樽型スペース

関数解析や数学の関連分野において、樽型空間（たる型空間、たる型空間とも表記される）は、空間内のすべての樽型集合が零ベクトルの近傍となる位相ベクトル空間（TVS）である。樽型集合または位相ベクトル空間内の樽は、凸、均衡、吸収、および閉である集合である。樽型空間は、バナッハ・シュタインハウスの定理の形式が今でも成り立つため研究されている。樽型空間は、ブルバキ （1950） によって導入された。

実ベクトル空間または複素ベクトル空間の凸かつバランスのとれた部分集合は円板と呼ばれ、円板 化、絶対凸、または凸バランスであると言われます。

あバレルまたは位相ベクトル空間内の樽集合は、閉じた 吸収である部分集合です。つまり、樽は凸型で、バランスが取れていて、閉じた吸収部分集合です。

すべての樽には原点が含まれている必要があります。 が の任意の部分集合である場合、はの凸状でバランスのとれた吸収集合であり、 が の任意の -次元ベクトル部分空間に対してすべて真である場合に限り、したがってである場合、樽がの閉部分集合であるという要件は、の（またはそれより低い）次元ベクトル部分空間にのみ依存しない唯一の定義特性です。${\displaystyle \dim X\geq 2}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S\cap Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle Y;}$${\displaystyle \dim X>2}$${\displaystyle X}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle X.}$

が任意の TVS である場合、原点のすべての閉じた凸でバランスのとれた近傍は、必然的に の樽になります(原点のすべての近傍は必然的に吸収部分集合であるため)。実際、すべての局所凸位相ベクトル空間には、その原点に樽だけで構成される近傍基底があります。ただし、一般に、原点の近傍ではない樽が存在する可能性があります。「樽空間」とは、すべての樽が必然的に原点の近傍である TVS です。すべての有限次元位相ベクトル空間は樽空間であるため、原点の近傍ではない樽の例は、無限次元空間でのみ見つかります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

任意の凸部分集合、平衡部分集合、吸収部分集合の閉包は樽型です。これは、任意の凸部分集合 (それぞれ、任意の平衡部分集合、任意の吸収部分集合) の閉包がこの同じ特性を持つためです。

一連の例: がに等しい(複素ベクトル空間とみなした場合)、または に等しい(実ベクトル空間とみなした場合) と仮定します。 が実ベクトル空間か複素ベクトル空間かに関わらず、 内のすべての樽は必然的に原点の近傍です (したがって は樽型空間の例です)。を任意の関数とし、すべての角度 に対して、が原点から点 への閉じた線分を表すものとします。とします。すると、 は常に (実ベクトル空間) の吸収部分集合ですが、 が (複素ベクトル空間) の吸収部分集合となるのは、 が原点の近傍である場合に限ります。さらに、は のバランスのとれた部分集合であるため、かつ は任意の に対して である場合に限ります(この場合、 とはにおける の値によって完全に決定されます)。しかし、は のバランスのとれた部分集合であるためには、 が原点 (半径 ) を中心とする開いた球または閉じた球である場合に限ります。特に、 の樽は、が原点を中心とし、 が半径である閉じた球体とまったく同じです。がに吸収されるが に吸収されない閉部分集合で、 が凸でもバランスが取れていても が原点の近傍でもありません。関数を適切に選択することで、 のバランスの取れた吸収部分集合で、閉じても凸でもないものにすることも可能です。のバランスの取れた、吸収性のある閉じた部分集合で、が凸でも原点の近傍でもないものにするには、を次のように定義します。 を とします (あるいは、 は連続的に微分可能で、 が保証され、が閉じていて、 も満たし、が原点の近傍にならないようにする任意の正関数にすることができます)。次に を定義して に拡張すると、が でバランスが取れていることが保証されます。${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R:[0,2\pi )\to (0,\infty ]}$${\displaystyle \theta \in [0,2\pi ),}$${\displaystyle S_{\theta}}$${\displaystyle R(\theta )e^{i\theta }\in \mathbb {C} .}$${\textstyle S:=\bigcup _{\theta \in [0,2\pi )}S_{\theta }.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle R(\theta)=R(\pi +\theta)}$${\displaystyle 0\leq \theta <\pi }$${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle [0,\pi )}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle 0<r\leq \infty }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle (0,\infty ].}$${\displaystyle R(\theta ):=2\pi -\theta }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle R,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle [0,\pi )}$${\displaystyle 0\leq \theta <\pi ,}$${\displaystyle R(\theta ):=\pi -\theta }$${\displaystyle [0,\pi )}$${\textstyle \lim _{\theta \searrow 0}R(\theta )=R(0)>0}$${\displaystyle S}$${\textstyle \lim _{\theta \nearrow \pi }R(\theta )=0,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle [\pi ,2\pi )}$${\displaystyle R(\theta ):=R(\theta -\pi ),}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

• 任意の位相ベクトル空間（TVS）において、任意のバレルは^[1]の任意のコンパクト凸集合を吸収する。${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• 任意の局所凸ハウスドルフTVSにおいて、すべてのバレルは^[1]のすべての凸有界完全部分集合を吸収する。${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$
• が局所凸である場合、の部分集合が -有界となるのは、に次の条件を満たす樽が存在する場合のみである^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle H}$${\displaystyle X^{\prime}}$${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle H\subseteq B^{\circ }.}$
• をペアリングとし、を双対性と矛盾しない局所凸位相とする。すると、の部分集合がの樽型であることと、が の-有界部分集合の極であることに限ります^[1]${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,\nu )}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$${\displaystyle Y.}$
• が局所凸空間内の有限余次元のベクトル部分空間であるとし、が 内の樽（それぞれbornivorous樽、 bornivorous 円盤）である場合、 内の樽（それぞれ bornivorous 樽、 bornivorous 円盤）が存在し、[ ^2]${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B\subseteq M.}$${\displaystyle B}$${\displaystyle M}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B=C\cap M.}$

からへの連続線型写像の空間を${\displaystyle L(X;Y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$

が連続双対空間を持つハウスドルフ位相ベクトル空間(TVS) である場合、以下は同値です。 ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X^{\prime}}$

1. ${\displaystyle X}$樽詰めされています。
2. 定義: 内のすべてのバレルは、起源の近隣です。 ${\displaystyle X}$
   • この定義は、サクソン[1974]によって証明されたベールTVSの特徴付けに似ている。サクソンは、離散位相ではない位相を持つTVSがベール空間となるためには、すべての吸収平衡部分集合が（必ずしも原点とは限らない）ある点の近傍である必要があることを証明した。 ^[2]${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$
3. 任意のハウスドルフTVSに対して、のすべての点ごとに有界な部分集合は等連続である。^[3]${\displaystyle Y}$${\displaystyle L(X;Y)}$
4. 任意のF空間 に対して、の任意の点ごとに有界な部分集合は等連続である。^[3]${\displaystyle Y}$${\displaystyle L(X;Y)}$
   • F 空間は完全な距離化可能な TVSです。
5. から完全な距離化可能なTVSへのすべての閉じた線形演算子は連続である。 ^[4]${\displaystyle X}$
   • 線型写像は、そのグラフが次の閉部分集合である場合に閉じていると呼ばれる。${\displaystyle F:X\to Y}$${\displaystyle X\times Y.}$
6. 上の任意のハウスドルフTVS位相は、原点の近傍基底が-閉集合からなる場合、当然^[5]${\displaystyle \nu}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \tau .}$

が局所凸空間である場合、このリストは以下を追加することで拡張できます。 ${\displaystyle (X,\tau )}$

7. 離散位相を持たないTVSが存在し（特に、）、 のすべての点ごとに有界な部分集合は等連続である。^[2]${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y\neq \{0\}}$${\displaystyle L(X;Y)}$
8. 任意の局所凸TVSに対して、の任意の点ごとに有界な部分集合は等連続である。^[2]${\displaystyle Y,}$${\displaystyle L(X;Y)}$
   • 上記の 2 つの特徴から、局所凸 TVS のクラスでは、樽型空間はまさに一様有界性原理が成り立つ空間であることがわかります。
9. 連続双対空間の任意の - 有界部分集合は等連続である（これはバナッハ-シュタインハウスの定理の部分逆を提供する）。^{[2] [6]}${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$${\displaystyle X}$
10. ${\displaystyle X}$強い双対位相 を持つ^[2]${\displaystyle \beta \left(X,X^{\prime }\right).}$
11. 上のすべての下半連続 半ノルムは連続である。^[2]${\displaystyle X}$
12. 局所凸空間へのすべての線型写像はほぼ連続である。^[2]${\displaystyle F:X\to Y}$${\displaystyle Y}$
    • 線形写像は${\displaystyle F:X\to Y}$の閉包における原点の任意の近傍がの原点の近傍である場合、ほぼ連続である。${\displaystyle V}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle F^{-1}(V)}$${\displaystyle X.}$
13. 局所凸空間からのあらゆる射影線型写像はほぼ開写像である。^[2]${\displaystyle F:Y\to X}$${\displaystyle Y}$
    • これは、閉包における0の近傍ごとに、閉包における0の近傍が${\displaystyle V}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle F(V)}$${\displaystyle X.}$
14. が局所凸位相であり、原点に-閉集合からなる近傍基底を持つ場合、は^[2]より弱い。${\displaystyle \omega}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,\omega )}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \tau .}$

がハウスドルフ局所凸空間である場合、このリストは以下を追加することで拡張できます。 ${\displaystyle X}$

15. 閉グラフ定理：バナッハ空間に入るすべての閉線型作用素は 連続である。 ^[7]${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$
    • 線形作用素は、そのグラフが次の閉部分集合である場合に閉じていると呼ばれる。${\displaystyle X\times Y.}$
16. 連続双対空間の任意の部分集合に対して、以下の性質は同値である：[ ^6]${\displaystyle A}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle A}$
    1. 等連続の;
    2. 比較的弱くコンパクト。
    3. 強く境界づけられた;
    4. 弱い境界がある。
17. の0近傍基数と の有界集合の基本族は極性によって互いに対応する。^[6]${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{\beta}^{\prime}}$

が距離化可能な位相ベクトル空間である場合、このリストは以下を追加することで拡張できます。 ${\displaystyle X}$

18. 任意の完全な距離化可能なTVSに対して、任意の点ごとに有界な列は等連続である。^[3]${\displaystyle Y}$${\displaystyle L(X;Y)}$

が局所凸距離化可能な位相ベクトル空間である場合、このリストは以下を追加することで拡張できます。 ${\displaystyle X}$

19. （性質S ):上の弱*位相は順次完全である。 ^[8]${\displaystyle X^{\prime}}$
20. （性質C ): のすべての弱有界部分集合は-相対的に可算コンパクトである。 ^[8]${\displaystyle X^{\prime}}$${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$
21. （𝜎バレル): のすべての可算な弱*有界部分集合は等連続である。 ^[8]${\displaystyle X^{\prime}}$
22. （ベール型（Baire-like）は、どこにも稠密でない円板の増加列の和集合ではない。 ^[8]${\displaystyle X}$

次の各位相ベクトル空間はバレル化されています。

1. Baire スペースである TVS 。
   • その結果、それ自体が第 2 カテゴリに属する​​すべての位相ベクトル空間はバレル化されます。
2. F 空間、フレシェ空間、バナッハ空間、ヒルベルト空間。
   • しかし、樽型ではないノルムベクトル空間も存在します。例えば、-空間が のサブスペースとして位相化される場合、それは樽型ではありません。${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{2}([0,1])}$${\displaystyle L^{1}([0,1]),}$
3. 完全な 擬似卵巣切除可能TVS。^[9]
   • その結果、すべての有限次元 TVS はバレル型になります。
4. モンテルスペース。
5. モンテル空間の強い双対空間（必然的にモンテル空間であるため）。
6. 局所凸な準バレル空間であり、 σ-バレル空間でもある。^[10]
7. 逐次完備な準バレル空間。
8. 準完全なハウスドルフ局所凸インフラバレル空間。^[2]
   • すべての閉じた有界部分集合が完全である場合、TVS は準完全であると呼ばれます。
9. 密な樽型ベクトル部分空間を持つTVS。^[2]
   • このようにして、樽状の空間の完成が樽状になる。
10. 密なインフラバレルベクトル部分空間を持つハウスドルフ局所凸TVS 。^[2]
    • したがって、バレル下ハウスドルフ局所凸空間の完成はバレル化される。^[2]
11. 可算な余次元を持つ樽型空間のベクトル部分空間。^[2]
    • 特に、バレル空間の有限余次元ベクトル部分空間はバレル化されます。
12. 局所的に凸状の超バレルTVS。^[11]
13. ハウスドルフ局所凸TVSで、その連続双対空間の弱有界部分集合はすべて等連続である。^[12]${\displaystyle X}$
14. 局所凸TVSで、任意のバナッハ空間に対しての閉線型写像が必ず連続となるもの。^[13]${\displaystyle X}$${\displaystyle B,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B}$
15. 樽型スペースファミリーの製品。^[14]
16. 局所凸直和と樽型空間族の帰納的極限。^[15]
17. 樽状の空間の商。^{[16] [15]}
18. ハウスドルフ逐次完全 準バレル境界加算TVS。^[17]
19. 局所的に凸なハウスドルフ反射空間が樽型になっています。

• 樽型空間は、モンテル空間、完全空間、距離化可能空間、無順序ベール空間、バナッハ空間の帰納的極限である必要はありません。
• 全てのノルム空間がバレル型であるわけではない。しかし、それらはすべてインフラバレル型である。^[2]
• 樽状空間の閉じた部分空間は必ずしも可算準樽状とは限らない（したがって必ずしも樽状とは限らない）。^[18]
• フレシェ樽型空間には樽型ではない稠密なベクトル部分空間が存在する。 ^[2]${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$
• 樽型ではない完全な局所凸TVSが存在する。^[2]
• 無限次元ベクトル空間上の最も微細な局所凸位相は、ハウスドルフ樽型空間であり、これはそれ自身のわずかな部分集合である（したがってベール空間ではない）。^[2]

樽型空間の重要性は、主に以下の結果によるものです。

バナッハ＝シュタインハウスの定理は上記の結果の系である。^[20]ベクトル空間が複素数で構成される場合、次の一般化も成立する。 ${\displaystyle Y}$

線型写像は、そのグラフが次の閉部分集合である場合に閉じていると呼ばれることを思い出してください。${\displaystyle F:X\to Y}$${\displaystyle X\times Y.}$

• ハウスドルフの樽型空間はすべて準樽型である。^[23]
• 樽型空間から局所凸空間への線型写像はほぼ連続である。
• 局所凸空間から樽型空間への線型写像はほぼ開いている。
• 樽型空間の積から局所凸空間への別々に連続な双線型写像は亜連続である。^[24]
• 樽型TVSから-完全TVSへの閉グラフを持つ線型写像は必然的に連続である。^[13]${\displaystyle B_{r}}$

• バレルセット
• 数えられる樽状の空間
• 際立った空間 - 強力なデュアルが制限されているTVS
• 準バレル空間
• 超バレル空間
• 一様有界性原理#一般化 – 点ごとの有界性は一様有界性を意味するという定理
• ウルシェスク定理 – 閉グラフ、開写像、一様有界性定理の一般化
• ウェブ空間 – 開写像と閉グラフ定理が成り立つ空間

• Voigt, Jürgen (2020)。位相ベクトル空間のコース。コンパクトな数学教科書。Cham: バーゼル・ビルクハウザー。ISBN 978-3-030-32945-7. OCLC  1145563701.
• ウィランスキー、アルバート(2013)。位相ベクトル空間における最新の手法。ニューヨーク州ミネオラ: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.