八角数

数学において、八角数は図形数である。n番目の八角数は_、最大でn個の辺を持つ正八角形の輪郭線で構成される点のパターンにおいて、八角形を重ねて 1 つの頂点を共有する場合の点の数である。nの八角数は、 n > 0 の式 3 n ² − 2 nで与えられる。最初のいくつかの八角数は、

1、8、21、40、65、96、133、176、225、280、341、408、481、560、645、736、833、936 （OEISの配列A000567 ）​​​​​​​​​​​​​​​​​

nの八角数は、nの2 乗に ( n − 1) 番目のプロニック数の 2 倍を加えることによっても計算できます。

八角数は一貫して偶奇性が交互に現れます。

八角数は「スター数」と呼ばれることもありますが、この用語は中心のある十二角数を指すのによく使用されます。^[1]

番目の八角数は、を1、2、または 3 に分割する数です。 ^[2]たとえば、には次のような分割があります。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle 6n-5}$${\displaystyle x_{2}=8}$${\displaystyle 2\cdot 6-5=7}$

[1,1,1,1,1,1,1]、[1,1,1,1,1,2]、[1,1,1,1,3]、[1,1,1,2,2]、[1,1,2,3]、[1,2,2,2]、[1,3,3]、[2,2,3]。

八角数の逆数の和の公式は^{[3]で与えられる。} $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(3n-2)}}={\frac {9\ln(3)+{\sqrt {3}}\pi }{12}}.}$$

n番目の八角数について、n の式を解くと次 のようになります。 任意の数x をこの式に代入することで、その八角数かどうかを確認できます。n が整数の場合、 xはn番目の八角数です。nが整数でない場合、x は八角数ではありません。 ${\displaystyle x_{n},}$$${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {3x_{n}+1}}+1}{3}}.}$$

• 中心八角数