ヨシムラバックリング

座屈パターンの適合条件は次のように与えられる。

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(2{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial \theta }}-{\frac {\partial ^{2}E}{\partial \theta ^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}G}{\partial x^{2}}}\right)=LN-M^{2}=KH}$

${\displaystyle H^{2}=EG-F^{2}}$

どこ${\displaystyle E,F,G}$そして${\displaystyle L,M,N}$これらはそれぞれ、たわみ面の第１および第２の基本形式を表す。 ^{[ 4 ]}${\displaystyle K}$これはガウス曲率を表し、次のように表されます。

${\displaystyle K={\frac {1}{R_{1}R_{2}}}}$

どこ${\displaystyle R_{1}}$そして${\displaystyle R_{2}}$これらは円筒の主曲率半径である。${\displaystyle H}$次のように表現されます。

${\displaystyle H=2\left(k^{4}+1\right)}$

どこ${\displaystyle k}$これは、バックルの円周方向の長さをバックルの軸方向の長さで割った値です。

• 変形前の初期表面では、円筒のガウス曲率は0であり、適合条件を満たしている。
• 変形した表面では、表面がほぼ展開可能であることが観察される。したがって、円筒のガウス曲率は0に近い。最初の適合条件の左辺はすでに小さいので、適合条件は満たされる。^{[ 5 ]}

古典的なシェル理論では、臨界座屈荷重を予測するための漸近式は次のようになる。$\displaystyle \sigma _{cr}}$円筒殻の場合、次のように表されます。

$\displaystyle \sigma _{cr}={\frac {Eh}{\sqrt {(3-\nu ^{2})}}}}$

どこ${\displaystyle h={\frac {t}{R}}}$は円筒壁の厚さと半径の比率を表し、${\displaystyle E}$そして${\displaystyle \nu }$^はそれぞれヤング率とポアソン比を表します。^{[ 6 ]この古典的な式は、} 1945 年にそれを導出したオランダのエンジニア、ワーナー・T・コイター^{にちなんでコイターの式と呼ばれることもありますが、[9]最初}に導出^されたのは 1911 年に R. ローレンツです^{。[ 10 ]}

実験結果によると、この古典的な式は座屈荷重を4～5倍過大評価することが多いことがわかっています。^{[ 6 ]}この不一致は、座屈荷重が構造物の形状や荷重の不完全性に対して非常に敏感であることに起因することが多いです。^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}

デカルト座標系において、軸方向圧縮を受ける円筒の平衡条件は次のように表される。

${\displaystyle D\nabla ^{4}\omega =2h\left[{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\omega }{\partial x^{2}}}-2{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}\partial y^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\omega }{\partial x\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\omega }{\partial y^{2}}}+{\frac {1}{r}}\right)\right]}$

${\displaystyle \nabla ^{4}\phi =E\left[\left({\frac {\partial ^{2}\omega }{\partial y^{2}}}\right)^{2}-{\frac {\partial ^{2}\omega }{\partial x^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\omega }{\partial ^{2}y^{2}}}\right]-{\frac {E}{r}}{\frac {\partial ^{2}\omega }{\partial x^{2}}}}$

どこ${\displaystyle E}$そして${\displaystyle D}$それぞれヤング率と曲げ剛性を表す。${\displaystyle \phi }$は2番目の式から導き出され、${\displaystyle \omega }$次のように表現できます。

${\displaystyle \omega =A\cos \lambda (y+mx)\cos \lambda (y-mx)+B[\cos \lambda (y+mx)+\cos \lambda (y-mx)]+C}$

と${\displaystyle \lambda ,m,A,B,C}$パラメータとして。この慎重に選択された方法^{[ 14 ]}は、以下の簡略化方法を可能にします。

• ${\displaystyle \omega =2B\cos \lambda mx\cos \lambda y}$- いつ${\displaystyle A=C=0}$軸方向波と周方向波を表します。
• ${\displaystyle \omega =4B\cos ^{2}{\frac {\lambda }{2}}(y+mx)\cos ^{2}{\frac {\lambda }{2}}(y-mx)+{\text{constant}}}$いつ${\displaystyle A=B}$ダイヤモンド型のバックルのバリエーションを表します。

これらの方程式の解は、さまざまな解法を用いて見つけることができます。重要な解法の 2 つは、1941 年にKármánとHsue-Shenによって提案されたもので^{[ 1 ] [ 2 ]}、1953 年に DM A Leggett によって提案されたものです^{[ 14 ]。}

吉村折りパターンは、底辺で1つの辺を共有する二等辺三角形で構成され、シュワルツランタン折り目パターンに見られるように、繰り返し菱形を形成します。 ^{[ 5 ]}個々の三角形の角度と寸法を操作することで、わずかに異なる座屈パターンが発生する可能性があります。^{[ 15 ]}平らな紙からシュワルツランタンを折り畳むための折り目パターン、つまり二等辺三角形による平面のテセレーションは、吉村の同じ研究に基づいて吉村パターンとも呼ばれています。^{[ 16 ] [ 17 ]}吉村折り目パターンは、クレスリング折りと六角形折りの両方に関連しており、三浦折りの特殊なケースとして捉えることができます。^{[ 18 ]}剛体的に変形可能な三浦折りとは異なり、吉村パターンとクレスリングパターンはどちらも、コンパクトな状態に折り畳むためにパネルの変形が必要です。^{[ 19 ]}

軸方向圧縮を受ける円筒シェルは、比較的長い場合、局部座屈を示すことが観察されている。^{[ 5 ]}局部座屈は、構造全体が変形するオイラー（全体）座屈とは異なり、構造が局所的に変形する現象である。^{[ 20 ]}その結果、円筒の長さに沿って、座屈はローブの軸方向波長の 1.5 倍以上で発生する。^{[ 5 ]}円周方向には、円筒と荷重装置の両方が、円筒の全周に影響を与えるために完全な回転対称性を持つ必要がある。^{[ 6 ]}

この現象は、全弾性エネルギーの損失としてさらに説明できます。オイラーの臨界荷重下にある固定端の円筒を考えると、局部座屈が発生すると、座屈していない領域の弾性エネルギーの減少が、座屈した領域の弾性エネルギーの増加を上回ります。その結果、全弾性エネルギーが失われます。^{[ 5 ]}

軸方向圧縮を受ける円筒シェルの臨界座屈荷重は、形状と荷重の不完全性に非常に敏感である。^{[ 21 ] [ 12 ] [ 15 ]}漸近式に関して${\displaystyle \sigma _{cr}={\frac {Eh}{\sqrt {(3-\nu ^{2})}}}}$古典的なシェル理論から、${\displaystyle h={\frac {t}{R}}}$はシェルの無次元厚さであり、^{[ 7 ]}座屈荷重はおおよそ次の 2 つの方法でスケーリングされます。

• ${\displaystyle \sigma _{cr}\sim h^{3/2}}$形状の不完全さのため。
• ${\displaystyle \sigma _{cr}\sim h^{5/4}}$荷重の不完全性のため。^{[ 6 ]}

円筒シェルの厚さが減少するにつれて、座屈面はほぼ展開可能になる。したがって、シェルの厚さが0に近づくと、表面は理想的な膜のように振る舞うため、最も展開可能になる。^{[ 5 ]}

ヨシムラパターンなどの折り紙ベースの設計の応用により、重量と体積を削減しながら携帯性と展開性を向上させる航空宇宙工学アプリケーションが可能になります。^{[ 24 ]}例えば、ヨシムラ折り畳みパターンの円筒は軸方向に高い剛性を持ち、構造的な剛性を実現します。^{[ 24 ] [ 23 ]}折り紙フラッシャーは、追加の構造的サポートを必要とせずに、軌道の遠心力の下で自己展開します。^{[ 24 ]}他のいくつかの折り紙パターンはすでに利用され検証されていますが（IKAROS宇宙船）、ヨシムラパターンは、携帯性と構造的な剛性を必要とする膨張式宇宙居住施設などのアプリケーションで研究されています。 ^{[ 22 ]}

吉村座屈パターンは材料の均一な厚さを可能にします。均一な厚さは、建設用途で使用される折り紙において重要です。均一な厚さは圧縮力と張力をより均等に伝達し、より剛性の高い構造とより高い耐荷重能力を可能にするからです。^{[ 5 ] [ 24 ]}研究によると、厚さが不均一な折り紙は、軸方向の圧縮力を受けた場合、耐荷重性能が著しく低下します。^{[ 24 ]}航空宇宙用途と同様に、土木工学および建設用途では、持ち運び可能で迅速に展開可能な構造が必要な場合に吉村パターンを使用できる可能性があります。^{[ 23 ]}例えば、災害救援インフラの緊急避難所や、迅速に展開可能な橋梁などです。大きな問題点は、吉村パターンの材料の変形量が大きいため、金属などの脆性材料や、建設で一般的に使用される高強度の複合材料で構築することが困難になることです。^{[ 24 ]}その代わりに、研究者たちは、材料自体の変形ではなく、折り目にヒンジを使用した吉村座屈に着想を得た構造の使用を研究しています。^{[ 23 ]}

回転折り紙構造は、ロボット構造が受ける最大衝撃力を低減することで、ロボット構造を保護します。このアプローチは、アンテナ設計や宇宙工学への応用の可能性を示しています。^{[ 25 ]}吉村座屈の現在の応用は、空気圧アクチュエータの周囲のケーシングやロボット関節の保護ハウジングなど、柔らかい膜で構築された構造に焦点を当てています。^{[ 24 ] [ 26 ]}吉村パターンの柔軟性により、紙加工時の1800%の伸長率のため、合成材料で作られた再構成可能なソフトロボット（RSR）にも適用できます。^{[ 26 ]}