八角形

正八角形
正八角形
タイプ	正多角形
エッジと頂点	8
シュレーフリ記号	{8}、t{4}
コクセター・ディンキン図
対称グループ	二面角（D 8）、順序2×8
内角（度）	135°
プロパティ	凸状、環状、正三角形、等角、等軸
デュアルポリゴン	自己

幾何学において、八角形（古代ギリシャ語の ὀκτάγωνον ( oktágōnon )  「8つの角度」に由来）は、8辺の多角形または8角形です。

正八角形はシュレーフリ記号{8} ^[1]で表され、2種類の辺が交互に並ぶ準正 四角形t{4}としても表される。四角形t{8}は16角形{16}である。この八角形の3D類似体は、四角形を切り取ったものと見なすと、辺が入れ替わった三角形の面を持つ菱形 八面体となる。

八角形の内角の合計は 1080° です。すべての多角形と同様に、外角の合計は 360° です。

八角形の辺の内側または外側に正方形をすべて作ると、向かい合う正方形の中心を結ぶ線分の中点は、等対角線かつ直交対角線（つまり、対角線の長さが等しく、互いに直角である）の四辺形を形成します。^{[2] : 命題9}

基準八角形の中点八角形の8つの頂点は、基準八角形の辺の中点にあります。中点八角形の辺にすべて内側またはすべて外側に正方形が描かれている場合、向かい合う正方形の中心を結ぶ線分の中点自体が正方形の頂点を形成します。^{[2] : 命題10}

正八角形は、辺の長さが同じで、内角の大きさも同じである閉じた図形です。8 本の反射対称線と8 次回転対称線を持ちます。正八角形は、シュレーフリ記号{8}で表されます。正八角形の各頂点の内角は 135 ° (ラジアン) です。中心角は 45 ° (ラジアン) です。 ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {3\pi }{4}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {\pi }{4}}}$

辺の長さがaの正八角形の面積は次のように与えられる。

${\displaystyle A=2\cot {\frac {\pi }{8}}a^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\approx 4.828\,a^{2}.}$

円周半径 Rに関して、面積は

${\displaystyle A=4\sin {\frac {\pi }{4}}R^{2}=2{\sqrt {2}}R^{2}\approx 2.828\,R^{2}.}$

円周 r （内接図も参照）に関して、面積は

${\displaystyle A=8\tan {\frac {\pi }{8}}r^{2}=8({\sqrt {2}}-1)r^{2}\approx 3.314\,r^{2}.}$

これら最後の 2 つの係数は、単位円の面積であるpiの値を囲みます。

面積は次のようにも表される。

${\displaystyle \,\!A=S^{2}-a^{2},}$

ここで、S は八角形の幅、つまり 2 番目に短い対角線です。aは1 つの辺または底辺の長さです。これは、八角形の外側に正方形を描き (8 辺のうち 4 辺が正方形の 4 辺と重なるようにする)、角の三角形 ( 45-45-90 の三角形) を直角が内側を向くように配置して正方形を形成すれば簡単に証明できます。この正方形の辺はそれぞれ底辺の長さと同じです。

辺の長さaが与えられたとき、スパンSは

${\displaystyle S={\frac {a}{\sqrt {2}}}+a+{\frac {a}{\sqrt {2}}}=(1+{\sqrt {2}})a\approx 2.414a.}$

したがって、スパンは白銀比と辺 a の積に等しくなります。

面積は上記のようになります:

${\displaystyle A=((1+{\sqrt {2}})a)^{2}-a^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\approx 4.828a^{2}.}$

スパンで表すと、面積は

${\displaystyle A=2({\sqrt {2}}-1)S^{2}\approx 0.828S^{2}.}$

面積を求めるもう一つの簡単な式は

${\displaystyle \ A=2aS.}$

多くの場合、スパンS は既知であり、正方形の材料を正八角形に切断する場合のように 、辺の長さaを決定する必要があります。上記から、

${\displaystyle a\approx S/2.414.}$

各辺の2つの端の長さe（正方形から切り取られた三角形（画像では緑色）の脚の長さ）は、次のように計算できます 。${\displaystyle e=a/{\sqrt {2}},}$

${\displaystyle \,\!e=(S-a)/2.}$

正八角形の円周半径は辺の長さaで 表すと^[3]

${\displaystyle R=\left({\frac {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}{2}}\right)a\approx 1.307a,}$

そして内接円は

${\displaystyle r=\left({\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}\right)a\approx 1.207a.}$

（これは白銀比の半分に辺aを掛けたもの、またはスパンS の半分です）

内接円の半径は外接円の半径から次のように計算できる。

${\displaystyle r=R\cos {\frac {\pi }{8}}}$

正八角形は、辺の長さaに関して、 3 つの異なるタイプの対角線を持ちます。

• 短い対角線。
• 中程度の対角線（スパンまたは高さとも呼ばれます）。内接円の 2 倍の長さです。
• 長い対角線。外接半径の 2 倍の長さです。

それぞれの式は幾何学の基本原理に従っています。長さの式は次のとおりです。^[4]

• 短い対角線:  ;${\displaystyle a{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$
• 中対角線:  ; (白銀比× a)${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})a}$
• 長い対角線: .${\displaystyle a{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}}$

与えられた外接円における正八角形は次のように構築できます。

1. 円と直径 AOE を描きます。ここで、O は中心、A、E は外接円上の点です。
2. AOE に垂直な別の直径 GOC を描きます。
3. (ちなみに、A、C、E、G は正方形の頂点です)。
4. 直角 GOA と EOG の二等分線を描き、さらに 2 つの直径 HOD と FOB を作成します。
5. A、B、C、D、E、F、G、H は八角形の頂点です。

正八角形は、定規とコンパスを使って作図できます。8 = 2 ^3は2 の累乗です。

正八角形はメカノバーで作ることができます。サイズ 4 のバーが 12 本、サイズ 5 のバーが 3 本、サイズ 6 のバーが 2 本必要です。

正八角形の各辺は、その頂点を結ぶ円の中心で直角の半分を占めます。したがって、その面積は 8 つの二等辺三角形の合計として計算でき、結果は次のようになります。

${\displaystyle {\text{Area}}=2a^{2}({\sqrt {2}}+1)}$

辺の長さがaの八角形の場合。

原点を中心とし、辺の長さが 2 である正八角形の頂点の座標は次のとおりです。

• ( ± 1、±(1+ √2 ))
• （±（1 + √2）、±1）。

コクセターは、あらゆるゾノゴン（向かい合う辺が平行で長さが等しい2 m角形）はm ( m -1)/2 個の平行四辺形に分割できると述べています。^[5] 特に、辺の数が同じ正多角形の場合にこれが当てはまり、その場合、平行四辺形はすべて菱形になります。正八角形の場合、m =4 であり、6 つの菱形に分割できます。1 つの例を以下に示します。この分解は、四角形のペトリ多角形投影面の 24 面のうちの 6 面として見ることができます。リスト（OEISのシーケンスA006245）は、この 1 回の分割の 8 つの方向により、解の数が 8 と定義されています。これらの正方形と菱形は、アマン–ベーンカー タイル張りで使用されます。

斜め八角形は、8 つの頂点と辺を持ちますが、同じ平面上に存在しない斜めの多角形です。このような八角形の内部は一般に定義されていません。斜めジグザグ八角形は、 2 つの平行な平面間で頂点が交互に配置されます。

正斜八角形は頂点推移的で、辺の長さが等しい。3次元ではジグザグ斜八角形となり、同じ D _4d、[2 ^{+ ,8] 対称性、次数 16 を持つ}正方形反角柱の頂点と側辺に見られる。

正斜交八角形は、これらの高次元の正一様多面体に対するペトリ多角形であり、 A ₇、 B ₄、および D ₅コクセター平面における の斜交直交射影で示されます。

正八角形は、Dih ₈対称性、順序 16 を持ちます。 3 つの二面体サブグループ ( Dih ₄、 Dih ₂、 Dih ₁ ) と 4 つの巡回サブグループ( Z ₈、 Z ₄、 Z ₂、 Z 1 ) があり、最後の Z _{1は対称性がないことを意味します。}

正八角形には、11 の異なる対称性があります。ジョン・コンウェイは完全な対称性をr16と名付けました。^{[6]二面体対称性は、頂点 (対角の場合は}d ) を通過するか、辺 (垂直の場合はp )を通過するかによって分類されます。中央の列の周期的対称性は、中心回転順序によってgとラベル付けされています。正八角形の完全な対称性はr16で、対称性がない場合はa1 とラベル付けされます。

最も一般的な高対称性八角形はp8です。これは4 つの鏡で構成した等角八角形で、長辺と短辺が交互に配置できます。また、 d8 は、辺の長さは同じですが頂点の内角が 2 つの異なる形で交互に配置した等角八角形です。これら 2 つの形式は互いに双対であり、正八角形の半分の対称順序を持ちます。

各サブグループの対称性により、不規則な形状に対して 1 つ以上の自由度が許可されます。g8サブグループのみ自由度はありませんが、有向エッジとして見ることができます。

八角形は建築のデザイン要素として用いられている。岩のドームは特徴的な八角形の平面を持っている。アテネの風の塔も八角形構造の例である。八角形の平面は、アディスアベバの聖ジョージ大聖堂、イタリアのラヴェンナにあるサン・ヴィターレ教会、イタリアのプーリア州にあるカステル・デル・モンテ、フィレンツェ洗礼堂、ドイツのフリーデフュルステン教会、ノルウェーの多くの八角形の教会などの教会建築にも用いられている。アーヘン大聖堂の中央空間であるカロリング朝のパラティーナ礼拝堂は、正八角形の平面になっている。教会における八角形の利用には、ニーダロス大聖堂の八角形の後陣など、より小さなデザイン要素も含まれる。

ジョン・アンドリュースなどの建築家は、ワシントンのインテルサット本社やキャンベラのカラム・オフィスなど、建物内で八角形のフロアレイアウトを使用して、オフィスエリアと建物のサービスを機能的に分離してきました。

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  傘は八角形の輪郭をしていることが多いです。
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  有名なブハラ絨毯のデザインには、八角形の「象の足」のモチーフが取り入れられています。
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  バルセロナのアシャンプラ地区の通りとブロックのレイアウトは、非正八角形に基づいています。
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  ジャンギは八角形の駒を使います。
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  日本の宝くじ機は八角形の形状をしていることが多いです。
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  英語圏の国やほとんどのヨーロッパ諸国で使用されている一時停止の標識
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  道教の 八卦の卦は八角形に配置されることが多い
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  ビリトゥン難破船から発見された有名な八角形の金杯
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  シマーカレッジの授業は伝統的に八角形のテーブルを囲んで行われる。
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  準八角形のランス大聖堂の迷路。
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  Nintendo 64 コントローラ、GameCube コントローラ、Wii ヌンチャク、クラシック コントローラのアナログ スティックの動きは、八角形のフレームで制限されており、円形の自由度を保ちながら、ユーザーがスティックを基本方向に向けるのに役立ちます。
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  A la Rondeの椅子、八角形の座面と背もたれ付き（8 脚セット）

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  切頂正方形のタイルには、各頂点の周りに 2 つの八角形があります。
  
• 
  八角柱には2 つの八角形の面があります。
  
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  八角形の反プリズムには 2 つの八角形の面が含まれます。
  
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  切頂立方八面体には6つの八角形の面が含まれます。
  
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  全切形立方ハニカム
  

八角形は、切り取られた 正方形として、切り取られた超立方体のシーケンスの最初のものです。

拡張された正方形であるため、これは拡張された超立方体のシーケンスの最初のものでもあります。

• バンパープール
• ハンセンの小さな八角形
• 八角形の家
• 八角数
• 八芒星
• 八面体、8 つの面を持つ 3D 形状。
• ハンガリーのブダペストにある主要交差点、オクトゴン
• ルブ・エル・ヒズブ（アル・クドス星、オクタ星とも呼ばれる）は、イスラム建築の一般的なモチーフである。
• 滑らかな八角形

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• 八角形計算機
• インタラクティブアニメーションによる八角形の定義と特性