ダストソリューション

一般相対性理論では、ダスト解は流体解であり、アインシュタイン場の方程式の厳密解の一種であり、重力場は、質量密度が正で圧力がゼロである完全流体の質量、運動量、応力密度によってのみ生成される。ダスト解は、一般相対性理論における 流体解の重要な特殊なケースである。

完全で圧力のない流体は、局所的に協調して動き、重力によってのみ相互作用するダスト粒子の構成のモデルとして解釈することができ、これが名前の由来です。このため、ダストモデルは宇宙論においておもちゃの宇宙のモデルとしてよく使用され、その中でダスト粒子は銀河、銀河団、または超銀河団の高度に理想化されたモデルであると考えられています。天体物理学では、ダストモデルは重力崩壊のモデルとして使用されてきました。ダスト解は、ダスト粒子の有限の回転ディスクをモデル化するためにも使用できます。いくつかの例を以下に挙げます。真空に囲まれた流体の球で構成される恒星モデルに何らかの方法で重ね合わせれば、ダスト解を使用して巨大な物体の周りの降着円盤をモデル化できますが、回転する降着円盤をモデル化する正確な解は、それらを構築することが数学的に極めて難しいため、まだ知られていません。

相対論的無圧力流体の 応力エネルギーテンソルは、次のような単純な形で表すことができる。

${\displaystyle T^{\mu \nu }=\rho _{0}U^{\mu }U^{\nu }.}$

ここで、ダスト粒子の世界線は4元速度 の積分曲線であり、ダストの静止系における物質密度はスカラー関数によって与えられる。 ${\displaystyle U^{\mu }}$${\displaystyle \rho _{0}}$

応力エネルギーテンソルは階数1の行列なので、簡単な計算で特性多項式が

${\displaystyle \chi (\lambda )=\lambda ^{4}+a_{3}\,\lambda ^{3}+a_{2}\,\lambda ^{2}+a_{1}\,\lambda +a_{0}}$

塵溶液中のアインシュタインテンソルは次のような形になる。

${\displaystyle \chi (\lambda )=\left(\lambda -8\pi \mu \right)\,\lambda ^{3}}$

この積を掛け合わせると、係数は次の 3 つの代数的に独立した(かつ不変の) 条件を満たす必要があることがわかります。

${\displaystyle a_{0}\,=a_{1}=a_{2}=0}$

ニュートンの恒等式を、根の累乗の合計（固有値）の観点から 使用すると、これはアインシュタインテンソル自体の累乗のトレースでもあるため、これらの条件は次のようになります。

${\displaystyle t_{2}=t_{1}^{2},\;\;t_{3}=t_{1}^{3},\;\;t_{4}=t_{1}^{4}}$

テンソル指数表記では、これはリッチスカラーを使用して次のように記述できます。

${\displaystyle {G^{a}}_{a}=-R}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{a}=R^{2}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{a}=-R^{3}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{d}\,{G^{d}}_{a}=R^{4}}$

この固有値基準は、一般相対論では、ダスト解として解釈できる ロレンツ多様体は非常に少ないことを示しているため、ダスト解の探索に役立つ場合があります。

ヌルダスト解は、アインシュタインテンソルがヌルであるダスト解です。^{[さらなる説明が必要]}

ビアンキダストモデルは、キリングベクトル場のリー代数のさまざまな^{[どの? ]}タイプを示します。

特殊なケースとしては、FLRW と Kasner ダストがあります。^{[さらなる説明が必要]}

カスナーダストは、異方性膨張を示す最も単純な宇宙モデルです。^{[誰によると? ] [さらなる説明が必要]}

フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー（FLRW）ダストは均質かつ等方性です。これらの解は、しばしば物質優位のFLRW モデルと呼ばれます。

ファン・シュトックム塵は円筒対称の回転塵です。

ノイゲバウアー・マイネルのダストは、軸対称の真空外部に適合したダストの回転円盤をモデル化します。この解は、[^{誰によると? ]}カー真空以来発見された最も注目すべき厳密解と呼ばれています。

注目すべき個別のダストソリューションは次のとおりです。

• ルメートル・トルマン・ボンディ（LTB）ダスト（最も単純な不均質宇宙モデルの一つで、重力崩壊のモデルとしてよく用いられる）
• カントフスキー・サックスダスト（FLRWモデルからの摂動を示す宇宙論モデル）
• ゲーデル計量

• ローレンツ群

• シュッツ、バーナード F. (2009)、「4. 特殊相対論における完全流体」、一般相対論入門(第 2 版)、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-88705-2
• ステファニー、H.クレイマー、D.マッカラム、M.ヘネセラース、C.ヘルト、E. (2003)。アインシュタインの場方程式の正確な解 (第 2 版)。ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-46136-7。 正確なダストソリューションの例を多数示します。