ロジット

統計学において、ロジット^{[ a ]}（ロジスティック単位）または対数オッズ関数は、標準ロジスティック分布に関連付けられた分位関数です。これは、データ分析や機械学習、特にデータ変換において多くの用途があります。

数学的には、ロジットは標準ロジスティック関数の逆関数である。${\displaystyle \textstyle \sigma (x)=1/(1+e^{-x})}$⁠、したがってロジットは次のように定義されます。 $${\displaystyle \operatorname {logit} p=\sigma ^{-1}(p)=\ln {\frac {p}{1-p}}\quad {\text{for}}\quad p\in (0,1).}$$

このため、ロジットはオッズの対数に等しいことから、対数オッズとも呼ばれる。${\textstyle {\frac {p}{1-p}}}$ここでpは確率です。したがって、ロジットは確率値をマッピングする関数の一種です。${\displaystyle (0,1)}$実数に${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$⁠、 ^{[ 1 ]}プロビット関数に類似。

pが確率である場合、${\textstyle {\tfrac {p}{1-p}}}$は対応するオッズです。確率の ロジットはオッズの対数です。つまり、$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {logit} (p)&={\hphantom {-}}\ln \left({\frac {p}{1-p}}\right)=\ln(p)-\ln(1-p)\\&=-\ln \left({\frac {1}{p}}-1\right)=2\operatorname {atanh} (2p-1).\end{aligned}}}$$

本稿では、対数関数の底が1より大きい限り、その底はさほど重要ではないが、底がeの自然対数が最もよく用いられる。底の選択は、値の対数単位の選択に対応する。底が2の場合はシャノン、底がeの場合はナット、底が10の場合はハートレーとなる。これらの単位は、特に情報理論的な解釈において用いられる。底の選択に関わらず、ロジット関数は負の無限大から正の無限大までの値をとる。   

任意の数のロジスティック関数${\displaystyle \alpha }$逆ロジットによって与えられる： $${\displaystyle \operatorname {logit} ^{-1}(\alpha )=\operatorname {logistic} (\alpha )={\frac {1}{1+e^{-\alpha }}}={\frac {e^{\alpha }}{e^{\alpha }+1}}={\frac {\tanh({\frac {\alpha }{2}})+1}{2}}}$$

2つの確率のロジットの差はオッズ比（R ）の対数であり、したがって、加算と減算のみでオッズ比の正しい組み合わせを記述するための簡略な方法を提供する。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(R)&=\ln \left({\frac {\tfrac {p_{1}}{1-p_{1}}}{\tfrac {p_{2}}{1-p_{2}}}}\right)\\&=\ln \left({\frac {p_{1}}{1-p_{1}}}\right)-\ln \left({\frac {p_{2}}{1-p_{2}}}\right)\\&=\operatorname {logit} (p_{1})-\operatorname {logit} (p_{2})\,.\end{aligned}}}$$

ロジット関数のテイラー級数は次のように表され ます。$$\displaystyle \operatorname {logit} (x)=2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2x-1)^{2n+1}}{2n+1}}.}$$

出力が確率値である領域に線形回帰手法を適用するために、いくつかの手法が検討されてきた。${\displaystyle (0,1)}$実数の代わりに${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$多くの場合、このような取り組みは、範囲をマッピングすることによってこの問題をモデル化することに焦点を当ててきました。${\displaystyle (0,1)}$⁠から⁠${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$そして、これらの変換された値に対して線形回帰を実行します。 ^{[ 2 ]}

1934年、チェスター・イットナー・ブリスは累積正規分布関数を用いてこのマッピングを行い、そのモデルを「確率単位」の略であるプロビットと名付けた。しかし、これは計算コストが高い。^{[ 2 ]} 1944年、ジョセフ・バークソンはオッズの対数を用い、プロビットの類推に従ってこの関数を「ロジスティック単位」の略であるロジットと名付けた。^{[ 3 ]}

対数オッズは、19 世紀後半にチャールズ・サンダース・パースによって広く使用されました。 ^{[ 4 ]} 1949 年にG.A. バーナードは、一般的に使用されている用語log-oddsを造語しました。^{[ 5 ] [ 6 ]}ある事象の対数オッズは、その事象の確率のロジットです。^{[ 7 ]}バーナードはまた、 「対数オッズ」の抽象的な形式としてlodsという用語を造語しましたが、 ^{[ 8 ]}「実際には、日常生活でより馴染みのある用語である「odds」を通常使用すべきである」と提案しました。^{[ 9 ]}

• ロジスティック回帰におけるロジットは、一般化線形モデルにおけるリンク関数の特殊なケースであり、ベルヌーイ分布の標準的なリンク関数である。
• より抽象的に言えば、ロジットは二項分布の自然なパラメータである。
• ロジット関数は、二値エントロピー関数の導関数の負の値です。
• ロジットは、測定のための確率的ラッシュモデルにおいても中心的な役割を果たしており、心理学や教育評価など、さまざまな分野で応用されている。
• 逆ロジット関数（すなわちロジスティック関数）は、 expit関数とも呼ばれることがある。^{[ 10 ]}
• 植物病害疫学において、ロジスティックモデル、ゴンペルツモデル、および単分子モデルは、総称してリチャーズファミリーモデルとして知られている。
• 確率の対数オッズ関数は、確率が小さい場合に数値的に有利なため、状態推定アルゴリズムでよく使用されます^{[ 11 ]}。非常に小さな浮動小数点数を乗算する代わりに、対数オッズ確率を単純に合計して、（対数オッズ）結合確率を計算できます。^{[ 12 ] [ 13 ]}

ロジット関数（およびロジットモデル）と密接に関連しているのが、プロビット関数とプロビットモデルです。ロジット関数とプロビット関数はどちらも0から1の間の定義域を持つシグモイド関数であり、どちらも分位関数、つまり確率分布の累積分布関数（CDF）の逆関数です。実際、ロジット関数はロジスティック分布の分位関数であり、プロビット関数は正規分布の分位関数です。プロビット関数は⁠ と表記されます。 ${\displaystyle \operatorname {\Phi } ^{-1}(x)}$⁠、そこで⁠${\displaystyle \operatorname {\Phi } (x)}$⁠は、先ほど述べたように、標準正規分布の累積分布関数です。 $${\displaystyle \operatorname {\Phi } (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-y^{2}/2}dy.}$$

右のグラフに示すように、プロビット関数をスケーリングしてy = 0における傾きがロジット関数の傾きと一致するようにすると、ロジット関数とプロビット関数は非常に類似します。そのため、特定のアプリケーション（例えば、項目反応理論）では実装が容易なため、ロジットモデルの代わりにプロビットモデルが使用されることがあります。 ^{[ 14 ]}

• シグモイド関数
• 二項ロジット、多項ロジット、条件付きロジット、ネストされたロジット、混合ロジット、爆発ロジット、および順序付きロジットに関する離散選択
• 限定された従属変数
• マーケティングにおけるロジスティック分析
• 多項ロジット
• オジー、同様の形状の曲線
• パーセプトロン
• プロビットは、ロジットと同じ定義域と値域を持つ別の関数です。
• リディットスコアリング
• データ変換（統計）
• アークサイン（変換）
• ラッシュモデル

• どのリンク関数が最適か？（​​ロジット、プロビット、それともクロログ？） 2023年4月12日

• アシュトン、ウィニフレッド・D. (1972).ロジット変換：特に生物学的検定におけるその利用について. グリフィン統計モノグラフ＆コース. 第 32巻. チャールズ・グリフィン. doi : 10.2307/2345009 . ISBN 978-0-85264-212-2JSTOR 2345009 .​