カルツァ＝クライン理論

物理学において、カルツァ＝クライン理論（KK理論）は、一般的な4次元の空間と時間を超えた5次元のアイデアを中心に構築された、重力と電磁気の古典的な統一場理論であり、弦理論の重要な前身であると考えられています。彼らの設定では、真空は通常の3次元の空間と1次元の時間を持ちますが、小さな円の形をしたもう1つの微視的な空間次元があります。グンナー・ノルドストロームは以前に同様のアイデアを持っていました。しかしその場合、ニュートンの重力ポテンシャルを表す5番目の要素が電磁ベクトルポテンシャルに追加され、マクスウェル方程式を5次元で記述しました。^[1]

5次元（5D）理論は3つのステップで発展しました。最初の仮説はテオドール・カルツァによるもので、彼は1919年にその結果をアルバート・アインシュタインに送り^[2]、1921年に出版しました^{[3] 。カルツァは、15の成分からなる計量テンソルを持つ、}一般相対性理論の純粋に古典的な5Dへの拡張を提示しました。10の成分は4D時空計量、4つの成分は電磁ベクトルポテンシャル、1つの成分は「ラジオン」または「ディラトン」と呼ばれる未確認のスカラー場と同一視されています。同様に、5Dアインシュタイン方程式からは、4Dアインシュタイン場方程式、電磁場のマクスウェル方程式、およびスカラー場の方程式が得られます。カルツァはまた、「シリンダー条件」仮説、つまり5次元計量のどの成分も5次元に依存しないという仮説も提唱しました。この制限がなければ、第 5 座標に関する場の導関数を含む項が導入され、この余分な自由度によって、完全に可変の 5D 相対論の数学が非常に複雑になります。標準的な 4D 物理学では、この「円筒条件」と、それに伴うより単純な数学が明らかにされているようです。

1926年、オスカー・クラインは、当時のヴェルナー・ハイゼンベルクとエルヴィン・シュレーディンガーの発見と一致するように、カルツァの古典的な5次元理論に量子的解釈を与えた^{[4] [5]}。クラインは、円筒状態を説明するために、5次元目は丸まって微視的であるという仮説を提唱した。クラインは、追加の5次元目の形状は、半径が10 ⁻³⁰  cm。より正確には、円の半径はプランク長の23倍であり、プランク長は10 ⁻³³  cm。^[5]クラインは、適切に正規化された5D計量を提供することで古典理論にも貢献しました。^{[4]カルツァ場の理論に関する研究は、1930年代に}プリンストン大学のアインシュタインと同僚によって続けられました。

1940年代には、古典理論が完成し、スカラー場を含む完全な場の方程式が3つの独立した研究グループによって得られました。^[6]イヴ・ティリー^{[7] [8] [9] はフランスで}アンドレ・リヒネロヴィッチの指導の下で博士論文に取り組んでいました。^{[10] [11] [12] [13] [14] は}ドイツでヴォルフガング・パウリとマルクス・フィエルツから批判的な意見を得ていました。^{[15] [16] [17] は}スイスで単独で研究していました。 ジョルダンの研究はブランス・ディッケのスカラー-テンソル理論につながりました。^[18]カール・H・ブランスとロバート・H・ディッケはティリーやシェラーのことを知らなかったようです。円筒条件下の完全なカルーザ方程式は非常に複雑で、ほとんどの英語のレビューや Thiry の英語訳にはいくつかの誤りが含まれています。完全なカルーザ方程式の曲率テンソルは2015 年にテンソル代数ソフトウェアを使用して評価され、 ^[19] JA Ferrari ^{[20]と R. Coquereaux & G. Esposito-Farese [21]}の結果が検証されました。エネルギー・運動量ソース項の 5D 共変形式は LL Williams によって扱われています。^[22]

1921 年の論文^[3]で、カルツァは古典的な 5 次元理論のすべての要素、すなわち計量、場の方程式、運動方程式、応力エネルギーテンソル、および円筒条件を確立しました。自由パラメータがないため、これは一般相対性理論を 5 次元に拡張するだけです。まず、ラテン語のインデックスが 5 次元にまたがる 5 次元計量 の形式を仮定します。また、ギリシャ語のインデックスが通常の 4 つの空間と時間の次元にまたがる 4 次元時空計量 、電磁ベクトルポテンシャルと同一視される 4 次元ベクトル、およびスカラー場 も導入します。次に、5D 計量を分解して、4D 計量が電磁ベクトルポテンシャルによって囲まれ、スカラー場が 5 番目の対角線になるようにします。これは次のように視覚化できます。 ${\displaystyle {\widetilde {g}}_{ab}}$${\displaystyle {g}_{\mu \nu }}$${\displaystyle A^{\mu }}$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\widetilde {g}}_{ab}\equiv {\begin{bmatrix}g_{\mu \nu }+\phi ^{2}A_{\mu }A_{\nu }&\phi ^{2}A_{\mu }\\\phi ^{2}A_{\nu }&\phi ^{2}\end{bmatrix}}.}$

もっと正確に書くと

${\displaystyle {\widetilde {g}}_{\mu \nu }\equiv g_{\mu \nu }+\phi ^{2}A_{\mu }A_{\nu },\qquad {\widetilde {g}}_{5\nu }\equiv {\widetilde {g}}_{\nu 5}\equiv \phi ^{2}A_{\nu },\qquad {\widetilde {g}}_{55}\equiv \phi ^{2},}$

ここで、最初の4つの座標は0、1、2、3でインデックス付けされているが、慣例により インデックスは5番目の座標を示す。関連する逆メトリックは${\displaystyle 5}$

${\displaystyle {\widetilde {g}}^{ab}\equiv {\begin{bmatrix}g^{\mu \nu }&-A^{\mu }\\-A^{\nu }&g_{\alpha \beta }A^{\alpha }A^{\beta }+{\frac {1}{\phi ^{2}}}\end{bmatrix}}.}$

この分解は非常に一般的で、すべての項は無次元です。次に、カルツァは標準的な一般相対性理論の仕組みをこの測定基準に適用します。場の方程式は 5 次元のアインシュタイン方程式から得られ、運動方程式は 5 次元の測地線仮説から得られます。結果として得られる場の方程式は、一般相対性理論と電気力学の両方の方程式を提供します。運動方程式は 4 次元の測地線方程式とローレンツ力の法則を提供し、電荷は 5 次元の運動と同一視されることがわかります。

計量の仮説は不変の5次元の長さ要素を意味する。 ${\displaystyle ds}$

${\displaystyle ds^{2}\equiv {\widetilde {g}}_{ab}\,dx^{a}\,dx^{b}=g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }+\phi ^{2}(A_{\nu }\,dx^{\nu }+dx^{5})^{2}.}$

5次元理論の場の方程式は、カルツァやクラインによって適切に提供されることはなかった。なぜなら、彼らはスカラー場を無視していたからである。カルツァの完全な場の方程式は、真空場の方程式を得たティリー^[8]に帰せられるのが一般的であるが、カルツァ^[3]はもともと彼の理論に応力エネルギーテンソルを提供し、ティリーは彼の学位論文に応力エネルギーテンソルを含めた。しかし、ゴナー^[6]が述べているように、 1940年代以前にはいくつかの独立したグループが場の方程式に取り組んでいた。ティリーは、アップルクイスト、チョドス、フロイントがレビュー本^[23]で英訳を提供したため、最もよく知られているのかもしれない。アップルクイストらは、カルツァの論文の英訳も提供した。ジョーダンの3つの論文（1946年、1947年、1948年）の翻訳は、ResearchGateとAcademia.eduのアーカイブで見つけることができる。^{[10] [11] [13]}スカラー場を含む最初の正しい英語のカルツァ場方程式はウィリアムズによって提供されました。^[19]

5D 場の方程式を得るために、 5D メトリックから5D 接続を計算し、 5D接続から5Dリッチテンソルを計算します。 ${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{bc}^{a}}$${\displaystyle {\widetilde {g}}_{ab}}$ ${\displaystyle {\widetilde {R}}_{ab}}$

Thiry と他の著者による古典的な結果は、円筒条件を前提としています。

${\displaystyle {\frac {\partial {\widetilde {g}}_{ab}}{\partial x^{5}}}=0.}$

この仮定がなければ、場の方程式ははるかに複雑になり、さまざまな新しい場と同一視できる自由度が大幅に増えます。ポール・ウェッソンと同僚は、物質場と同一視できる追加の項を得るために円筒条件の緩和を追求しました^[24] 。カルザ^[3]は、このために手動で応力エネルギーテンソルを挿入しました。

カルツァ仮説の原初版では、その力学を否定するためだけに5次元を持ち出すという反論がなされてきた。しかし、ティリーは^{[6]、ローレンツ力の法則を5次元}測地線で解釈すると、円筒条件に関わらず5次元が強く支持されると主張した。そのため、ほとんどの著者は場の方程式を導く際に円筒条件を採用している。さらに、真空方程式は典型的には、

${\displaystyle {\widetilde {R}}_{ab}=0,}$

どこ

${\displaystyle {\widetilde {R}}_{ab}\equiv \partial _{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ab}^{c}-\partial _{b}{\widetilde {\Gamma }}_{ca}^{c}+{\widetilde {\Gamma }}_{cd}^{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ab}^{d}-{\widetilde {\Gamma }}_{bd}^{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ac}^{d}}$

そして

${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{bc}^{a}\equiv {\frac {1}{2}}{\widetilde {g}}^{ad}(\partial _{b}{\widetilde {g}}_{dc}+\partial _{c}{\widetilde {g}}_{db}-\partial _{d}{\widetilde {g}}_{bc}).}$

^{このようにしてThiry [8]}とJordanのグループ^{[10] [11] [13]}によって得られた真空場方程式は次のようになる。

に対する場の方程式は次のように得られる。 ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\widetilde {R}}_{55}=0\Rightarrow \Box \phi ={\frac {1}{4}}\phi ^{3}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta },}$

ここで、 および は標準的な 4D共変微分です。これは、電磁場がスカラー場のソースであることを示しています。電磁場を制約せずにスカラー場を定数に設定することはできないことに注意してください。Kaluza と Klein による以前の処理では、スカラー場が適切に記述されておらず、スカラー場が一定であると仮定することによって電磁場に暗示される制約が実現されていませんでした。 ${\displaystyle F_{\alpha \beta }\equiv \partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha },}$ ${\displaystyle \Box \equiv g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu },}$${\displaystyle \nabla _{\mu }}$

に対する場の方程式は次のように得られる。 ${\displaystyle A^{\nu }}$

${\displaystyle {\widetilde {R}}_{5\alpha }=0={\frac {1}{2}}g^{\beta \mu }\nabla _{\mu }(\phi ^{3}F_{\alpha \beta }).}$

スカラー場が一定であれば、真空マクスウェル方程式の形をとります。

4次元リッチテンソルの場の方程式は次のように得られる。 ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widetilde {R}}_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}{\widetilde {g}}_{\mu \nu }{\widetilde {R}}&=0\Rightarrow \\R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R&={\frac {1}{2}}\phi ^{2}\left(g^{\alpha \beta }F_{\mu \alpha }F_{\nu \beta }-{\frac {1}{4}}g_{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right)+{\frac {1}{\phi }}(\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\phi -g_{\mu \nu }\Box \phi ),\end{aligned}}}$

ここで、は標準の 4D リッチスカラーです。 ${\displaystyle R}$

この方程式は、「カルツァの奇跡」と呼ばれる注目すべき結果を示しています。つまり、電磁応力エネルギーテンソルの正確な形が、真空からの場という 4D 方程式のソースとして 5D 真空方程式から現れるということです。この関係により、電磁ベクトルポテンシャルと を明確に同一視できます。したがって、場はとなるような変換定数で再スケールする必要があります。 ${\displaystyle A^{\mu }}$${\displaystyle k}$${\displaystyle A^{\mu }\to kA^{\mu }}$

上記の関係から、

${\displaystyle {\frac {k^{2}}{2}}={\frac {8\pi G}{c^{4}}}{\frac {1}{\mu _{0}}}={\frac {2G}{c^{2}}}4\pi \epsilon _{0},}$

ここで、は重力定数、 は自由空間の透磁率です。カルツァ理論では、重力定数は計量における電磁結合定数として理解できます。また、スカラー場には応力エネルギーテンソルがあります。スカラー場は、電磁応力エネルギーと時空曲率の結合を調整するという点で、可変重力定数のように動作します。計量における の符号は、4D 理論との対応により固定され、電磁エネルギー密度は正になります。計量における 5 番目の座標の符号は空間的であるとしばしば想定されます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle \mu _{0}}$${\displaystyle \phi ^{2}}$

物質が存在する場合、5D真空条件は想定できない。実際、カルツァはそれを想定していなかった。全場方程式は5Dアインシュタインテンソルの評価を必要とする。

${\displaystyle {\widetilde {G}}_{ab}\equiv {\widetilde {R}}_{ab}-{\frac {1}{2}}{\widetilde {g}}_{ab}{\widetilde {R}},}$

上記の電磁応力エネルギーテンソルの回復に見られるように、5D曲率テンソルは複雑であり、ほとんどの英語のレビューにはまたはのいずれかに誤りがあり、Thiryの英訳も同様です。^[8]テンソル代数ソフトウェアを使用して評価された、シリンダー条件での5D曲率テンソルの完全なセットについては、 Williams ^{[19]を参照してください。}${\displaystyle {\widetilde {G}}_{ab}}$${\displaystyle {\widetilde {R}}_{ab}}$

運動方程式は5次元測地線仮説^[3]から5次元速度の観点から得られる。 ${\displaystyle {\widetilde {U}}^{a}\equiv dx^{a}/ds}$

${\displaystyle {\widetilde {U}}^{b}{\widetilde {\nabla }}_{b}{\widetilde {U}}^{a}={\frac {d{\widetilde {U}}^{a}}{ds}}+{\widetilde {\Gamma }}_{bc}^{a}{\widetilde {U}}^{b}{\widetilde {U}}^{c}=0.}$

この式はいくつかの方法で書き直すことができ、Kaluza ^[3]、Pauli ^[25]、 Gross & Perry ^[26] 、 Gegenberg & Kunstatter ^[27]、Wesson & Ponce de Leon ^[28]などの著者によってさまざまな形で研究されてきましたが、これを通常の4次元の長さ要素に戻すと有益です。これは、上記の 5次元の長さ要素に関連しています。${\displaystyle c^{2}\,d\tau ^{2}\equiv g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }}$${\displaystyle ds}$

${\displaystyle ds^{2}=c^{2}\,d\tau ^{2}+\phi ^{2}(kA_{\nu }\,dx^{\nu }+dx^{5})^{2}.}$

すると、 4次元速度の時空成分に対して 5次元測地線方程式が次のように書ける^{[29] 。}

${\displaystyle U^{\nu }\equiv {\frac {dx^{\nu }}{d\tau }},}$

${\displaystyle {\frac {dU^{\nu }}{d\tau }}+{\widetilde {\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\mu }U^{\alpha }U^{\beta }+2{\widetilde {\Gamma }}_{5\alpha }^{\mu }U^{\alpha }U^{5}+{\widetilde {\Gamma }}_{55}^{\mu }(U^{5})^{2}+U^{\mu }{\frac {d}{d\tau }}\ln {\frac {c\,d\tau }{ds}}=0.}$

の二次項は、4D測地線方程式といくつかの電磁気学の項を提供します。 ${\displaystyle U^{\nu }}$

${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\mu }=\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }+{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }k^{2}\phi ^{2}(A_{\alpha }F_{\beta \nu }+A_{\beta }F_{\alpha \nu }-A_{\alpha }A_{\beta }\partial _{\nu }\ln \phi ^{2}).}$

の線形項はローレンツ力の法則を与えます: ${\displaystyle U^{\nu }}$

${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{5\alpha }^{\mu }={\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }k\phi ^{2}(F_{\alpha \nu }-A_{\alpha }\partial _{\nu }\ln \phi ^{2}).}$

これは「カルツァの奇跡」の別の表現です。アインシュタイン方程式で電磁応力エネルギーを提供する 5D メトリックの同じ仮説は、4D 測地線方程式とともに運動方程式でローレンツ力の法則も提供します。しかし、ローレンツ力の法則との対応には、5 次元に沿った 5 速度の成分を電荷で識別する必要があります。

${\displaystyle kU^{5}=k{\frac {dx^{5}}{d\tau }}\to {\frac {q}{mc}},}$

ここで、は粒子の質量、 は粒子の電荷です。したがって、電荷は 5 次元に沿った運動として理解されます。ローレンツ力の法則が 5 次元の測地線として理解できるという事実は、美的に好ましくない円筒条件が存在する場合でも、カルツァにとって 5 次元仮説を検討する主な動機でした。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle q}$

しかし、問題があります。 の項は2次式です。 ${\displaystyle U^{5}}$

${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{55}^{\mu }=-{\frac {1}{2}}g^{\mu \alpha }\partial _{\alpha }\phi ^{2}.}$

スカラー場に勾配がない場合、2次項は消える。しかし、それ以外の場合は、上記の式は ${\displaystyle U^{5}}$

${\displaystyle U^{5}\sim c{\frac {q/m}{G^{1/2}}}.}$

素粒子の場合、。経験とは矛盾するかもしれないが、 の二次項が方程式を支配するはずである。これはカルツァが見た5次元理論の主な欠点であり、^[3]彼は元の論文でこれについて議論している。^{[説明が必要]}${\displaystyle U^{5}>10^{20}c}$${\displaystyle U^{5}}$

の運動方程式は、円筒条件下では特に単純です。共変 5 速度について書かれた測地線方程式の別の形式から始めます。 ${\displaystyle U^{5}}$

${\displaystyle {\frac {d{\widetilde {U}}_{a}}{ds}}={\frac {1}{2}}{\widetilde {U}}^{b}{\widetilde {U}}^{c}{\frac {\partial {\widetilde {g}}_{bc}}{\partial x^{a}}}.}$

これは、円筒条件下では、5次元運動の定数であることを意味します。 ${\displaystyle {\widetilde {U}}_{5}}$

${\displaystyle {\widetilde {U}}_{5}={\widetilde {g}}_{5a}{\widetilde {U}}^{a}=\phi ^{2}{\frac {c\,d\tau }{ds}}(kA_{\nu }U^{\nu }+U^{5})={\text{constant}}.}$

カルツァは^[3]の形の 5次元物質応力テンソルを提案した。 ${\displaystyle {\widetilde {T}}_{M}^{ab}}$

${\displaystyle {\widetilde {T}}_{M}^{ab}=\rho {\frac {dx^{a}}{ds}}{\frac {dx^{b}}{ds}},}$

ここで、は密度であり、長さ要素は上で定義されたとおりです。 ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle ds}$

次に、時空成分は典型的な「ダスト」応力エネルギーテンソルを与えます。

${\displaystyle {\widetilde {T}}_{M}^{\mu \nu }=\rho {\frac {dx^{\mu }}{ds}}{\frac {dx^{\nu }}{ds}}.}$

混合コンポーネントは、マクスウェル方程式の 4 つの電流源を提供します。

${\displaystyle {\widetilde {T}}_{M}^{5\mu }=\rho {\frac {dx^{\mu }}{ds}}{\frac {dx^{5}}{ds}}=\rho U^{\mu }{\frac {q}{kmc}}.}$

5 次元メトリックが電磁ベクトルポテンシャルによって囲まれた 4 次元メトリックを構成するのと同様に、5 次元応力エネルギー テンソルはベクトル 4 電流によって囲まれた 4 次元応力エネルギー テンソルを構成します。

カルツァの当初の仮説は純粋に古典的で、一般相対性理論の発見を拡張したものだった。クラインの貢献の頃には、ハイゼンベルク、シュレーディンガー、ルイ・ド・ブロイの発見が大きな注目を集めていた。クラインのネイチャー誌の記事^[5]は、5 次元目は閉じていて周期的であり、5 次元目での電荷と運動の同一視は、ボーアの原子模型における原子核の周りの電子のように、波長 の定在波として解釈できると示唆した。すると、電荷の量子化は、5 次元の運動量の整数倍でうまく理解できる。電荷 に関するカルツァの以前の結果と、運動量 に関するド・ブロイの関係を組み合わせて、クラインは^[5]このような波の 0 次モードの式を得た。 ${\displaystyle \lambda ^{5}}$${\displaystyle U^{5}}$${\displaystyle p^{5}=h/\lambda ^{5}}$

${\displaystyle mU^{5}={\frac {cq}{G^{1/2}}}={\frac {h}{\lambda ^{5}}}\quad \Rightarrow \quad \lambda ^{5}\sim {\frac {hG^{1/2}}{cq}},}$

ここで、プランク定数です。クラインは cm を発見し、それによってこの小さな値における円筒条件を説明できました。 ${\displaystyle h}$${\displaystyle \lambda ^{5}\sim 10^{-30}}$

同じ年のクラインのZeitschrift für Physik^の記事[4]では、シュレーディンガーとド・ブロイの手法を明示的に引用したより詳細な説明が行われました。それは、上で説明したカルツァの古典的な理論の多くを要約し、その後クラインの量子解釈へと進みました。クラインは、閉じたコンパクトな第 5 次元で共鳴する第 5 次元の波動による展開を使用して、シュレーディンガーのような波動方程式を解きました。

1926 年、オスカー・クラインは、4 番目の空間次元が非常に小さな半径の円に丸まっており、その軸に沿って短い距離を移動する粒子は開始した場所に戻ると提案しました。粒子が最初の位置に到達するまでに移動できる距離は、次元のサイズと呼ばれます。この余分な次元はコンパクト セットであり、このコンパクト次元の構築はコンパクト化と呼ばれます。

現代幾何学では、追加の 5 次元は円群 U(1)であると理解できます。これは、電磁気学が本質的にゲージ群U(1)を持つファイバー束、円束上のゲージ理論として定式化できるためです。カルツァ-クラインの理論では、この群はゲージ対称性が円形コンパクト次元の対称性であることを示唆しています。この幾何学的解釈が理解されると、 U(1) を一般的なリー群に置き換えることは比較的簡単です。このような一般化は、しばしばヤン-ミルズ理論と呼ばれます。区別するとすれば、ヤン-ミルズ理論は平坦な時空で発生するのに対し、カルツァ-クラインはより一般的な曲がった時空の場合を扱うという点です。カルツァ-クライン理論の基本空間は 4 次元時空である必要はなく、任意の (擬似)リーマン多様体、超対称多様体やオービフォールド、さらには非可換空間でもかまいません。

構築は、大まかに次のように概説できる。^[30]まず、多様体M上のゲージ群Gを持つ主ファイバー束 Pを考える。束上の接続、基本多様体上の計量、各ファイバーの接線上のゲージ不変計量が与えられると、束全体に対して定義される束計量を構築できる。この束計量のスカラー曲率を計算すると、各ファイバー上で一定であることがわかる。これが「カルツァの奇跡」である。明示的に円筒条件を課したり、コンパクト化したりする必要はなかった。仮定により、ゲージ群はすでにコンパクトである。次に、このスカラー曲率をラグランジアン密度として取り、これから束全体に対するアインシュタイン・ヒルベルト作用を構築する。運動方程式、オイラー・ラグランジュ方程式は、作用が基本多様体上の計量またはゲージ接続のいずれかの変化に対して定常である場所を考えることによって得られます。基本計量に関する変化は、エネルギー運動量テンソルがゲージ接続の曲率（場の強さ）によって与えられる、基本多様体上のアインシュタイン場の方程式を与えます。逆に、ゲージ接続がヤン・ミルズ方程式を解くとき、作用はゲージ接続の変化に対して定常です。したがって、最小作用の原理という単一のアイデアを、バンドル（全体として）上のスカラー曲率という単一の量に適用することで、時空とゲージ場の両方について、必要な場の方程式をすべて同時に得ることができます。

力の統一へのアプローチとして、標準モデルの対称群SU(3) × SU(2) × U( 1)を使用して重力を強い力および電弱力と統一しようとする試みでカルツァ-クラインの理論を適用するのは簡単です。しかし、この興味深い幾何学的構成を現実の真のモデルに変換する試みは、フェルミオンを人工的に導入する必要があるという事実（非超対称モデルの場合）を含むいくつかの問題で行き詰まっています。それでも、KK は理論物理学の重要な試金石であり、より洗練された理論に組み込まれることがよくあります。K理論では、幾何学的な関心の対象としてそれ自体が研究されています。

完全に満足のいく理論物理学の枠組みがない場合でも、余分なコンパクト化された次元を探索するというアイデアは、実験物理学や天体物理学のコミュニティでかなりの関心を集めています。実際の実験結果を伴うさまざまな予測を行うことができます (大きな余剰次元とワープモデルの場合)。たとえば、最も単純な原理では、余分なコンパクト化された次元に定在波があると予想されます。空間的な余剰次元が半径Rである場合、そのような定在波の不変 質量はM _n = nh / Rcになります。ここで、 n は整数、hはプランク定数、c は光速です。この可能な質量値の集合は、しばしばカルツァ-クラインの塔と呼ばれます。同様に、熱量子場理論では、ユークリッド時間次元のコンパクト化により松原周波数が得られ、したがって離散化された熱エネルギースペクトルが得られます。

しかし、クラインの量子論へのアプローチには欠陥があり^[要出典]、例えば、計算された電子質量はプランク質量と同程度の大きさになる^[31]。

実験的追求の例としては、 CDFコラボレーションによる研究が挙げられ、このコラボレーションでは、大きな余剰次元/歪んだモデルに関連する効果の特徴を調べるために、粒子加速器のデータを再分析しました。^{[引用が必要]}

ロバート・ブランデンバーガーとカムラン・ヴァファは、初期宇宙では宇宙のインフレーションによって空間の 3 つの次元が宇宙論的サイズにまで拡大したが、空間の残りの次元は微視的のままであったと推測している。^{[引用が必要]}

カルツァ＝クラインの理論の特定の変種として、時空物質理論または誘導物質理論があり、主にポール・ウェッソンと時空物質コンソーシアムの他のメンバーによって広められました。^[32]このバージョンの理論では、方程式の解が

${\displaystyle {\widetilde {R}}_{ab}=0}$

4次元ではこれらの解はアインシュタインの方程式を満たすように再表現できる。

${\displaystyle G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }\,}$

T _μνの正確な形は、 5 次元空間のリッチ平坦条件から得られます。言い換えれば、以前の展開の円筒条件は削除され、応力エネルギーは 5 番目の座標に関する 5D メトリックの導関数から得られるようになりました。エネルギー運動量テンソルは通常、4 次元空間の物質の集中によるものと理解されているため、上記の結果は、4 次元物質は 5 次元空間の幾何学から誘導されるという意味に解釈されます。

特に、のソリトン解は、放射線優勢型（初期宇宙）と物質優勢型（後期宇宙）の両方の形式でフリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量を含むことが示されます。一般的な方程式は、一般相対性理論の古典的なテストと十分に一致し、物理原理で受け入れられることが示されますが、興味深い宇宙論モデルを提供するためのかなりの自由も残されています。 ${\displaystyle {\widetilde {R}}_{ab}=0}$

カルツァ＝クラインの理論は、幾何学的に見ると特に優雅に表現されています。ある意味では、 4次元ではなく5次元で表現されている点を除けば、自由空間における通常の重力とまったく同じように見えます。

自由空間における通常の重力を支配する方程式は、変分原理をある作用に適用することによって、作用から得ることができる。Mを（擬似）リーマン多様体とし、一般相対論の時空としてとらえることができる。gをこの多様体上の計量とすると、作用S ( g ) は次のように 定義される。

${\displaystyle S(g)=\int _{M}R(g)\operatorname {vol} (g),}$

ここでR ( g )はスカラー曲率、vol( g )は体積要素である。変分原理を作用に 適用すると、

${\displaystyle {\frac {\delta S(g)}{\delta g}}=0,}$

自由空間に対する アインシュタイン方程式を正確に得ることができます。

${\displaystyle R_{ij}-{\frac {1}{2}}g_{ij}R=0,}$

ここで、R _{ij は}リッチテンソルです。

対照的に、電磁気学を記述するマクスウェル方程式は、主U(1)束またはファイバーU(1)を持つ円束のホッジ方程式として理解することができる。つまり、電磁場は多様体上の微分可能な2次元形式の空間における調和2次元形式である。電荷と電流がない場合、自由場マクスウェル方程式は ${\displaystyle \pi :P\to M}$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle \Omega ^{2}(M)}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle \mathrm {d} F=0\quad {\text{and}}\quad \mathrm {d} {\star }F=0.}$

ここでホッジスター演算子です。 ${\displaystyle \star }$

カルツァ＝クライン理論を構築するには、電磁気学の U(1) バンドルのファイバーである円上の不変計量を選択します。この議論では、不変計量とは、円の回転に対して不変である計量です。この計量が円の全長 を与えると仮定します。次に、ファイバー計量と基礎となる多様体 の計量の両方と一致するバンドル上の計量を検討します。一貫性の条件は次のとおりです。 ${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle {\widehat {g}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle M}$

• の垂直部分空間への射影は、多様体 内の点上のファイバー上の計量と一致する必要があります。${\displaystyle {\widehat {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Vert} _{p}P\subset T_{p}P}$${\displaystyle M}$
• 点 における接空間の水平部分空間への の射影は、における上の計量と同型でなければならない。${\displaystyle {\widehat {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Hor} _{p}P\subset T_{p}P}$${\displaystyle p\in P}$${\displaystyle g}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \pi (P)}$

このような計量に対するカルツァ・クライン作用は次のように与えられる。

${\displaystyle S({\widehat {g}})=\int _{P}R({\widehat {g}})\operatorname {vol} ({\widehat {g}}).}$

スカラー曲率は成分で表すと次のように展開される。

${\displaystyle R({\widehat {g}})=\pi ^{*}\left(R(g)-{\frac {\Lambda ^{2}}{2}}|F|^{2}\right),}$

ここで、は繊維束投影の引き戻しである。繊維束上の接続は、電磁場の強度と次のように関係している。 ${\displaystyle \pi ^{*}}$${\displaystyle \pi :P\to M}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \pi ^{*}F=dA.}$

任意の複雑な位相を持つファイバー束であっても、そのような接続が常に存在するということは、ホモロジー、特にK理論の結果である。フビニの定理を適用してファイバー上で積分すると、次の式が得られる。

${\displaystyle S({\widehat {g}})=\Lambda \int _{M}\left(R(g)-{\frac {1}{\Lambda ^{2}}}|F|^{2}\right)\operatorname {vol} (g).}$

成分 に関して作用を変化させると、マクスウェル方程式が再び得られる。変分原理を基本計量 に適用すると、アインシュタイン方程式が得られる。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle R_{ij}-{\frac {1}{2}}g_{ij}R={\frac {1}{\Lambda ^{2}}}T_{ij}}$

応力エネルギーテンソルは次のように表される。

${\displaystyle T^{ij}=F^{ik}F^{jl}g_{kl}-{\frac {1}{4}}g^{ij}|F|^{2},}$

マクスウェル応力テンソルと呼ばれることもあります。

元の理論はファイバーメトリックと同一視され、ファイバーごとに変化することを許容します。この場合、重力と電磁場の結合は一定ではなく、独自の動的場、つまり放射子を持ちます。 ${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle g_{55}}$${\displaystyle \Lambda }$

上記において、ループの大きさは重力場と電磁場の間の結合定数として作用する。基本多様体が4次元の場合、カルツァ・クライン多様体Pは5次元である。5番目の次元はコンパクト空間であり、コンパクト次元と呼ばれる。コンパクト次元を導入して高次元多様体を得る手法は、コンパクト化と呼ばれる。コンパクト化は、非常に特殊な場合を除いて、カイラルフェルミオンに対する群作用を生成しない。つまり、全空間の次元は2 mod 8でなければならず、コンパクト空間のディラック演算子のG指数はゼロでなければならない。^[33]${\displaystyle \Lambda }$

上記の展開は、 U(1)の代わりとなる任意のリー群Gの一般主G束に、多かれ少なかれ直接的に一般化される。このような場合、理論はしばしばヤン・ミルズ理論と呼ばれ、同義語とみなされることもある。基礎となる多様体が超対称である場合、結果として得られる理論は超対称ヤン・ミルズ理論である。

実験的または観測的な余剰次元の兆候は公式には報告されていない。カルツァ・クライン共鳴を検出するための多くの理論的探索技術は、そのような共鳴とトップクォークの質量結合を使用して提案されている。2010年12月のLHCの結果の分析は、大きな余剰次元を持つ理論に厳しい制約を与えた。^[34]

LHC でのヒッグス粒子のような粒子の観測は、カルツァ・クライン共鳴や超対称粒子の探索に適用できる新しい実験的テストを確立する。ヒッグス相互作用に存在するループファインマン図では、電荷と質量を持つあらゆる粒子がこのようなループ内を移動できる。トップ クォークとW 粒子以外の標準モデルの粒子は、 H → γγ崩壊で観測される断面積に大きく寄与しないが、標準モデルを超える新しい粒子が存在する場合、標準モデルで予測されるH → γγ断面積と実験で観測された断面積の比率が変化する可能性がある。したがって、標準モデルで予測されるH → γγ断面積の劇的な変化を測定することは、標準モデルを超えた物理を探る上で極めて重要である。

2018年7月の論文^[35]はこの理論にいくらかの希望を与えている。その論文では、重力がブレーン理論のように高次元に漏れているかどうかに異議を唱えている。しかし、その論文は電磁気と重力が同じ次元数を共有していることを示しており、この事実はカルツァ＝クラインの理論を支持するものである。次元数が本当に3 + 1なのか、実際には4 + 1なのかは、さらなる議論の対象となっている。

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• 控訴官、トーマス。チョドス、アラン。フロイント、ピーター・ゴー (1987)。現代のカルーザ・クライン理論。カリフォルニア州メンローパーク: アディソン - ウェスリー。ISBN 978-0-201-09829-7。 （上記の論文の他、カルツァ＝クライン理論に関連するその他の重要な論文の再版も含まれています。）
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• ジョン・M・ピエール『SUPERSTRINGS! Extra Dimensions』(2003年)。
• クリス・ポープ、「カルツァ＝クラインの理論に関する講義」。
• エドワード・ウィッテン (2014)。「アインシュタイン、ベルクマン、そして第五次元についての覚書」arXiv :1401.8048