数学関数
A=M=0, K=C=1, B=3, ν=0.5, Q=0.5 パラメータ A を変更した場合の効果。他のすべてのパラメータは 1 です。 パラメータ B を変化させた場合の効果。A = 0、他のすべてのパラメータは 1 です。 パラメータ C を変化させた場合の効果。A = 0、他のすべてのパラメータは 1 です。 パラメータ K を変化させた場合の効果。A = 0、他のすべてのパラメータは 1 です。 パラメータ Q を変化させた場合の効果。A = 0、他のすべてのパラメータは 1 です。 パラメータを変化させた場合の効果 。A = 0、他のすべてのパラメータは 1 です。
ν
{\displaystyle \nu}
一般 化ロジスティック関数 または 曲線は、 ロジスティック関数 または シグモイド 関数の拡張です 。もともと成長モデル化のために開発されたもので、より柔軟な S 字型曲線を可能にします。この関数は 、1959 年にモデル ファミリの一般形式を提案した
F. J. Richards にちなんで、 Richards 曲線と呼ばれることもあります。
意味 リチャーズ曲線は次の形式になります。
はい （ t ） = あ +
け − あ
（ Ｃ + 質問
e
− B t
）
1
/
ν
{\displaystyle Y(t)=A+{KA \over (C+Qe^{-Bt})^{1/\nu }}}
ここで = 体重、身長、サイズなど、 = 時間です。6 つのパラメータがあります。
はい
{\displaystyle Y}
t
{\displaystyle t}
あ
{\displaystyle A}
: 左水平漸近線。
け
{\displaystyle K}
: のときの右水平漸近線 。 のとき 、 は 収容力 と呼ばれます 。
Ｃ = 1
{\displaystyle C=1}
あ = 0
{\displaystyle A=0}
Ｃ = 1
{\displaystyle C=1}
け
{\displaystyle K}
B
{\displaystyle B}
: 成長率;
ν > 0
{\displaystyle \nu >0}
: どの漸近線の近くで最大成長が発生するかに影響します。
質問
{\displaystyle Q}
: 値に関係する
はい （ 0 ）
{\displaystyle Y(0)}
Ｃ
{\displaystyle C}
: 通常は1の値をとります。それ以外の場合、上漸近線は
あ +
け − あ
Ｃ
1
/
ν
{\displaystyle A+{KA \over C^{\,1/\nu }}}
この式は次のように書くこともできます。
はい （ t ） = あ +
け − あ
（ Ｃ +
e
− B （ t − ま ）
）
1
/
ν
{\displaystyle Y(t)=A+{KA \over (C+e^{-B(tM)})^{1/\nu }}}
ここで、 は となる開始時刻と考えることができます 。 と の両方を含める と 便利です。
ま
{\displaystyle M}
はい （ ま ） = あ +
け − あ
（ Ｃ + 1
）
1
/
ν
{\displaystyle Y(M)=A+{KA \over (C+1)^{1/\nu }}}
質問
{\displaystyle Q}
ま
{\displaystyle M}
はい （ t ） = あ +
け − あ
（ Ｃ + 質問
e
− B （ t − ま ）
）
1
/
ν
{\displaystyle Y(t)=A+{KA \over (C+Qe^{-B(tM)})^{1/\nu }}}
この表現により、開始時刻とその時点での値の両方の設定が簡素化されます 。
はい
{\displaystyle Y}
時刻 で最大成長率を持つ ロジスティック関数は 、 の場合です 。
ま
{\displaystyle M}
質問 = ν = 1
{\displaystyle Q=\nu =1}
一般化ロジスティック微分方程式 一般化ロジスティック関数の特別なケースは次のとおりです。
はい （ t ） =
け
（ 1 + 質問
e
− α ν （ t −
t
0
）
）
1
/
ν
{\displaystyle Y(t)={K \over (1+Qe^{-\alpha \nu (t-t_{0})})^{1/\nu }}}
これはリチャーズの微分方程式 (RDE) の解です。
はい
′
（ t ） = α
（
1 −
（
はい け
）
ν
）
はい
{\displaystyle Y^{\prime }(t)=\alpha \left(1-\left({\frac {Y}{K}}\right)^{\nu }\right)Y}
初期条件付き
はい （
t
0
） =
はい
0
{\displaystyle Y(t_{0})=Y_{0}}
どこ
質問 = − 1 +
（
け
はい
0
）
ν
{\displaystyle Q=-1+\left({\frac {K}{Y_{0}}}\right)^{\nu }}
ただし 、
ν > 0
{\displaystyle \nu >0}
α > 0
{\displaystyle \alpha >0}
古典的なロジスティック微分方程式は、 という上式の特殊なケースですが 、 ゴンペルツ曲線は、 次の条件を満たす場合、 という極限で復元できます 。
ν = 1
{\displaystyle \nu =1}
ν →
0
+
{\displaystyle \nu \rightarrow 0^{+}}
α = お
（
1 ν
）
{\displaystyle \alpha =O\left({\frac {1}{\nu }}\right)}
実際、小さい場合 は
ν
{\displaystyle \nu}
はい
′
（ t ） = はい r
1 − 経験
（
ν 行
（
はい け
）
）
ν
≈ r はい 行
（
はい け
）
{\displaystyle Y^{\prime }(t)=Yr{\frac {1-\exp \left(\nu \ln \left({\frac {Y}{K}}\right)\right)}{\nu }}\approx rY\ln \left({\frac {Y}{K}}\right)}
RDE は、腫瘍学や疫学などの分野で生じる多くの成長現象をモデル化します。
一般化ロジスティック関数の勾配 データからパラメータを推定する場合、与えられたデータポイントにおけるパラメータに関するロジスティック関数の偏微分を計算する必要があることが多い （
[ 1] を参照）。
t
{\displaystyle t}
C
=
1
{\displaystyle C=1}
∂
Y
∂
A
=
1
−
(
1
+
Q
e
−
B
(
t
−
M
)
)
−
1
/
ν
∂
Y
∂
K
=
(
1
+
Q
e
−
B
(
t
−
M
)
)
−
1
/
ν
∂
Y
∂
B
=
(
K
−
A
)
(
t
−
M
)
Q
e
−
B
(
t
−
M
)
ν
(
1
+
Q
e
−
B
(
t
−
M
)
)
1
ν
+
1
∂
Y
∂
ν
=
(
K
−
A
)
ln
(
1
+
Q
e
−
B
(
t
−
M
)
)
ν
2
(
1
+
Q
e
−
B
(
t
−
M
)
)
1
ν
∂
Y
∂
Q
=
−
(
K
−
A
)
e
−
B
(
t
−
M
)
ν
(
1
+
Q
e
−
B
(
t
−
M
)
)
1
ν
+
1
∂
Y
∂
M
=
−
(
K
−
A
)
Q
B
e
−
B
(
t
−
M
)
ν
(
1
+
Q
e
−
B
(
t
−
M
)
)
1
ν
+
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\\{\frac {\partial Y}{\partial A}}&=1-(1+Qe^{-B(t-M)})^{-1/\nu }\\\\{\frac {\partial Y}{\partial K}}&=(1+Qe^{-B(t-M)})^{-1/\nu }\\\\{\frac {\partial Y}{\partial B}}&={\frac {(K-A)(t-M)Qe^{-B(t-M)}}{\nu (1+Qe^{-B(t-M)})^{{\frac {1}{\nu }}+1}}}\\\\{\frac {\partial Y}{\partial \nu }}&={\frac {(K-A)\ln(1+Qe^{-B(t-M)})}{\nu ^{2}(1+Qe^{-B(t-M)})^{\frac {1}{\nu }}}}\\\\{\frac {\partial Y}{\partial Q}}&=-{\frac {(K-A)e^{-B(t-M)}}{\nu (1+Qe^{-B(t-M)})^{{\frac {1}{\nu }}+1}}}\\\\{\frac {\partial Y}{\partial M}}&=-{\frac {(K-A)QBe^{-B(t-M)}}{\nu (1+Qe^{-B(t-M)})^{{\frac {1}{\nu }}+1}}}\\\end{aligned}}}
特別なケース 次の関数はリチャーズ曲線の特殊なケースです。
^ Fekedulegn, Desta; Mairitin P. Mac Siurtain; Jim J. Colbert (1999). 「林業における非線形成長モデルのパラメータ推定」 (PDF) . Silva Fennica . 33 (4): 327–336. doi :10.14214/sf.653. 2011-09-29に オリジナル (PDF)からアーカイブ 。2011-05-31 に取得 。
参考文献 リチャーズ、FJ（1959）。「実験的使用 のための柔軟な成長関数」。 実験植物学ジャーナル 。10 （2）：290-300。doi ：10.1093/ jxb /10.2.290。 Pella, JS; Tomlinson, PK (1969)。「一般化された資源生産モデル」。Bull . Inter-Am. Trop. Tuna Comm . 13 : 421–496。 Lei, YC; Zhang, SY (2004). 「林業におけるベルタランフィ・リチャーズ成長モデルの特徴と偏導関数」. 非線形解析: モデリングと制御 . 9 (1): 65–73. doi :10.15388/NA.2004.9.1.15171. 
