線形関数

数学において、線形関数という用語は、2つの異なるが関連する概念を指します。^[1]

• 微積分学や関連分野において、線形関数とはグラフが直線となる関数、つまり0次または1次の多項式関数のことである。 ^{[2]このような線形関数を他の概念と区別するために、}アフィン関数という用語がよく使われる。^[3]
• 線型代数学、数学解析[ ^4]、関数解析において、線型関数は線型写像である。^[5]

微積分学、解析幾何学、および関連分野において、線形関数は、ゼロ多項式（後者は次数 0 とは見なされない） を含む、次数 1 以下の多項式です。

関数が1変数の場合、その形式は次のようになる。

${\displaystyle f(x)=ax+b,}$

ここで、aとb は定数で、多くの場合は実数です。このような 1 変数関数のグラフは垂直ではない線になります。aは線の傾き、 b は切片と 呼ばれることがよくあります。

a > 0の場合、勾配は正であり、グラフは上向きに傾斜します。

a < 0の場合、勾配は負となり、グラフは下向きに傾きます。

任意の有限個の変数の関数の場合、一般式は ${\displaystyle f(x_{1},\ldots,x_{k})}$

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{k})=b+a_{1}x_{1}+\cdots +a_{k}x_{k},}$

グラフはk次元の超平面です。

定数関数は、0 次多項式またはゼロ多項式であるため、この文脈では線形であるとも考えられます。変数が 1 つしかない場合、そのグラフは水平線になります。

この文脈では、線型写像（他の意味）でもある関数は、同次線型関数または線型形式と呼ばれることがあります。線型代数の文脈では、次数 0 または 1 の多項式関数は、スカラー値のアフィン写像です。

線型代数学において、線型関数とは、 2つのベクトル空間間の写像fであり、

${\displaystyle f(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=f(\mathbf {x} )+f(\mathbf {y} )}$

${\displaystyle f(a\mathbf {x} )=af(\mathbf {x} ).}$

ここで、a はスカラー体 K (たとえば、実数) に属する定数を表し、xとyはベクトル空間の要素であり、ベクトル空間はK自体である可能性があります。

言い換えれば、線形関数はベクトルの加算とスカラーの乗算を保存します。

一部の著者は、スカラー体で値を取る線型写像に対してのみ「線型関数」を使用する。^[6]これらは一般的に線型形式と呼ばれる。

微積分の「線形関数」は、f (0, ..., 0) = 0の場合（そしてその場合のみ） 、または同等に、上記の 1 次多項式で定数b が0 に等しい場合に、「線形マップ」として適格です。幾何学的には、関数のグラフは原点を通過する必要があります。

• 同次関数
• 非線形システム
• 区分線形関数
• 線形近似
• 線形補間
• 不連続線形マップ
• 線形最小二乗法

• イズライル・モイセヴィッチ・ゲルファンド（1961）『線形代数講義』、インターサイエンス出版社、ニューヨーク。ドーバー社により1989年に再版。ISBN 0-486-66082-6 
• Shores, Thomas S. (2007)。応用線形代数と行列解析。数学の学部テキスト。Springer。ISBN 0-387-33195-6。
• スチュワート、ジェームズ (2012)。微積分学: 初期超越関数(第 7 版)。ブルックス/コール。ISBN 978-0-538-49790-9。
• Leonid N. Vaserstein (2006)、「線形計画法」、Leslie Hogben編、『線形代数ハンドブック、離散数学とその応用』、Chapman and Hall/CRC、第 50 章。ISBN 1-584-88510-6