ゴンペルツ関数

ゴンペルツ曲線またはゴンペルツ関数は、時系列の数学的モデルの一種で、ベンジャミン・ゴンペルツ(1779–1865) にちなんで名付けられました。これはシグモイド関数であり、特定の期間の初めと終わりに成長が最も遅くなることを表します。関数の右側または将来値の漸近線は、左側またはより低い値の漸近線よりもはるかに緩やかに曲線に近づきます。これは、両方の漸近線が曲線によって対称的に近づく単純なロジスティック関数とは対照的です。これは、一般化ロジスティック関数の特殊なケースです。この関数はもともと人間の死亡率を説明するために設計されましたが、その後、人口の詳細に関して生物学に適用されるよう修正されました。

ベンジャミン・ゴンペルツ（1779–1865）はロンドンの私立のアクチュアリーでした。^{[1]彼は1819年に}王立協会 の会員に選出されました。この関数は、1825年6月16日の論文の518ページの下部で初めて発表されました。^[2] ゴンペルツ関数は、生命表の膨大なデータを1つの関数にまとめたものです。これは、人が年を取るにつれて死亡率が指数関数的に増加するという仮定に基づいています。結果として得られるゴンペルツ関数は、特定の年齢で生きている人の数を年齢の関数として表したものです。

死亡率の機能モデルの構築に関する初期の研究は、1750年代にフランスの数学者アブラハム・ド・モアブル（1667–1754）によって行われた。 ^{[3] [4]} しかし、ド・モアブルは死亡率が一定であると仮定した。ゴンペルツの研究の拡張は、1860年にイギリスの保険数理士で数学者のウィリアム・マシュー・メイクハム（1826–1891）によって提案され、彼はゴンペルツの指数関数的に増加する死亡率に一定の背景死亡率を加えた。^[5]

$${\displaystyle f(t)=a\mathrm {e} ^{-b\mathrm {e} ^{-ct}}}$$ どこ

• aは漸近線である。${\textstyle \lim _{t\to \infty }a\mathrm {e} ^{-b\mathrm {e} ^{-ct}}=a\mathrm {e} ^{0}=a}$
• b はx軸に沿った変位を設定します(グラフを左または右に移動します)。
• cは成長率（yスケーリング）を設定します。
• e はオイラー数です(e = 2.71828...)

曲線は、アフィン変換後と同じ形状になります。 ${\textstyle f(t)=a\mathrm {e} ^{-b\mathrm {e} ^{-ct}}=ae^{-e^{-ct+\ln b}}}$${\displaystyle f(t)=e^{-e^{-t}}}$

中間点はtについて解くことで見つかります。 最大増加率の点（）はtについて解くことで見つかります。 増加率は ${\textstyle f(t)=a/2}$$${\displaystyle t_{hwp}={\frac {\ln(b)-\ln(\ln(2))}{c}}}$$${\textstyle 0.368a}$${\textstyle {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}f(t)=0}$$${\displaystyle t_{max}=\ln(b)/c}$$${\textstyle t_{max}}$$${\displaystyle \max \left({\frac {df}{dt}}\right)={\frac {ac}{e}}}$$

関数曲線はゴンペルツの死亡率の法則から導かれます。ゴンペルツの法則は、絶対死亡率（減衰）が現在のサイズとともに指数関数的に減少することを示しています。数学的には、

$${\displaystyle k^{r}\propto {\frac {1}{y(t)}}}$$

どこ

• ${\textstyle r={\frac {y'(t)}{y(t)}}}$成長率です
• k は任意の定数です。

ゴンペルツ曲線の使用例は次のとおりです。

• 携帯電話の普及は、当初はコストが高かったため普及が遅かったが、その後急速に普及し、その後飽和状態に達すると普及が鈍化した^[6]
• 限られた空間での人口増加、出生率は最初は上昇するが、資源の限界に達すると低下する^[7]
• 腫瘍の成長のモデル化^[8]
• 宇宙における水素の再電離のモデル化^[9]
• 金融における市場への影響のモデル化^[10]と地方融資の集約的動態^{[11] 。}
• 捕食動物と被捕食動物の関係を考慮した、捕食動物の個体数増加の詳細
• 集団内の細菌細胞のモデル化
• 病気の蔓延を調べる
• 英語版ウィキペディアのサイズはゴンペルツ関数とある程度修正された関数でモデル化できる^[12]

集団生物学では、ゴンペルツ関数が特に重要です。この関数は、特定の生物集団の急速な成長を説明する際に特に役立ちます。また、収容力(プラトー細胞数/集団数) が決定されたら、最終的な水平漸近線を説明することもできます。

次のようにモデル化されます。

$${\displaystyle N(t)=N_{0}\exp(\ln(N_{I}/N_{0})(1-\exp(-bt)))}$$

どこ：

• ${\textstyle t}$時間です
• ${\textstyle N_{0}}$細胞の初期密度
• ${\textstyle N_{I}}$プラトー細胞/個体群密度
• ${\textstyle b}$腫瘍の成長の初期速度

この関数はプラトー細胞数を考慮するため、実際の個体群動態を正確に模倣するのに役立ちます。また、この関数はシグモイド関数にも準拠しており、これは個体群の成長を一般的に詳細に示す最も広く受け入れられている慣例です。さらに、この関数は初期成長率を利用しています。これは、対数増殖期を経て急速に数が増える細菌細胞や癌細胞の個体群でよく見られます。この人気にもかかわらず、患者のさまざまなミクロコスモス、または個体群生物学の場合にはさまざまな環境要因を考えると、腫瘍の成長の初期率関数を事前に決定することは困難です。癌患者では、年齢、食事、民族、遺伝的素因、代謝、ライフスタイル、転移の原因などの要因が、腫瘍の成長率を決定する役割を果たします。収容力もこれらの要因に基づいて変化すると予想されるため、このような現象を説明することは困難です。

代謝機能は、特に生物体内の代謝率を考慮することに関係しています。この機能は腫瘍細胞の監視に適用できます。代謝率は動的で柔軟性が高いため、癌の成長をより正確に詳細に把握できます。代謝曲線は、組織を維持および作成するために体が供給するエネルギーを考慮に入れます。このエネルギーは代謝とみなされ、細胞分裂の特定のパターンに従います。エネルギー保存則を使用して、質量や発達時間の違いに関係なく、このような成長をモデル化できます。すべての分類群は同様の成長パターンを共有しており、その結果、このモデルは腫瘍の発達の基礎である細胞分裂を考慮します。

$${\displaystyle B=\sum _{C}(N_{C}B_{C})+\left(E_{C}{\operatorname {d} \!N_{C} \over \operatorname {d} \!t}\right)}$$

• ${\textstyle B}$= 生物が休息時に使用するエネルギー
• ${\textstyle N_{C}}$= 特定の生物の細胞数
• ${\textstyle B_{C}}$= 個々の細胞の代謝率
• ${\textstyle N_{C}B_{C}}$= 既存の組織を維持するために必要なエネルギー
• ${\textstyle E_{C}}$= 個々の細胞から新しい組織を作るために必要なエネルギー

安静時に消費されるエネルギーと代謝率の働きを区別することで、モデルは成長率をより正確に判断できます。安静時のエネルギーは組織を維持するために消費されるエネルギーよりも低く、これらを合わせると既存の組織を維持するために必要なエネルギーを表します。これら 2 つの要素と新しい組織を作るために必要なエネルギーを使用すると、成長率を包括的にマッピングし、さらに、ラグ フェーズを正確に表現できます。

1960年代にAK Laird ^[13]は、腫瘍の成長データにゴンペルツ曲線を当てはめることに初めて成功しました。実際、腫瘍は限られた栄養分が限られた限られた空間で成長する細胞集団です。腫瘍のサイズをX(t)とすると、ゴンペルツ曲線は次のように表すことができます。

${\displaystyle X(t)=K\exp \left(\log \left({\frac {X(0)}{K}}\right)\exp \left(-\alpha t\right)\right)}$

どこ：

• ${\textstyle X(0)}$観察開始時の腫瘍の大きさです。
• ${\textstyle K}$収容力、つまり利用可能な栄養素で到達できる最大サイズです。実際は次のようになります。$${\displaystyle \lim _{t\rightarrow +\infty }X(t)=K}$$

X(0)>0に依存せず。治療などがない場合は通常X(0) < Kであるが、治療がある場合にはX(0) > Kとなる場合があることに注意する。

• ${\textstyle \alpha }$細胞の増殖能力に関連する定数です。
• ${\textstyle \log()}$自然対数を指します。

X(t) のダイナミクスはゴンペルツ微分方程式によって支配されていることが示されます。

$${\displaystyle X^{\prime }(t)=\alpha \log \left({\frac {K}{X(t)}}\right)X(t)}$$

ie は分解すると次の形式になります。

$${\displaystyle X^{\prime }(t)=F\left(X(t)\right)X(t),\quad {\mbox{with}}\quad F^{\prime }(X)\leq 0,}$$

F(X)は細胞集団の瞬間的な増殖率であり、その減少傾向は細胞集団の増加による栄養素の競争によるもので、ロジスティック成長率と似ています。ただし、根本的な違いがあります。ロジスティックの場合、小さな細胞集団の増殖率は有限です。

$${\displaystyle F(X)=\alpha \left(1-\left({\frac {X}{K}}\right)^{\nu }\right)\Rightarrow F(0)=\alpha <+\infty }$$

一方、ゴンペルツの場合、増殖率は無制限です。

$${\displaystyle \lim _{X\rightarrow 0^{+}}F(X)=\lim _{X\rightarrow 0^{+}}\alpha \log \left({\frac {K}{X}}\right)=+\infty }$$

Steel ^[14]と Wheldon ^[15]が指摘したように、細胞集団の増殖率は最終的には細胞分裂時間によって制限されます。したがって、これは Gompertz 方程式が小さな腫瘍の成長をモデル化するのに適していないことの証拠である可能性があります。さらに最近では、免疫システムとの相互作用を含め、Gompertz 法則や無制限の F(0) を特徴とする他の法則は免疫監視の可能性を排除する可能性があることが指摘されています ^{[16] 。}

Fornalskiら^[17]による理論的研究は、放物線関数がより適切な非常に初期の段階を除いて、癌の成長に対するゴンペルツ曲線の生物物理学的根拠を示した。彼らはまた、ゴンペルツ曲線が癌のダイナミクス関数の広範なファミリーの中で最も典型的なケースを説明することを発見した。

ゴンペルツ微分方程式

$${\displaystyle X^{\prime }(t)=\alpha \log \left({\frac {K}{X(t)}}\right)X(t)}$$

一般化ロジスティック微分方程式の極限ケースである

$${\displaystyle X^{\prime }(t)=\alpha \nu \left(1-\left({\frac {X(t)}{K}}\right)^{\frac {1}{\nu }}\right)X(t)}$$

（ここでは正の実数） ${\displaystyle \nu >0}$

$${\displaystyle \lim _{\nu \rightarrow +\infty }\nu \left(1-x^{1/\nu }\right)=-\log \left(x\right)}$$。

さらに、一般化ロジスティック関数のグラフには、

$${\displaystyle X(t)=\left({\frac {\nu }{\nu +1}}\right)^{\nu }K}$$

そしてゴンペルツ関数のグラフでは

$${\displaystyle X(t)={\frac {K}{e}}=K\cdot \lim _{\nu \rightarrow +\infty }\left({\frac {\nu }{\nu +1}}\right)^{\nu }}$$。

上記の考察に基づき、Wheldon ^[15]は、Gomp-Exモデルと呼ばれる腫瘍増殖の数学的モデルを提案した。これは、Gompertzの法則をわずかに修正したものである。Gomp-Exモデルでは、最初はリソースをめぐる競争はなく、細胞集団は指数法則に従って拡大すると仮定されている。しかし、に対して となる臨界サイズの閾値が存在する。リソースをめぐる競争がないという仮定は、ほとんどのシナリオで当てはまる。しかし、この仮定は制限要因の影響を受ける可能性があり、そのためにはサブ要因変数の作成が必要となる。 ${\displaystyle X_{C}}$${\displaystyle X>X_{C}}$

成長はゴンペルツの法則に従います。

$${\displaystyle F(X)=\max \left(a,\alpha \log \left({\frac {K}{X}}\right)\right)}$$

となることによって：

$${\displaystyle X_{C}=K\exp \left(-{\frac {a}{\alpha }}\right).}$$

ここではいくつかの数値推定値^[15]が示されている。 ${\displaystyle X_{C}}$

• ${\textstyle X_{C}\approx 10^{9}}$人間の腫瘍に対して
• ${\textstyle X_{C}\approx 10^{6}}$マウス腫瘍用

ゴンペルツ関数は 1 対 1 対応 (全単射関数とも呼ばれる) であるため、その逆関数は従来の関数表記法で単一の連続関数として明示的に表現できます。次の形式のゴンペルツ関数があるとします。

$${\displaystyle f(t)=a\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{b-ct}}+d}$$ どこ

• dは基本水平漸近線である。${\textstyle \lim _{t\to -\infty }a\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{b-ct}}+d=a\mathrm {e} ^{-\infty } +d=d}$
• aは底辺から第二漸近線までの距離である。${\textstyle \lim _{t\to \infty }a\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{b-ct}}+d=a\mathrm {e} ^{0}+d=a+d}$
• b はx軸に沿った変位を設定します(グラフを左または右に移動します)。
• cは成長率（yスケーリング）を設定します。
• e はオイラー数です( e = 2.71828...)

対応する逆関数は次のように表すことができます。

$${\displaystyle f^{-1}(t)={\frac {1}{c}}\left[b-\ln \left(\ln \left({\frac {a}{t-d}}\right)\right)\right]}$$

逆関数は、2 つの漸近線の間の実数集合内の数値のみを生成します。この漸近線は、順方向ゴンペルツ関数のように水平ではなく垂直になります。垂直漸近線によって定義される範囲外では、逆関数では負の数の対数を計算する必要があります。このため、および他の理由から、逆ゴンペルツ関数をデータに直接当てはめることは、特に近似を計算するために利用できるデータ ポイントが比較的少ない場合は、実用的ではないことがよくあります。代わりに、データの転置関係を順方向ゴンペルツ関数に当てはめ、次に上記の 2 つの関係を使用して、それを同等の逆関数に変換することができます。

このように、逆関数には多くの用途があります。たとえば、特定のELISA アッセイには、ゴンペルツ関数によってその濃度を光学密度に非常によく適合させることができる標準曲線があります。このように標準がゴンペルツ関数に適合されると、標準曲線を適合させたときに生成されたゴンペルツ関数の逆関数を使用して、測定された光学密度からアッセイ内のサンプルの未知の濃度を計算できます。

• ゴンペルツ分布
• 成長曲線
• フォン・ベルタランフィ関数
• シグモイド関数

• ワイスタイン、エリック・W.「ゴンペルツ曲線」。マスワールド。
• https://archive.org/details/philtrans04942340
• http://chemoth.com/tumorgrowth