定することに対応する射影POVMであり、忠実度の一般的な明示的な式は次のように表される。${\displaystyle \sigma ^{-1/2}|{\sqrt {\sigma }}{\sqrt {\rho }}|\sigma ^{-1/2}}$$${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\left(\operatorname {tr} {\sqrt {{\sqrt {\rho }}\sigma {\sqrt {\rho }}}}\right)^{2}.}$$

トレースノルムを介した任意の状態間の忠実度の同等の表現は次のようになります。

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\lVert {\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}\rVert _{\operatorname {tr} }^{2}=\left(\operatorname {tr} |{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|\right)^{2},}$

ここで、演算子の絶対値は と定義されます。 ${\displaystyle |A|\equiv {\sqrt {A^{\dagger }A}}}$

行列のトレースはその固有値の合計に等しいので

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\sum _{j}{\sqrt {\lambda _{j}}},}$

ここで はの固有値であり、 は構成上半正定値であるため、固有値の平方根は明確に定義されます。2つの行列の積の特性多項式は次数に依存しないため、行列積のスペクトルは巡回置換に対して不変であり、したがってこれらの固有値は から計算できます。^[7]トレース特性を逆にすると、 ${\displaystyle \lambda _{j}}$${\displaystyle {\sqrt {\rho }}\sigma {\sqrt {\rho }}}$${\displaystyle \rho \sigma }$

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\left(\operatorname {tr} {\sqrt {\rho \sigma }}\right)^{2}}$。

2つの状態のうち少なくとも1つが純粋である場合、たとえば の場合、忠実度は に単純化されます。これは、が純粋である場合に となることを観察すると従い、したがって${\displaystyle \rho =|\psi _{\rho }\rangle \!\langle \psi _{\rho }|}$$${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\operatorname {tr} (\sigma \rho )=\langle \psi _{\rho }|\sigma |\psi _{\rho }\rangle .}$$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\sqrt {\rho }}=\rho }$$${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\left(\operatorname {tr} {\sqrt {|\psi _{\rho }\rangle \langle \psi _{\rho }|\sigma |\psi _{\rho }\rangle \langle \psi _{\rho }|}}\right)^{2}=\langle \psi _{\rho }|\sigma |\psi _{\rho }\rangle \left(\operatorname {tr} {\sqrt {|\psi _{\rho }\rangle \langle \psi _{\rho }|}}\right)^{2}=\langle \psi _{\rho }|\sigma |\psi _{\rho }\rangle .}$$

両方の状態が純粋で、 の場合、さらに単純な式が得られます。${\displaystyle \rho =|\psi _{\rho }\rangle \!\langle \psi _{\rho }|}$${\displaystyle \sigma =|\psi _{\sigma }\rangle \!\langle \psi _{\sigma }|}$$${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=|\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |^{2}.}$$

量子状態の忠実度の重要な特性のいくつかは次のとおりです。

• 対称性。${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=F(\sigma ,\rho )}$
• 有界値。任意のおよび、、 に対して。${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle 0\leq F(\rho ,\sigma )\leq 1}$${\displaystyle F(\rho ,\rho )=1}$
• 確率分布間の忠実性に関する一貫性。と が可換である場合、定義は に簡略化されます。ここで はそれぞれ の固有値です。これを確認するには、 の場合、 は同じ基底 で対角化できることを思い出してください。つまり、${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \sigma }$ $${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\left[\operatorname {tr} {\sqrt {\rho \sigma }}\right]^{2}=\left(\sum _{k}{\sqrt {p_{k}q_{k}}}\right)^{2}=F({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}}),}$$${\displaystyle p_{k},q_{k}}$${\displaystyle \rho ,\sigma }$${\displaystyle [\rho ,\sigma ]=0}$$${\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}|i\rangle \langle i|{\text{ and }}\sigma =\sum _{i}q_{i}|i\rangle \langle i|,}$$${\displaystyle \operatorname {tr} {\sqrt {\rho \sigma }}=\operatorname {tr} \left(\sum _{k}{\sqrt {p_{k}q_{k}}}|k\rangle \!\langle k|\right)=\sum _{k}{\sqrt {p_{k}q_{k}}}.}$
• 量子ビットの明示的な表現。

とが両方とも量子ビット状態である場合、忠実度は次のように計算できる ^{[1] [8]}${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\operatorname {tr} (\rho \sigma )+2{\sqrt {\det(\rho )\det(\sigma )}}.}$

量子ビット状態とは、およびが2 次元行列によって表されることを意味します。この結果は、 が半正定値演算子であることに気づくことから得られます。したがって、 であり、ここでおよびは の (非負の) 固有値です。(または) が純粋な場合、この結果は、純粋状態であるため、さらに と簡略化されます。 ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle M={\sqrt {\rho }}\sigma {\sqrt {\rho }}}$${\displaystyle \operatorname {tr} {\sqrt {M}}={\sqrt {\lambda _{1}}}+{\sqrt {\lambda _{2}}}}$${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\operatorname {tr} (\rho \sigma )}$${\displaystyle \mathrm {Det} (\rho )=0}$

直接計算により、忠実度はユニタリー進化によって保存されることが示され、すなわち

${\displaystyle \;F(\rho ,\sigma )=F(U\rho \;U^{*},U\sigma U^{*})}$

任意のユニタリ演算 子に対して。 ${\displaystyle U}$

を任意の正の演算子値測度(POVM)、つまり を満たす半正定値演算子の集合とします。すると、との任意の状態のペアに対して、 が成り立ちます 。ここで、 最後のステップでは を で表し、 をPOVM で測定して得られた確率分布を表します。 ${\displaystyle \{E_{k}\}_{k}}$${\displaystyle E_{k}}$${\displaystyle \sum _{k}E_{k}=I}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \sigma }$$${\displaystyle {\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}\leq \sum _{k}{\sqrt {\operatorname {tr} (E_{k}\rho )}}{\sqrt {\operatorname {tr} (E_{k}\sigma )}}\equiv \sum _{k}{\sqrt {p_{k}q_{k}}},}$$${\displaystyle p_{k}\equiv \operatorname {tr} (E_{k}\rho )}$${\displaystyle q_{k}\equiv \operatorname {tr} (E_{k}\sigma )}$${\displaystyle \rho ,\ \sigma }$${\displaystyle \{E_{k}\}_{k}}$

これは、2つの量子状態間の忠実度の平方根が、任意の可能なPOVMにおける対応する確率分布間のバタチャリヤ係数によって上限が定められていることを示しています。実際、より一般的には、であり、最小値はすべての可能なPOVMで採用されます。より具体的には、演算子 の固有基底で測定することに対応する射影POVMによって最小値が達成されることを証明できます。^[9]$${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\min _{\{E_{k}\}}F({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}}),}$$${\displaystyle F({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})\equiv \left(\sum _{k}{\sqrt {p_{k}q_{k}}}\right)^{2}}$${\displaystyle \sigma ^{-1/2}|{\sqrt {\sigma }}{\sqrt {\rho }}|\sigma ^{-1/2}}$

前述のように、忠実度の平方根は次のように表すことができ、これは次のような ユニタリ演算子の存在と同等である。${\displaystyle {\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}=\operatorname {tr} |{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|,}$${\displaystyle U}$

$${\displaystyle {\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}=\operatorname {tr} ({\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}U).}$$任意の POVM に対して が成り立つことを覚えておくと、最後のステップで Cauchy-Schwarz の不等式を のように使用したところでと書くことができます。 ${\displaystyle \sum _{k}E_{k}=I}$$${\displaystyle {\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}=\operatorname {tr} ({\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}U)=\sum _{k}\operatorname {tr} ({\sqrt {\rho }}E_{k}{\sqrt {\sigma }}U)=\sum _{k}\operatorname {tr} ({\sqrt {\rho }}{\sqrt {E_{k}}}{\sqrt {E_{k}}}{\sqrt {\sigma }}U)\leq \sum _{k}{\sqrt {\operatorname {tr} (E_{k}\rho )\operatorname {tr} (E_{k}\sigma )}},}$$${\displaystyle |\operatorname {tr} (A^{\dagger }B)|^{2}\leq \operatorname {tr} (A^{\dagger }A)\operatorname {tr} (B^{\dagger }B)}$

2つの状態間の忠実度は、非選択的な量子操作を 状態に適用した場合、決して低下しないことが示されます。^[10]任意のトレース保存完全正写像に対して。 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$$${\displaystyle F({\mathcal {E}}(\rho ),{\mathcal {E}}(\sigma ))\geq F(\rho ,\sigma ),}$$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

2つの行列AとBの間のトレース距離をトレースノルムで 定義すると、

${\displaystyle D(A,B)={\frac {1}{2}}\|A-B\|_{\rm {tr}}\,.}$

AとBが両方とも密度演算子である場合、これは統計距離の量子一般化である。これは、トレース距離がフックス・ファン・デ・グラーフ不等式によって定量化された忠実度の上限と下限を提供するため重要である。^[11]

${\displaystyle 1-{\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}\leq D(\rho ,\sigma )\leq {\sqrt {1-F(\rho ,\sigma )}}\,.}$

多くの場合、トレース距離は忠実度よりも計算や境界設定が簡単なので、これらの関係は非常に便利です。状態の少なくとも 1 つが純粋状態Ψ である場合、下限を厳しくすることができます。

${\displaystyle 1-F(\psi ,\rho )\leq D(\psi ,\rho )\,.}$

2つの純粋状態については、それらの忠実度が重なりと一致することを確認しました。ウルマンの定理^[12]は、この主張を混合状態にも一般化し、その純粋度の観点から示しています。

定理ρ と σ をC ⁿに作用する密度行列とする。ρ ^{1 ⁄ 2 を}ρ の唯一の正の平方根とし、

$${\displaystyle |\psi _{\rho }\rangle =\sum _{i=1}^{n}(\rho ^{{1}/{2}}|e_{i}\rangle )\otimes |e_{i}\rangle \in \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}}$$

ρ の精製（したがって正規直交基底） であれば、次の等式が成り立ちます。${\displaystyle \textstyle \{|e_{i}\rangle \}}$

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\max _{|\psi _{\sigma }\rangle }|\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |^{2}}$

ここで、σ の精製です。したがって、一般に、忠実度は精製間の最大の重なりになります。 ${\displaystyle |\psi _{\sigma }\rangle }$

簡単な証明は次のように表すことができます。ベクトル ${\displaystyle \textstyle |\Omega \rangle }$

${\displaystyle |\Omega \rangle =\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \otimes |e_{i}\rangle }$

σ ^{1 ⁄ 2}はσの唯一の正の平方根である。平方根分解におけるユニタリ自由度と正規直交基底の選択により、σの任意の精製は次の形式になること がわかる。

${\displaystyle |\psi _{\sigma }\rangle =(\sigma ^{{1}/{2}}V_{1}\otimes V_{2})|\Omega \rangle }$

ここで、V _iはユニタリ演算子です。ここで直接計算します。

${\displaystyle |\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |^{2}=|\langle \Omega |(\rho ^{{1}/{2}}\otimes I)(\sigma ^{{1}/{2}}V_{1}\otimes V_{2})|\Omega \rangle |^{2}=|\operatorname {tr} (\rho ^{{1}/{2}}\sigma ^{{1}/{2}}V_{1}V_{2}^{T})|^{2}.}$

しかし、一般に、任意の正方行列AとユニタリUに対して、 |tr( AU )| ≤ tr(( A ^* A ) ^{1 ⁄ 2} ) が成り立ちます。さらに、 U ^{* が}Aの極分解におけるユニタリ演算子である場合、等式が達成されます。このことから、ウルマンの定理が直接導かれます。

ここでは、ウルマンの定理を証明する別の明示的な方法を紹介します。

および をそれぞれおよび の精製物とします。まず、 であることを示します。 ${\displaystyle |\psi _{\rho }\rangle }$${\displaystyle |\psi _{\sigma }\rangle }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle |\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |\leq \operatorname {tr} |{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|}$

状態の精製の一般的な形式は次のとおりです。はの固有ベクトル、 は任意の正規直交基底です。精製間の重なりは で、ユニタリ行列はと定義されます。不等式 を使用することで、結論に達します。この不等式は、行列の特異値に適用された三角不等式であることに注意してください。実際、一般的な行列とユニタリの場合、 となります。 は、特異値分解の場合と同様に、の(常に実数で非負の)特異値です。不等式は飽和し、のとき、つまり のとき、等式になります。上記は、精製とが となる場合、 であることを示しています。この選択は状態に関わらず可能であるため、最終的に と結論付けることができます。$${\displaystyle {\begin{aligned}|\psi _{\rho }\rangle &=\sum _{k}{\sqrt {\lambda _{k}}}|\lambda _{k}\rangle \otimes |u_{k}\rangle ,\\|\psi _{\sigma }\rangle &=\sum _{k}{\sqrt {\mu _{k}}}|\mu _{k}\rangle \otimes |v_{k}\rangle ,\end{aligned}}}$$${\displaystyle |\lambda _{k}\rangle ,|\mu _{k}\rangle }$${\displaystyle \rho ,\ \sigma }$${\displaystyle \{u_{k}\}_{k},\{v_{k}\}_{k}}$$${\displaystyle \langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle =\sum _{jk}{\sqrt {\lambda _{j}\mu _{k}}}\langle \lambda _{j}|\mu _{k}\rangle \,\langle u_{j}|v_{k}\rangle =\operatorname {tr} \left({\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}U\right),}$$${\displaystyle U}$$${\displaystyle U=\left(\sum _{k}|\mu _{k}\rangle \!\langle u_{k}|\right)\,\left(\sum _{j}|v_{j}\rangle \!\langle \lambda _{j}|\right).}$$${\displaystyle |\operatorname {tr} (AU)|\leq \operatorname {tr} ({\sqrt {A^{\dagger }A}})\equiv \operatorname {tr} |A|}$$${\displaystyle |\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |=|\operatorname {tr} ({\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}U)|\leq \operatorname {tr} |{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|.}$$${\displaystyle A\equiv \sum _{j}s_{j}(A)|a_{j}\rangle \!\langle b_{j}|}$${\displaystyle U=\sum _{j}|b_{j}\rangle \!\langle w_{j}|}$$${\displaystyle {\begin{aligned}|\operatorname {tr} (AU)|&=\left|\operatorname {tr} \left(\sum _{j}s_{j}(A)|a_{j}\rangle \!\langle b_{j}|\,\,\sum _{k}|b_{k}\rangle \!\langle w_{k}|\right)\right|\\&=\left|\sum _{j}s_{j}(A)\langle w_{j}|a_{j}\rangle \right|\\&\leq \sum _{j}s_{j}(A)\,|\langle w_{j}|a_{j}\rangle |\\&\leq \sum _{j}s_{j}(A)\\&=\operatorname {tr} |A|,\end{aligned}}}$$${\displaystyle s_{j}(A)\geq 0}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \langle w_{j}|a_{j}\rangle =1}$${\displaystyle U=\sum _{k}|b_{k}\rangle \!\langle a_{k}|,}$${\displaystyle AU={\sqrt {AA^{\dagger }}}\equiv |A|}$${\displaystyle |\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |=\operatorname {tr} |{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|}$${\displaystyle |\psi _{\rho }\rangle }$${\displaystyle |\psi _{\sigma }\rangle }$${\displaystyle {\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}U=|{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|}$$${\displaystyle \operatorname {tr} |{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|=\max |\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |.}$$

ウルマンの定理の直接的な帰結としては、

• 忠実度は引数において対称です。つまり、F (ρ,σ) = F (σ,ρ) です。これは元の定義からは明らかではないことに注意してください。
• コーシー・シュワルツの不等式により、F (ρ,σ)は[0,1]にあります。
• _{Ψ ρ} = Ψ _{σ は}ρ = σ を意味するため、ρ = σ の場合に限り、F (ρ,σ) = 1 となります。

忠実度はほぼ測定基準のように振舞うことがわかります。これを定式化して、定義することで有用にすることができます。

${\displaystyle \cos ^{2}\theta _{\rho \sigma }=F(\rho ,\sigma )\,}$

状態と の間の角度として。上記の性質から、 は非負であり、入力に対して対称であり、 の場合にのみゼロに等しいことがわかります。さらに、三角不等式^[2]に従うことが証明されているため、この角度は状態空間上の計量、つまりフビニ・スタディ計量となります。^[13]${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \theta _{\rho \sigma }}$${\displaystyle \rho =\sigma }$

• クアンティキ：忠実さ