ミレニアム懸賞問題

ミレニアム懸賞問題は、 2000 年にクレイ数学研究所によって選ばれた7 つのよく知られた複雑な数学の問題です。クレイ研究所は、各問題の最初の正解者に 100 万ドルの賞金を授与することを約束しています。

クレイ数学研究所は、2000年5月24日に開催されたミレニアム会議において、7つの未解決数学問題、バーチとスウィナートン・ダイアーの予想、ホッジ予想、ナビエ・ストークスの存在と滑らかさ、P対NP問題、リーマン予想、ヤン・ミルズの存在と質量ギャップ、および ポアンカレ予想を正式に「ミレニアム問題」と名付けました。そのため、クレイ数学研究所の公式ウェブサイトでは、これら7つの問題は正式に「ミレニアム問題」と呼ばれています。

現在までに解決された唯一のミレニアム賞問題はポアンカレ予想である。クレイ研究所は2010年にロシアの数学者グリゴリー・ペレルマンに賞金を授与した。しかし、ペレルマンは、彼の研究の基礎となったリチャード・S・ハミルトンに賞が提示されなかったため、受賞を辞退した。

クレイ研究所は、1900年に数学者デイヴィッド・ヒルベルトがまとめた23の問題集に触発されて設立された。これらの問題は20世紀の数学の進歩に大きな影響を与えた。^[1]選ばれた7つの問題は、代数幾何学、数論幾何学、幾何学的位相幾何学、数理物理学、数論、偏微分方程式、理論計算機科学など、数学のさまざまな分野にまたがっている。ヒルベルトの問題とは異なり、クレイ研究所が選んだ問題はプロの数学者の間ではすでに有名で、多くの人がその解決に向けて積極的に取り組んでいた。^[2]

7つの問題は、2000年5月24日（パリのコレージュ・ド・フランスの円形劇場マルグリット・ド・ナヴァール）に開催された式典で、ジョン・テイトとマイケル・アティヤによって正式に発表されました。^[3]

1990年代にポアンカレ予想の研究を始めたグリゴリー・ペレルマンは、2002年と2003年にその証明を発表した。2010年に彼がクレイ研究所の賞金を辞退したことは、メディアで大きく報道された。他の6つのミレニアム懸賞問題は、アマチュア数学者とプロの数学者の両方による多数の不十分な証明にもかかわらず、未解決のままである。

クレイ研究所の科学諮問委員会の一員であるアンドリュー・ワイルズは、賞金を100万ドルにすることで、一般の人々の間で、選ばれた問題と「数学の探求の面白さ」の両方が広まることを期待した。^[4]もう一人の委員会メンバーであるフィールズ賞受賞者の アラン・コヌは、未解決の問題に関する宣伝が、数学が「コンピューターに追い抜かれる」という一般の人々の「誤った考え」と戦うのに役立つことを期待した。^[5]

数学者の中には、もっと批判的な人もいる。アナトリー・ベルシックは、彼らの賞金を「ショービジネス」であり「現代の大衆文化の最悪の兆候」であると特徴づけ、数学に対する一般大衆の評価を高めるためにもっと有意義な投資方法があると考えていた。^[6]彼は、ペレルマンとその研究に対するメディアの扱いが表面的で、賞金自体に過度の注目が集まっていることを意外ではないと考えた。対照的に、ベルシックはクレイ研究所が研究会議や若手研究者に直接資金を提供していることを賞賛した。ベルシックのコメントは、後にフィールズ賞受賞者のシン・トン・ヤウによって繰り返され、財団が基本的な数学の問題を「流用」し「それに財団の名を付ける」行動を取るという考えにも批判的だった。^[7]

幾何学的位相幾何学 の分野では、2 次元球面は、閉じた単連結な唯一の2 次元面であるという特徴があります。1904 年に、アンリ ポアンカレは、同様のことが 3 次元形状にも当てはまるかどうかという疑問を提起しました。これはポアンカレ予想として知られるようになり、その正確な定式化は次のとおりです。

閉じていて単連結な任意の3 次元位相多様体は、 3 次元球面に同相でなければなりません。

この予想は通常この形式で述べられますが、（1950 年代に発見されたように）滑らかな多様体と微分同相写像の文脈で提示することと同等です。

この予想の証明は、より強力な幾何化予想とともに、 2002年と2003年にグリゴリー・ペレルマンによって与えられた。ペレルマンの解決により、リチャード・ハミルトンが20年かけて開発してきた幾何化予想の解決プログラムが完成した。ハミルトンとペレルマンの研究は、リーマン幾何学の分野で定義された偏微分方程式の複雑なシステムであるハミルトンのリッチフローを中心に展開された。

リッチフロー理論への貢献により、ペレルマンは2006年にフィールズ賞を受賞したが、受賞を辞退した。^[8]ポアンカレ予想の証明により、ペレルマンは2010年3月18日にミレニアム賞を受賞した。^[9]しかし、彼はハミルトンの貢献は自分の貢献に劣らないとして、賞と賞金を辞退した。^[10]

バーチとスウィナートン・ダイアーの予想は、有理数上の楕円曲線を定義する方程式の特定の種類を扱っています。この予想は、そのような方程式が有限個の有理解を持つか無限個を持つかを判断する簡単な方法があるというものです。より具体的には、この予想のミレニアム賞バージョンは、楕円曲線E が階数r を持つ場合、それに関連付けられたL関数L ( E , s )はs = 1でr の位数まで消えるというものです。

ヒルベルトの第 10 の問題は、より一般的なタイプの方程式を扱っており、その場合、与えられた方程式に解が存在するかどうかを決定するアルゴリズム的な方法は存在しないことが証明されました。

この問題の公式声明はアンドリュー・ワイルズによって発表された。^[11]

ホッジ予想は、射影 代数多様体に対して、ホッジサイクルは代数サイクルの有理線形結合であるというものです。

${\displaystyle \operatorname {Hdg} ^{k}(X)=H^{2k}(X,\mathbb {Q} )\cap H^{k,k}(X).}$

これをX上の2 k次ホッジ類の群と呼びます。

ホッジ予想の現代的な説明は次のとおりです。

X を非特異複素射影多様体とする。すると、X上のすべてのホッジ類は、 Xの複素部分多様体のコホモロジー類の有理係数を持つ線型結合となる。

この問題に関する公式声明はピエール・ドリーニュによって発表された。^[12]

${\displaystyle \overbrace {\underbrace {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}} _{\begin{smallmatrix}{\text{変動}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} } _{\begin{smallmatrix}{\text{対流}}\end{smallmatrix}}} ^{\text{慣性（体積あたり）}}\overbrace {{}-\underbrace {\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} } _{\text{拡散}}=\underbrace {-\nabla w} _{\begin{smallmatrix}{\text{内部}}\\{\text{source}}\end{smallmatrix}}} ^{\text{発散応力}}+\underbrace {\mathbf {g} } _{\begin{smallmatrix}{\text{External}}\\{\text{source}}\end{smallmatrix}}.}$

ナビエ・ストークス方程式は流体の運動を記述するもので、流体力学の柱の 1 つです。しかし、科学や工学におけるその重要性にもかかわらず、その解の理論的理解は不完全です。3 次元の方程式系では、いくつかの初期条件が与えられている場合、数学者はまだ滑らかな解が常に存在することを証明していません。これは、ナビエ・ストークスの存在と滑らかさの問題と呼ばれています。

この問題は、非圧縮性の流れの場合に限定され、特定の条件を満たす滑らかで大域的に定義された解が存在するか、あるいはそのような解が常に存在するとは限らず方程式が破綻するかを証明することである。この問題の公式な説明はチャールズ・フェファーマンによってなされた。^[13]

問題は、アルゴリズムが与えられた解を素早く（つまり、多項式時間で）検証できるすべての問題に対して、アルゴリズムがその解も素早く見つけることができるかどうかである。前者はNPと呼ばれる問題のクラスを記述し、後者はPを記述するため、この質問は、NPの問題はすべてPにも属するかどうかを尋ねることに等しい。これは、数学の他の問題、生物学^[14]、 [15]哲学^[15]、暗号学（P問題とNP問題の証明の結果を参照）に広範囲にわたる影響を及ぼすため、数学と理論計算機科学における最も重要な未解決問題の1つであると一般に考えられている。Pに属することが知られていないNP問題の一般的な例は、ブール充足問題である。

ほとんどの数学者やコンピュータ科学者はP≠NPであると予想しているが、それは証明されていない。^[16]

この問題に関する公式声明はスティーブン・クックによって発表された。^[17]

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots }$

リーマンゼータ関数ζ(s) は、引数が1 以外の任意の複素数で、値も複素数である関数です。解析接続では、負の偶数でゼロになります。つまり、s が -2、-4、-6、... のいずれかのとき、ζ(s) = 0 になります。これらは自明なゼロと呼ばれます。ただし、負の偶数だけがゼータ関数がゼロになる値ではありません。その他の値は非自明なゼロと呼ばれます。リーマン予想は、これらの非自明なゼロの位置に関するもので、次のように述べています。

リーマンゼータ関数のあらゆる非自明な零点の実部は 1/2 です。

リーマン予想とは、リーマンゼータ関数の解析接続のすべての非自明な零点は実部が ⁠ であるということ1/2⁠。この証明あるいは反証は、特に素数の分布に関して、数論に広範囲にわたる影響を及ぼすであろう。これはヒルベルトの8番目の問題であり、1世紀経った 今でも重要な未解決問題であると考えられている。

この問題は1860年にベルンハルト・リーマンによって最初に提起されて以来、よく知られている。クレイ研究所におけるこの問題の解説はエンリコ・ボンビエリによって行われた。^[18]

量子場理論では、質量ギャップは真空と次に低いエネルギー状態との間のエネルギー差です。真空のエネルギーは定義によりゼロであり、すべてのエネルギー状態が平面波の粒子として考えられると仮定すると、質量ギャップは最も軽い粒子の質量です。

与えられた実数場に対して、 2点関数が以下の性質を持つ とき、理論は質量ギャップを持つと言える。${\displaystyle \phi (x)}$

${\displaystyle \langle \phi (0,t)\phi (0,0)\rangle \sim \sum _{n}A_{n}\exp \left(-\Delta _{n}t\right)}$

これはハミルトニアンのスペクトルにおける最低エネルギー値であり、したがって質量ギャップです。この量は他の分野に簡単に一般化でき、格子計算で一般的に測定されるものです。 ${\displaystyle \Delta _{0}>0}$

量子ヤン＝ミルズ理論は、素粒子物理学の現実と潜在的現実への思考の理論的応用の大部分の現在の基盤となっている。^{[19]この理論は、}色電磁場自体が電荷を運ぶというマクスウェル電磁気学理論の一般化である。古典的な場の理論として、光速で伝わる解を持つため、その量子バージョンは質量のない粒子（グルーオン）を記述するはずである。しかし、仮定された色の閉じ込め現象は、質量のある粒子を形成するグルーオンの束縛状態のみを許容する。これが質量ギャップである。閉じ込めのもう一つの側面は漸近的自由であり、これにより量子ヤン＝ミルズ理論が低エネルギースケールに制限されることなく存在することが考えられる。問題は、量子ヤン＝ミルズ理論と質量ギャップの存在を厳密に証明することである。

任意のコンパクト単純ゲージ群 G に対して、非自明な量子ヤン＝ミルズ理論が存在し、質量ギャップ Δ > 0 を持つことを証明してください。存在には、少なくとも Streater & Wightman (1964)、^[20] Osterwalder & Schrader (1973)、^[21]および Osterwalder & Schrader (1975) ^{[22]で引用されている公理的性質と同程度に強いことが証明されることが含まれます。}${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

この問題の公式声明はアーサー・ジャッフェとエドワード・ウィッテンによって発表された。^[23]

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• カールソン、ジェームズ、ジャッフェ、アーサー、ワイルズ、アンドリュー編 (2006)。ミレニアム懸賞問題。プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会およびクレイ数学研究所。ISBN 978-0-8218-3679-8。
• デブリン、キース・J. (2003) [2002].ミレニアム問題: 現代における未解決の数学の7つの最大の難問. ニューヨーク: ベーシックブックス. ISBN 0-465-01729-0。

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