テレパラレリズム

テレパラレリズム（テレパラレル重力とも呼ばれる）は、絶対的またはテレパラレリズムとも呼ばれる遠隔平行性の数学的構造に基づいて電磁気学と重力の統一理論を構築しようとしたアルバート・アインシュタイン^{[ 1]の試みである。この理論では、}時空は、動的テトラッド場によって定義される、計量テンソル場と連動した曲率のない線形接続によって特徴付けられる。

アインシュタインにとって決定的に重要な新しいアイデアは、テトラッド場、すなわちM全体上で定義される4 つのベクトル場の集合{X ₁、 X ₂、 X ₃、 X ₄ }の導入であった。この集合は、すべての p ∈ M に対して、集合{ X 1 ( p ₎、X 2 ₍ p )、 X ₃ ( p )、 X ₄ ( p )}がT _p Mの基底となるようなものである。ここで、T _p M は接ベクトル束TMのp上のファイバーを表す。したがって、4 次元時空多様体M は平行化可能な多様体でなければならない。テトラッド場は、多様体の異なる点における接ベクトルの方向を遠隔比較できるようにするために導入されたため、遠隔平行性と呼ばれる。彼の試みは、簡略化された場の方程式にシュワルツシルト解が存在しなかったために失敗した。

実際、平行化の接続（ワイツェンベック接続とも呼ばれる）{X _i }をM上の線型接続 ∇として定義することができ、^[2]

$${\displaystyle \nabla_{v}\left(f^{i}\mathrm {X}_{i}\right)=\left(vf^{i}\right)\mathrm {X}_{i}(p),}$$

ここで、v ∈ T _p Mおよびf ⁱはM上の（グローバル）関数です。したがって、 f ⁱ X _iはM上のグローバルベクトル場です。言い換えると、ワイツェンベック接続 ∇の{X _i }に関する係数はすべてゼロであり、次のように暗黙的に定義されます。

$${\displaystyle \nabla _{\mathrm {X} _{i}}\mathrm {X} _{j}=0,}$$

したがって

$${\displaystyle {W^{k}}_{ij}=\omega ^{k}\left(\nabla _{\mathrm {X} _{i}}\mathrm {X} _{j}\right) \相当0,}$$

この大域基底における接続係数（ワイツェンベック係数とも呼ばれる）について。ここでω ^kはω ⁱ (X _j ) = δで定義される双対大域基底（またはコフレーム）である。^私
_は。

これは、 R ⁿ、任意のアフィン空間、またはリー群（たとえば、「曲がった」球面S ³だが「ヴァイツェンベック平坦」な多様体）で通常起こることです。

接続の変換法則、または同等の∇プロパティを使用すると、次の結果が得られます。

命題。局所座標( U , x ^μ )に関連付けられた自然な基底、つまりホロノミックフレーム∂ _μでは、ワイツェンベック接続の (局所) 接続係数は次のように与えられます。

$${\displaystyle {\Gamma ^{\beta }}_{\mu \nu }=h_{i}^{\beta }\partial _{\nu }h_{\mu }^{i},}$$

ここで、X _i = h^μ
_i∂ _μ（i、μ = 1、2、… n）は、グローバルオブジェクト、つまり指定された四面体のローカル表現です。

ヴァイツェンベック接続では曲率はゼロですが、一般にねじれはゼロではありません。

フレーム体{X _i }が与えられた場合、フレーム体を正規直交ベクトル場として考えることで計量を定義することもできる。すると、シグネチャ(3,1) の擬リーマン 計量テンソル体gが得られる。

$${\displaystyle g\left(\mathrm {X} _{i},\mathrm {X} _{j}\right)=\eta _{ij},}$$

どこ

$${\displaystyle \eta _{ij}=\operatorname {diag} (-1,-1,-1,1).}$$

この場合、対応する基礎となる時空はヴァイツェンベック時空と呼ばれます。^[3]

これらの「平行ベクトル場」が副産物として計量テンソルを生み出すことは注目に値します。

新しいテレパラレル重力理論（または新しい一般相対性理論）は、ヴァイツェンベック時空上の重力理論であり、重力を平行ベクトル場から形成されるねじれテンソルに帰属させます。

新しいテレパラレル重力理論における基本的な仮定は次のとおりです。

1961年にクリスチャン・モラー^[4]がアインシュタインのアイデアを復活させ、ペレグリーニとプレバンスキー^[5]が絶対平行性のラグランジアン定式化を発見した。

1961年、モラー^{[4] [6]は}、重力場の四重項記述により、計量テンソルのみに基づく理論よりもエネルギー運動量複合体をより合理的に扱うことができることを示した。四重項を重力変数として使用する利点は、これにより、純粋に計量的な定式化よりも満足のいく変換特性を持つエネルギー運動量複合体の表現を構築できるという事実と関連していた。2015年には、物質と重力の全エネルギーは、摂動の線形順序まで3次元空間のリッチスカラーに比例することが示された。 ^[7]

1967年に林と中野^[8]は独立にアインシュタインのアイデアを復活させ、ペレグリーニとプレバンスキー^[5]は時空並進群のゲージ理論の定式化に着手した。^[要説明]林は時空並進群のゲージ理論と絶対平行性の関係を指摘した。最初のファイバー束の定式化はチョーによって提供された。^[9]このモデルは後にシュバイツァーら^[10] 、ニッチュとヘル、マイヤーによって研究された。^[要出典]より最近の進歩はアルドロヴァンディとペレイラ、グロンワルド、イティン、マルフとダ・ロチャ・ネト、ミュンヒ、オブホフとペレイラ、シュッキングとスロウィッツに見ることができる。^[要出典]

現在、テレパラレリズムは、電磁気学との統合を試みることなく、純粋に重力理論として研究されている^{[11] 。この理論では、}重力場は、並進群の ゲージ理論の場合と同様に、並進ゲージポテンシャル B ^a _{μによって完全に表されることが判明している。}

この選択が行われた場合、内部ミンコフスキー空間ファイバー(時空多様体の各点上)は、アーベル群R ⁴を構造群とするファイバー束に属するため、ローレンツ ゲージ対称性はなくなります。ただし、次のようにして並進ゲージ対称性を導入できます。四元体を基本的なものとして見る代わりに、接続Bとミンコフスキー空間ファイバー内の値を取る「座標場」xを持つ基本的なR ⁴並進ゲージ対称性 (これは内部ミンコフスキー空間ファイバーにアフィン的に作用し、このファイバーは再びローカルになります) を導入します。

より正確には、π  : M → Mを時空多様体M上のミンコフスキー ファイバー束とします。各点p ∈ Mに対して、ファイバーM _pはアフィン空間です。ファイバーチャート( V , ψ )では、座標は通常ψ = ( x ^μ , x ^a )で表されます。ここで、x ^μは時空多様体M上の座標、x ^{a は}ファイバーM _p内の座標です。

抽象指数表記法を用いて、a、b、c、…がM _pを参照し、μ、ν、…が接束 TMを参照するとします。任意の特定のゲージにおいて、点pにおけるx ^aの値は、断面

$${\displaystyle x^{\mu }\to \left(x^{\mu },x^{a}=\xi ^{a}(p)\right).}$$

共変微分

$${\displaystyle D_{\mu}\xi^{a}\equiv \left(d\xi^{a}\right)_{\mu}+{B^{a}}_{\mu}=\partial _{\mu}\xi^{a}+{B^{a}}_{\mu}}$$

は、並進アーベル群R ⁴のリー代数における値を仮定する 1 形式である接続形式 Bに関して定義されます。ここで、 d はスカラー場であるxのa番目の成分の外微分です(したがって、これは純粋な抽象インデックス表記ではありません)。並進場α ^aによるゲージ変換の下では、

$${\displaystyle x^{a}\to x^{a}+\alpha ^{a}}$$

そして

$${\displaystyle {B^{a}}_{\mu }\to {B^{a}}_{\mu }-\partial _{\mu }\alpha ^{a}}$$

そして、x ^a = ξ ^a ( p )の共変微分はゲージ不変である。これは並進（共）四面体と同一視される。

$${\displaystyle {h^{a}}_{\mu }=\partial _{\mu }\xi ^{a}+{B^{a}}_{\mu }}$$

これは、並進アーベル群R ⁴のリー代数で値をとる1形式であり、したがってゲージ不変である。^[12]しかし、これは何を意味するのだろうか？x ^a = ξ ^a ( p ) は、 （純粋な並進）アフィン内部バンドルM → Mの局所切断であり、並進ゲージ場B ^a _μに加えてもう1つの重要な構造である。幾何学的には、このフィールドはアフィン空間の原点を決定するため、カルタンの動径ベクトルとして知られている。ゲージ理論の枠組みでは、1形式

$${\displaystyle h^{a}={h^{a}}_{\mu }dx^{\mu }=\left(\partial _{\mu }\xi ^{a}+{B^{a}}_{\mu }\right)dx^{\mu }}$$

ξ ^{a が}並進対称性の自発的破れを記述する ゴールドストーン場として解釈される非線形並進ゲージ場として生じる。

大まかな類推: M _pをコンピュータ画面、内部変位をマウス ポインターの位置と考えてください。湾曲したマウスパッドを時空、マウスの位置を位置と考えてください。マウスの向きを固定したまま、湾曲したマウスパッド上でマウスを動かすと、マウス ポインターの位置 (内部変位) も変化します。この変化はパスに依存します。つまり、マウスの初期位置と最終位置だけに依存するわけではありません。マウスパッド上の閉じたパス上でマウスを動かすときに生じる内部変位の変化がねじれです。

もう一つの大まかな例え:線欠陥(刃状転位とらせん転位、回位は含まない)のある結晶を考えてみましょう。パスに沿ったMの点の平行移動は、横断する結晶結合の数 (上/下、前/後、左/右) を数えることで求められます。バーガース ベクトルはねじれに対応します。回位は曲率に対応するため、無視されます。

ねじれ、つまりテレパラレル重力の並進場の強度（または並進「曲率」）は、

$${\displaystyle {T^{a}}_{\mu \nu }\equiv \left(DB^{a}\right)_{\mu \nu }=D_{\mu }{B^{a}}_{\nu }-D_{\nu }{B^{a}}_{\mu },}$$

ゲージ不変です。

M _{p は}アフィン空間でありファイバーでもあるが、 x ^{a が}どこでもゼロであるゲージを常に選択することができる。したがって、原点は点ごとに定義される必要があり、これは任意に行うことができる。これにより、四面体が基本となる理論に戻ることができる。

テレパラレリズムとは、この枠組みに基づくあらゆる重力理論を指す。一般相対性理論と全く等価となる作用の特定の選択があるが^{[9] 、一般相対性理論と等価ではない作用の他の選択もある。これらの理論のいくつかでは、}慣性質量と重力質量の間に等価性はない。^[13]

一般相対性理論とは異なり、重力は時空の曲率ではなく、時空のねじれによって生じます。

時空の幾何学と結晶の欠陥構造には密接な類似点がある。 ^{[14] [15]} 転位はねじれで、回位は曲率で表わされる。これらの欠陥は互いに独立しているわけではない。転位は回位と反回位のペアに相当し、回位は転位の列に相当する。これが、純粋に曲率に基づいたアインシュタインの理論が、ねじれだけに基づいたテレパラレル理論として書き直せる基本的な理由である。さらに、曲率のどの程度をねじれで再表現したいかによって、アインシュタインの理論を書き直す方法は無限に存在する。テレパラレル理論は、これらのうちの1つの特定のバージョンにすぎない。^[16]

テレパラレリズムのさらなる応用は量子場の理論、すなわち単純な幾何多様体上のターゲット空間を持つ2次元非線形シグマモデルで発生し、その繰り込み挙動はねじれを含むリッチフローによって制御されます。このねじれはリッチテンソルを修正し、テレパラレリズム（「ジオメトロスタシス」）のために結合の赤外線固定点につながります。 ^[17]

• 重力の古典理論
• ゲージ重力理論
• カルツァ＝クライン理論
• ジオメトロダイナミクス

• アルドロヴァンディ、R.ペレイラ、JG (2012)。テレパラレル重力: はじめに。スプリンガー: ドルドレヒト。ISBN 978-94-007-5142-2。
• ビショップ, RL ; ゴールドバーグ, SI (1968).多様体上のテンソル解析(First Dover 1980 ed.). マクミラン. ISBN 978-0-486-64039-6。
• ヴァイツェンベック、R. (1923)。不変性理論。フローニンゲン: ノールトホフ。

• テレパラレリズムに関する選集、DHデルフェニッチによる翻訳・編集
• nラボのテレパラレル重力
• テレパラレル構造と重力理論（ルカ・ボンベッリ著）