滑らかな八角形

平滑八角形は、1934年にカール・ラインハルトが発見した平面上の領域であり、中心対称の凸形状の中で平面の最大充填密度が最も低いと推測された。^[1]また、 1947年にクルト・マーラーが独立に発見した。^[2]平滑八角形は、正八角形の角を、角に隣接する2辺に接し、これらの辺に漸近する 双曲線の断面で置き換えることによって構築される。

滑らかな八角形の各角を形成する双曲線は、正八角形の2辺に接し、これらに隣接する2辺に漸近する。^[3]次の詳細は、中心が点、1つの頂点が点である円周 半径の正八角形に適用されます。2つの定数とに対して、双曲線は次の式 または同等のパラメータ化（右側の分岐のみ） で与えられます 。${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle (2+{\sqrt {2}},0)}$${\displaystyle (2,0)}$${\displaystyle \ell ={\sqrt {2}}-1}$${\displaystyle m=(1/2)^{1/4}}$$${\displaystyle \ell ^{2}x^{2}-y^{2}=m^{2}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {m}{\ell }}\cosh {t}\\y&=m\sinh {t}\\\end{aligned}}}$$

角を形成する双曲線の部分については、パラメータ値の範囲で与えられる $${\displaystyle -{\frac {\ln {2}}{4}}<t<{\frac {\ln {2}}{4}}.}$$

双曲線に接する八角形の線は であり、双曲線に漸近する線は単に です。 ${\displaystyle y=\pm \left({\sqrt {2}}+1\right)\left(x-2\right)}$${\displaystyle y=\pm \ell x}$

平滑八角形を含む中心対称凸平面集合のすべてにおいて、最大充填密度は格子充填によって達成される。格子充填では、形状の回転していないコピーが格子のベクトルによって平行移動される。^[4]平滑八角形は、単一の充填だけでなく、1パラメータ族に対しても最大充填密度を達成する。これらはすべて格子充填である。^{[5]平滑八角形の最大充填密度は、 [2] [3]} で与えられる。 $${\displaystyle {\frac {8-4{\sqrt {2}}-\ln {2}}{2{\sqrt {2}}-1}}\approx 0.902414\,.}$$

これは円の最大充填密度^[3]よりも低い。 $${\displaystyle {\frac {\pi }{\sqrt {12}}}\approx 0.906899.}$$

通常の正八角形の最大充填密度 も円の最大充填密度よりわずかに低いが、平滑八角形よりも高い。^[6]$${\displaystyle {\frac {4+4{\sqrt {2}}}{5+4{\sqrt {2}}}}\approx 0.906163,}$$

滑らかな八角形は平面上のすべての中心対称凸形状の中で最大充填密度が最も低いというラインハルトの予想は未解決のままである。しかし、トーマス・ヘイルズとクンディニャ・ヴァジャは、最も充填しにくい中心対称凸円盤は滑らかな多角形でなければならないという、より弱い予想を証明したと主張した。^{[7] [8]}さらに、フョードル・ナザロフは、滑らかな八角形が中心対称凸形状の中で充填密度の局所最小値であることを証明することで部分的な結果を示した。^[9]

中心対称性が要求されない場合、正七角形の充填密度はさらに低くなると推測されるが、その充填密度も最適性も証明されていない。3次元では、ウラムの充填予想によれば、球よりも低い最大充填密度を持つ凸形状は存在しない。^[5]

• 滑らかな八角形のパッキング。John Baez、Visual Insight、AMS Blogs、2014 年。
• 最も薄く、最も密な二次元パッキング?。Peter Scholl、2001 年。