ロジスティック関数

ロジスティック関数は、

$${\displaystyle 1-f(x)=f(-x).}$$

これは、0からの成長を反映しています${\displaystyle x}$が小さい場合、ギャップの減衰と対称で、極限(1)になる。${\displaystyle x}$大きい。

さらに遠く、${\displaystyle x\mapsto f(x)-1/2}$奇妙な関数です。

ロジスティック関数とその垂直軸に関する対称移動の合計、${\displaystyle f(-x)}$、 は

$${\displaystyle {\frac {1}{1+e^{-x}}}+{\frac {1}{1+e^{-(-x)}}}={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}+{\frac {1}{e^{x}+1}}=1.}$$

したがって、ロジスティック関数は点(0,  1/2)に関して回転対称である。^{[ 11 ]}

ロジスティック関数は自然ロジット関数の逆関数である。

$${\displaystyle \operatorname {logit} p=\log {\frac {p}{1-p}}\quad {\text{ for }}\,0<p<1}$$

そして、オッズの対数を確率に変換します。

2つの選択肢の対数尤度比からの変換も、ロジスティック曲線の形をとる。

ロジスティック関数は、オフセットとスケーリングを施した双曲線正接関数です。 $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\tanh \left({\frac {x}{2}}\right),}$$ または $${\displaystyle \tanh(x)=2f(2x)-1.}$$

これは以下から $${\displaystyle {\begin{aligned}\tanh(x)&={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}\\&={\frac {e^{x}\cdot \left(1-e^{-2x}\right)}{e^{x}\cdot \left(1+e^{-2x}\right)}}\\&=f(2x)-{\frac {e^{-2x}}{1+e^{-2x}}}\\&=f(2x)-{\frac {e^{-2x}+1-​​1}{1+e^{-2x}}}\\&=2f(2x)-1.\end{aligned}}}$$

双曲線正接の関係から、ロジスティック関数の導関数は別の形で表される。

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)={\frac {1}{4}}\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right),}$$

これはロジスティック関数をロジスティック分布に結びつけるものです。

幾何学的には、双曲線正接関数は単位双曲線上の双曲線角である。${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$要因として${\displaystyle (x+y)(xy)=1}$したがって、原点を通る傾きを持つ直線に漸近線を持つ。${\displaystyle -1}$⁠そして傾斜付きで${\displaystyle 1}$⁠、頂点は⁠${\displaystyle (1,0)}$範囲と中点に対応（${\displaystyle {1}}$同様に、ロジスティック関数は双曲線上の双曲線角と見なすことができる。${\displaystyle xy-y^{2}=1}$要因として${\displaystyle y(xy)=1}$したがって、原点を通る傾きを持つ直線に漸近線を持つ。${\displaystyle 0}$⁠そして傾斜付きで${\displaystyle 1}$⁠、頂点は⁠${\displaystyle (2,1)}$⁠、範囲と中点に対応（ ⁠${\displaystyle 1/2}$ロジスティック関数の⁠ )。

パラメトリックに、双曲線コサインと双曲線サインは単位双曲線上の座標を与えます: ^{[ d ]}${\displaystyle \left((e^{t}+e^{-t})/2,(e^{t}-e^{-t})/2\right)}$、商は双曲線正接である。同様に、${\displaystyle {\bigl (}e^{t/2}+e^{-t/2},e^{t/2}{\bigr )}}$双曲線をパラメータ化する${\displaystyle xy-y^{2}=1}$商はロジスティック関数である。これらは双曲線の線形変換（およびパラメータ化の再スケーリング）に対応する。${\displaystyle xy=1}$パラメータ化付き${\displaystyle (e^{-t},e^{t})}$: ロジスティック関数の双曲線のパラメータ化は以下に対応する。${\displaystyle t/2}$そして線形変換${\displaystyle {\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}}$一方、単位双曲線（双曲線正接の場合）のパラメータ化は線形変換に対応する。${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&1\\-1&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}}$。

標準ロジスティック関数は、容易に計算できる導関数を持つ。この導関数は、ロジスティック分布の密度として知られている。

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}},}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}f(x)&={\frac {e^{x}\cdot (1+e^{x})-e^{x}\cdot e^{x}}{{\left(1+e^{x}\right)}^{2}}}\\[1ex]&={\frac {e^{x}}{{\left(1+e^{x}\right)}^{2}}}\\[1ex]&={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\cdot {\frac {1}{1+e^{x}}}\\[1ex]&={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\left(1-{\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\right)\\[1.2ex]&=f(x)\left(1-f(x)\right)\end{aligned}}}$$そこからすべての高階導関数を代数的に導出できます。例えば、${\displaystyle f''=(1-2f)(1-f)f}$。

ロジスティック分布は位置尺度族であり、ロジスティック関数のパラメータに対応します。${\displaystyle L=1}$⁠が固定されている場合、中点⁠${\displaystyle x_{0}}$位置と傾斜${\displaystyle k}$はスケールです。

逆に、その原始関数は置換によって計算できる。$u=1+e^{x}}$、 以来

$${\displaystyle f(x)={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}={\frac {u'}{u}},}$$

したがって（積分定数を省略して）

$${\displaystyle \int {\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\,dx=\int {\frac {1}{u}}\,du=\ln u=\ln(1+e^{x}).}$$

人工ニューラルネットワークでは、これはソフトプラス関数として知られており、（スケーリングにより）ランプ関数の滑らかな近似であり、ロジスティック関数（スケーリングあり）がヘヴィサイド階段関数の滑らかな近似であるのと同様です。

標準ロジスティック関数は実数全体で解析的である。${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$、${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}=h(g(x))}$どこ${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$、${\displaystyle g(x)=1+e^{-x}}$そして${\displaystyle h:(0,\infty )\to (0,\infty )}$、${\displaystyle h(x)={\frac {1}{x}}}$ それらは定義域上で解析的であり、解析関数の合成もまた解析的である。

標準ロジスティック関数のn階導関数の公式は次のとおりです。

$${\displaystyle {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\left(\sum _{j=1}^{n}{\left(-1\right)}^{i+j}{\binom {i}{j}}j^{n}\right)e^{-ix}}{{\left(1+e^{-x}\right)}^{i+1}}}}$$

したがって、その点に関するテイラー級数${\displaystyle a}$は

$${\displaystyle f(x)=f(a)(x-a)+\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {\left(\sum _{j=1}^{n}{\left(-1\right)}^{i+j}{\binom {i}{j}}j^{n}\right)e^{-ix}}{{\left(1+e^{-x}\right)}^{i+1}}}{\frac {{\left(x-a\right)}^{n}}{n!}}.}$$

独自の標準ロジスティック関数は、単純な1階非線形常微分方程式の解である。

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=f(x){\big (}1-f(x){\big )}}$$

境界条件付き${\displaystyle f(0)=1/2}$この方程式はロジスティック写像の連続バージョンです。逆ロジスティック関数は単純な1階線形常微分方程式の解であることに注意してください。^{[ 12 ]}

定性的な挙動は位相線の観点から容易に理解できます。関数が 1 のとき導関数は 0 であり、導関数は 1 のとき正です。${\displaystyle f}$0～1の間、負の場合は${\displaystyle f}$1より大きいか0より小さい場合（ただし、負の個体数は一般的に物理モデルとは一致しない）。これにより、0で不安定な平衡状態、1で安定した平衡状態が生じ、したがって、0より大きく1より小さい任意の関数値に対して、1に増加します。

ロジスティック方程式はベルヌーイ微分方程式の特殊な場合であり、以下の解を持つ。

$${\displaystyle f(x)={\frac {e^{x}}{e^{x}+C}}.}$$

積分定数の選択${\displaystyle C=1}$これは、ロジスティック曲線の定義のもう一つのよく知られた形式を示しています。

$${\displaystyle f(x)={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}={\frac {1}{1+e^{-x}}}.}$$

より定量的に見ると、解析解からわかるように、ロジスティック曲線は負の引数に対して初期段階で指数関数的な成長を示し、引数が0に近い場合には傾き1/4の線形成長に達し、その後指数関数的に減少するギャップを伴いながら1に近づきます。

上記で導出された微分方程式は、シグモイド関数のみをモデル化した一般微分方程式の特殊なケースである。${\displaystyle x>0}$多くのモデリングアプリケーションでは、より一般的な形式$${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}={\frac {k}{L}}f(x){\big (}L-f(x){\big )},\quad f(0)={\frac {L}{1+e^{kx_{0}}}}}$$ 望ましい場合もある。その解決策は、シフトおよびスケーリングされたシグモイド関数である。${\displaystyle L\sigma {\big (}k(x-x_{0}){\big )}={\frac {L}{1+e^{-k(x-x_{0})}}}}$。

ロジスティック方程式の典型的な応用例は、人口増加の一般的なモデル（人口動態も参照）であり、これはもともと1838年にピエール＝フランソワ・ヴェルフルストによって考案されたもので、他の条件がすべて同じであれば、繁殖率は既存の人口と利用可能な資源量の両方に比例します。ヴェルフルスト方程式は、ヴェルフルストがトーマス・マルサスの『人口原理に関するエッセイ』を読んだ後に発表されました。このエッセイでは、単純な（制約のない）指数関数的成長のマルサス的成長モデルが記述されています。ヴェルフルストは、生物集団の自己制限的な成長を記述するためにロジスティック方程式を導き出しました。この方程式は、1911年にAGマッケンドリックによって、培養液中の細菌の成長について再発見され、非線形パラメータ推定の手法を用いて実験的に検証されました。^{[ 13 ]}この方程式は、1920 年にジョンズ ホプキンス大学のレイモンド パール(1879–1940) とローウェル リード(1888–1966)によって再発見されたことから、フェルフルスト パール方程式と呼ばれることもあります。^{[ 14 ]}別の科学者であるアルフレッド J. ロトカは、1925 年にこの方程式を再び導き出し、人口増加の法則と名付けました。

賃貸${\displaystyle P}$人口規模を表す（${\displaystyle N}$（生態学では代わりに使われることが多い）${\displaystyle t}$時間を表すこのモデルは、微分方程式によって定式化されます。

$${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=rP\left(1-{\frac {P}{K}}\right),}$$

定数${\displaystyle r}$成長率を定義し、${\displaystyle K}$は収容能力です。

この方程式では、初期の阻害されない成長率は第1項でモデル化されている。${\displaystyle +rP}$レートの値${\displaystyle r}$人口の比例的な増加を表す${\displaystyle P}$1単位時間あたり。その後、人口が増加すると、第2項の絶対値（これを掛け合わせると）は${\displaystyle -rP^{2}/K}$人口の一部が${\displaystyle P}$食料や居住空間などの重要な資源をめぐって競合することで、互いに干渉し合う。この拮抗作用はボトルネックと呼ばれ、パラメータの値によってモデル化される。${\displaystyle K}$競争により複合成長率が低下し、${\displaystyle P}$成長が止まる（これを個体群の成熟と呼ぶ）。方程式の解（${\displaystyle P_{0}}$（初期人口）は

$${\displaystyle P(t)={\frac {KP_{0}e^{rt}}{K+P_{0}\left(e^{rt}-1\right)}}={\frac {K}{1+\left({\frac {K-P_{0}}{P_{0}}}\right)e^{-rt}}},}$$

どこ

$${\displaystyle \lim _{t\to \infty }P(t)=K,}$$

どこ${\displaystyle K}$は限界値です${\displaystyle P}$は、無限の時間を与えた場合に個体群が到達できる最大値（または有限時間で到達できる最大値）です。収容力は、初期値とは無関係に漸近的に到達します。${\displaystyle P(0)>0}$また、${\displaystyle P(0)>K}$。

生態学では、種は時として次のように呼ばれる。${\displaystyle r}$戦略家または${\displaystyle K}$-戦略家は、彼らの生活史戦略を形成してきた選択プロセスに依存します。 可変次元を選択することで、${\displaystyle n}$人口を収容力単位で測定し、${\displaystyle \tau }$時間を単位で測定します${\displaystyle 1/r}$は無次元微分方程式を与える

$${\displaystyle {\frac {dn}{d\tau }}=n(1-n).}$$

ロジスティック関数は統計学において様々な役割で用いられます。例えば、ロジスティック分布族の累積分布関数であり、また、やや単純化して言えば、チェスのレーティングシステムにおいて、プレイヤーが対戦相手に勝つ確率をモデル化するためにも用いられます。以下に、より具体的な例を示します。

ロジスティック曲線のもう一つの応用例は医学分野であり、ロジスティック微分方程式を用いて腫瘍の増殖をモデル化することができる。この応用は、生態学の枠組みにおける上記の応用例の拡張と考えることができる（より多くのパラメータを許容する一般化ロジスティック曲線も参照）。${\displaystyle X(t)}$腫瘍の大きさ${\displaystyle t}$そのダイナミクスは以下によって支配される。

$${\displaystyle X'=r\left(1-{\frac {X}{K}}\right)X,}$$

これは次のタイプの

$${\displaystyle X'=F(X)X,\quad F'(X)\leq 0,}$$

どこ${\displaystyle F(X)}$これは腫瘍の増殖率である。

化学療法コースが対数殺傷効果で開始された場合、方程式は次のように修正される可能性があります。

$${\displaystyle X'=r\left(1-{\frac {X}{K}}\right)X-c(t)X,}$$

どこ${\displaystyle c(t)}$は治療誘発死亡率です。非常に長い治療の理想的なケースでは、${\displaystyle c(t)}$周期関数としてモデル化できる（周期）${\displaystyle T}$）または（持続点滴療法の場合）定数関数として、そして、

$${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}c(t)\,dt>r\to \lim _{t\to +\infty }x(t)=0,}$$

つまり、治療によって誘発される平均死亡率がベースラインの増殖率よりも高い場合、疾患は根絶されるということになります。もちろん、これは増殖と治療の両方を過度に単純化したモデルです。例えば、クローン耐性の進化や、治療が患者に及ぼす副作用は考慮されていません。これらの要因によって、最終的に化学療法が失敗したり、中止されたりする可能性があります。

集団が免疫を持たない新規感染性病原体は、感受性のある個体が豊富にある初期段階では一般的に指数関数的に広がります。COVID -19を引き起こす SARS-CoV-2 ウイルスは、 2020 年初頭にいくつかの国で感染初期に指数関数的な増加を示しました。^{[ 19 ]}感受性のある宿主の不足 (集団免疫の閾値を超えるまで感染が拡大し続けることによる) や、物理的距離措置による潜在的な宿主へのアクセスの減少などの要因により、指数関数的に見える流行曲線が最初に直線化し (前述のように、 Pierre-François Verhulstが最初に指摘した「対数的」から「ロジスティック」への移行を再現)、その後最大限界に達する可能性があります。^{[ 20 ]}

ロジスティック関数、または関連する関数（例えばゴンペルツ関数）は、初期の指数関数的な増加だけでなく、集団免疫を獲得して最終的にパンデミックが横ばいになる様子にもよく適合するため、通常は記述的または現象論的な方法で使用されます。これは、パンデミックの動態（接触率、潜伏期間、社会的距離など）に基づいて記述を定式化しようとする実際のパンデミックモデルとは対照的です。ただし、ロジスティック解が得られる単純なモデルもいくつか開発されています。^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]}

初期のCOVID-19症例のモデリング

リチャーズ成長曲線とも呼ばれる一般化ロジスティック関数は、COVID-19の発生初期段階をモデル化するために適用されている。^{[ 24 ]}著者らは、感染者数の累積数（ここでは感染軌跡と呼ぶ）に一般化ロジスティック関数を当てはめている。文献には、一般化ロジスティック関数のさまざまなパラメータ化が存在する。よく使用される形式の1つは次のとおりである。

$${\displaystyle f(t;\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3},\xi )={\frac {\theta _{1}}{{\left[1+\xi \exp \left(-\theta _{2}\cdot (t-\theta _{3})\right)\right]}^{1/\xi }}}}$$

どこ${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}}$は実数であり、${\displaystyle \xi }$は正の実数です。曲線の柔軟性${\displaystyle f}$パラメータによる${\displaystyle \xi }$（i）もし${\displaystyle \xi =1}$すると曲線はロジスティック関数に簡略化され、(ii)${\displaystyle \xi }$がゼロに近づくと、曲線はゴンペルツ関数に収束します。疫学モデルでは、${\displaystyle \theta _{1}}$、${\displaystyle \theta _{2}}$、 そして${\displaystyle \theta _{3}}$それぞれ最終的な流行規模、感染率、および潜伏期間を表します。感染の軌跡の例については、右側のパネルを参照してください。${\displaystyle (\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})}$設定されています${\displaystyle (10000,0.2,40)}$。

疫学モデリングにおいて、一般化ロジスティック関数などの成長関数を用いる利点の1つは、異なる地理的地域からの情報を統合できる多段階モデル​​の枠組みに比較的容易に適用できることである。

自己触媒反応における反応物と生成物の濃度はロジスティック関数に従います。燃料電池カソードにおける白金族金属フリー（PGMフリー）酸素還元反応（ORR）触媒の劣化はロジスティック減衰関数に従い、^{[ 25 ]}自己触媒劣化メカニズムを示唆しています。

ロジスティック関数は、熱平衡状態にある系のエネルギー状態におけるフェルミオンの統計的分布を決定する。具体的には、フェルミ・ディラック統計に従って、各エネルギー準位がフェルミオンによって占められる確率の分布を表す。

ロジスティック関数は光学、特に蜃気楼などの現象のモデリングにも応用されています。拡散による温度勾配や濃度勾配の存在、重力との平衡など、特定の条件下ではロジスティック曲線の挙動が現れる可能性があります。^{[ 26 ] [ 27 ]}

蜃気楼は、物質の密度/濃度に関連する屈折率を距離に応じて変化させる温度勾配によって生じる現象であり、濃度勾配による屈折率勾配を持つ流体を用いてモデル化することができる。このメカニズムは、濃度の高い領域が重力との平衡を求めながら低濃度領域へ拡散しようとする、限界的な個体群成長モデルに相当し、ロジスティック関数曲線が得られる。^{[ 26 ]}

拡散接合を参照してください。

言語学では、ロジスティック関数は言語変化をモデル化するために使用できます。^{[ 28 ]}最初は周辺的だった革新は、時間の経過とともに急速に広がり始め、その後、より普遍的に採用されるにつれて徐々に遅くなります。

ロジスティックS字曲線は、成長要因の変化に対する作物の反応をモデル化するために使用できます。反応関数には、 正の成長曲線 と負の成長曲線の2種類があります。例えば、作物の収量は、成長要因の値が増加するにつれてある一定のレベルまで増加する場合（正の関数）、または成長要因の値が増加するにつれて減少する場合（負の成長要因による負の関数）があり、後者の場合は逆S字曲線が必要となります。

作物収量と地下水位の深さの関係を示すS字曲線モデル^{[ 29 ]}

作物収量と土壌塩分濃度の関係を示す逆S字曲線モデル^{[ 30 ]}

ロジスティック関数は、イノベーションのライフサイクルを通じた普及の進捗状況を示すために使用できる。

ガブリエル・タルドは『模倣の法則』（1890年）の中で、模倣の連鎖を通して新しいアイデアが生まれ、広まっていく様子を描写している。特にタルドは、イノベーションが広まる3つの主要な段階を特定している。第一段階は困難な始まりに対応し、この段階ではアイデアは反対の習慣や信念に満ちた敵対的な環境の中で苦闘しなければならない。第二段階はアイデアが指数関数的に離陸する段階に対応し、${\displaystyle f(x)=2^{x}}$最後に、第3段階は対数であり、${\displaystyle f(x)=\log(x)}$そしてそれは、アイデアの勢いが徐々に鈍化する一方で、同時に新たな反対意見が現れる時期に対応する。結果として生じる状況は、イノベーションの進展を停止または安定させ、漸近線へと近づける。

主権国家では、地方自治体（構成州または都市）は、プロジェクトの資金調達に融資を利用できる。しかし、この資金源は通常、厳格な法的規則と経済的な希少性制約、特に銀行が貸し出せる資金（自己資本またはバーゼル規制による）の制約を受ける。飽和レベルを表すこれらの制約と、資金をめぐる経済競争の指数関数的な急増により、公的財政における信用要請の拡散が生じ、国家全体の対応はシグモイド曲線を描く。^{[ 31 ]}

歴史的に見ると、新製品が導入される際には、研究開発に多大な労力が費やされ、その結果、品質が劇的に向上し、コストが削減されます。これにより、業界は急速な成長期を迎えます。有名な例としては、鉄道、白熱電球、電化、自動車、航空旅行などが挙げられます。しかし、やがて劇的な改善やコスト削減の機会は尽き、製品やプロセスは広く普及し、新規顧客の獲得の可能性はわずかとなり、市場は飽和状態になります。

ロジスティック分析は、国際応用システム分析研究所（IIASA）の複数の研究者による論文で使用されています。これらの論文は、さまざまなイノベーション、インフラストラクチャ、エネルギー源の代替の普及、経済における労働の役割、および長期経済サイクルを扱っています。長期経済サイクルは、Robert Ayres（1989）によって調査されました。^{[ 32 ]} Cesare Marchettiは、長期経済サイクルとイノベーションの普及について発表しました。^{[ 33 ] [ 34 ]} Arnulf Grüblerの著書（1990）は、運河、鉄道、高速道路、航空会社などのインフラストラクチャの普及について詳細に説明し、それらの普及がロジスティック曲線を描いていることを示しました。^{[ 35 ]}

カルロタ・ペレスは、ロジスティック曲線を用いて長期（コンドラチェフ）景気循環を次のように表現した。技術時代の始まりを「突発」、上昇期を「狂乱」、急速な拡大期を「相乗効果」、そして完了期を「成熟」とした。^{[ 36 ]}

ロジスティック成長回帰では、成長過程の変曲点付近までのデータしか入手できない場合、大きな不確実性が伴います。このような状況下では、変曲点が発生する高さを推定する際の不確実性は、システムの収容力（K）に匹敵する可能性があります。

この不確実性を軽減する方法の一つとして、代理ロジスティック成長過程の収容力を基準点として使用する方法がある。^{[ 37 ]}この制約を組み込むことで、Kが2倍以内の推定値であっても回帰が安定し、精度が向上し、予測パラメータの不確実性が低減される。このアプローチは、類似の代理システムや個体群が分析に役立つ経済学や生物学などの分野に適用できる。

リンク^{[ 38 ]}は、正または負の境界に最初に等しくなるか超えるまで、分布によらない確率変数の蓄積にウォルドの逐次分析理論を拡張した。リンク^{[ 39 ]}は、最初に正の境界に等しくなるか超える確率を次のように導出している。${\displaystyle 1/(1+e^{-\theta A})}$これはロジスティック関数です。ロジスティック関数が確率過程を基礎としている可能性があることの最初の証明です。リンク^{[ 40 ]}は、「ロジスティック」な実験結果の100年分の例と、この確率と境界での吸収時間との間の新たに導出された関係を示しています。