インフラバレル空間

数学の一分野である関数解析において、局所凸位相 ベクトル空間（TVS）は、すべての境界付きバレルが原点の近傍である場合に、インフラバレル（infrabarreledとも綴られる）であると言われる。 ^[1]

同様に、準バレル空間は、その空間内のすべての自生バレル集合が原点の近傍となる位相ベクトル空間(TVS)です。準バレル空間は、バレル空間の定義条件を弱めたものであり、バナッハ-シュタインハウスの定理の一種が成り立つため研究されています。

位相ベクトル空間(TVS)の部分集合が のすべての有界部分集合を吸収する場合、その部分集合はとなるスカラーが存在するときに生食性があると呼ばれます。つまり、の各有界部分集合に対して、 となるスカラーが存在する場合です。TVS内の樽集合またはバレルとは、凸、バランス、吸収、および閉じた集合です 。準バレル空間とは、その空間内のすべての生食性バレル集合が原点の近傍となる TVS です。^{[2] [3]}${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle r}$${\displaystyle S\subseteq rB.}$

がハウスドルフ局所凸空間である場合、からその双対への標準的な射影は、がアンダーバレルである場合に限り位相的埋め込みとなる。^[4]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

ハウスドルフ位相ベクトル空間が準バレル型であるためには、から完全距離化可能なTVSへのすべての有界閉線型作用素が連続的であることが必要である。^[5] 定義により、線型作用素は、そのグラフが閉部分集合である場合に閉じていると呼ばれる。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F:X\to Y}$${\displaystyle X\times Y.}$

連続双対を持つ局所凸空間 の場合、以下は同値です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime}}$

1. ${\displaystyle X}$準バレル型です。
2. 上のすべての有界な下半連続半ノルムは連続です。${\displaystyle X}$
3. 連続双対空間のすべての- 有界部分集合は等連続である。${\displaystyle \beta (X',X)}$${\displaystyle X^{\prime}}$

が距離化可能な局所凸 TVS である場合、以下は同値です。 ${\displaystyle X}$

1. の強い双対は準バレルです。${\displaystyle X}$
2. の強力なデュアルがバレルされます。${\displaystyle X}$
3. の強い双対は生まれつきのものです。${\displaystyle X}$

あらゆる準完全なインフラバレル空間はバレル化されている。^[1]

局所凸ハウスドルフ準バレル空間は順次完備であり、バレル型である。^[6]

局所凸ハウスドルフ準バレル空間はマッキー空間であり、準Mバレルであり、可算準バレルである。^[7]

局所凸準バレル空間であり、σ-バレル空間でもある場合、それは必然的にバレル空間となる。^[3]

局所凸空間が反射的であるためには、それが半反射的かつ準バレル的である必要がある。^[3]

すべてのバレル空間は、アンダーバレルである。^[1] しかし、アンダーバレル空間の閉じたベクトル部分空間は、必ずしもアンダーバレルであるとは限らない。^[8]

任意のインフラバレル空間族の積と局所凸直和はすべてインフラバレルである。^[8]インフラバレル空間の分離商は すべてインフラバレルである。 ^[8]

あらゆるハウスドルフ樽型空間とあらゆるハウスドルフボルノロジー空間は準樽型である。^[9] したがって、あらゆる距離化可能なTVSは準樽型である。

バレル型でもボルノロジー型でもない準バレル型空間が存在することに注意されたい。^[3]準バレル型ではないマッキー空間が 存在する。 ^{[3]準バレル型ではない}区別空間、DF空間、および-バレル型空間 が存在する。^[3]${\displaystyle \sigma}$

フレシェ空間の強双対空間は 、準バレルである場合にのみ区別される。[ ^10]${\displaystyle X_{b}^{\prime}}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

準バレルではないDF空間が存在する。 ^[3]

ボルノロジー的ではない準バレルDF空間が存在する。^[3]

σ-バレル空間ではない準バレル空間が存在する。^[3]

• 樽型空間 – 位相ベクトル空間の種類
• 反射空間 – 局所凸位相ベクトル空間
• 半反射的空間

• アダッシュ、ノルベルト、エルンスト、ブルーノ、ケイム、ディーター (1978)。位相ベクトル空間:凸性条件のない理論。数学講義ノート。第639巻。ベルリンニューヨーク:シュプリンガー出版社。ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC  297140003.
• ベルベリアン、スターリング K. (1974)。関数解析と作用素理論の講義。数学大学院テキスト。第 15 巻。ニューヨーク: シュプリンガー。ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC  878109401.
• ブルバキ、ニコラス(1987) [1981]。位相ベクトル空間: 第 1 章から第 5 章まで。数学的要素。エグルストン、HG による翻訳。マダン、サウス・ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag。ISBN 3-540-13627-4. OCLC  17499190.
• コンウェイ、ジョン B. (1990)。関数解析コース。数学大学院テキスト。第96巻 (第 2 版)。ニューヨーク: Springer- Verlag。ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908.
• エドワーズ、ロバート E. (1995)。関数解析: 理論と応用。ニューヨーク: Dover Publications。ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138.
• グロタンディーク、アレクサンダー(1973)。位相ベクトル空間。翻訳：チャルジュブ、オーランド。ニューヨーク：ゴードン・アンド・ブリーチ・サイエンス・パブリッシャーズ。ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098.
• Hogbe-Nlend, Henri (1977)。ボルノロジーと関数解析: 双対性トポロジー理論入門コース - ボルノロジーと関数解析におけるその使用。North -Holland Mathematics Studies。第26巻。アムステルダム、ニューヨーク、ニューヨーク: North Holland。ISBN 978-0-08-087137-0. MR  0500064. OCLC  316549583.
• Husain, Taqdir; Khaleelulla, SM (1978)。位相的および順序付きベクトル空間におけるバレル性。数学講義ノート。第 692 巻。ベルリン、ニューヨーク、ハイデルベルク: Springer- Verlag。ISBN 978-3-540-09096-0. OCLC  4493665.
• ヤルコウ、ハンス (1981)。局所的に凸状の空間。シュトゥットガルト：BG・トイブナー。ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• Khaleelulla , SM (1982)。位相ベクトル空間における反例。数学講義ノート。第936巻。ベルリン、ハイデルベルク、ニューヨーク：Springer- Verlag。ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• ケーテ、ゴットフリート(1983) [1969]。位相ベクトル空間 I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 159. Garling、DJH ニューヨーク訳: Springer Science & Business Media。ISBN 978-3-642-64988-2. MR  0248498. OCLC  840293704.
• ケーテ、ゴットフリート(1979)。位相ベクトル空間 II． Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 237. ニューヨーク: Springer Science & Business Media。ISBN 978-0-387-90400-9. OCLC  180577972.
• ナリシ、ローレンス、ベッケンシュタイン、エドワード (2011)。位相ベクトル空間。純粋数学と応用数学 (第 2 版)。ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス。ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• スワーツ、チャールズ (1992)。関数解析入門。ニューヨーク: M. デッカー。ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067.
• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• ウィランスキー、アルバート(2013)。位相ベクトル空間における最新の手法。ニューヨーク州ミネオラ: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.
• ウォン、ヤウ・チュエン (1979)。シュワルツ空間、核空間、テンソル積。数学講義ノート。第 726 巻。ベルリン、ニューヨーク:シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 978-3-540-09513-2. OCLC  5126158.