ホモトピー拡張特性

数学において、代数位相幾何学の分野におけるホモトピー拡張特性は、部分空間上で定義されたホモトピーが、より大きな空間上で定義されたホモトピーに拡張できることを示します。コファイブレーションのホモ​​トピー拡張特性は、ファイブレーションを定義するために使用されるホモトピー持ち上げ特性と双対です。

を位相空間とし、とする。ホモトピーと となる写像が与えられたとき、となるホモトピー への の拡張が存在するとき、そのペアはホモトピー拡張の性質を持つという。^[1]${\displaystyle X\,\!}$${\displaystyle A\subset X}$${\displaystyle (X,A)\,\!}$${\displaystyle f_{\bullet }\colon A\rightarrow Y^{I}}$${\displaystyle {\tilde {f}}_{0}\colon X\rightarrow Y}$$${\displaystyle {\tilde {f}}_{0}\circ \iota =\left.{\tilde {f}}_{0}\right|_{A}=f_{0}=\pi _{0}\circ f_{\bullet },}$$${\displaystyle f_{\bullet}}$${\displaystyle {\tilde {f}}_{\bullet }\colon X\rightarrow Y^{I}}$${\displaystyle {\tilde {f}}_{\bullet }\circ \iota =\left.{\tilde {f}}_{\bullet }\right|_{A}=f_{\bullet }}$

つまり、任意のマップがマップに拡張できる場合（つまり、共通のドメインが一致する場合） 、ペアはホモトピー拡張プロパティを持ちます。${\displaystyle (X,A)\,\!}$${\displaystyle G\colon ((X\times \{0\})\cup (A\times I))\rightarrow Y}$${\displaystyle G'\colon X\times I\rightarrow Y}$${\displaystyle G\,\!}$${\displaystyle G'\,\!}$

ペアが特定の共役領域 に対してのみこの特性を持つ場合、 はに関してホモトピー拡大特性を持つと言います。 ${\displaystyle Y\,\!}$${\displaystyle (X,A)\,\!}$${\displaystyle Y\,\!}$

ホモトピー拡張の性質は次の図に示されています。

上記の図（破線マップなし）が可換である場合（これは上記の条件に相当します）、図を可換にするマップが存在する場合、ペア（X、A）はホモトピー拡張プロパティを持ちます。 をカリー化することにより、マップとして表現されたホモトピーは、マップとしての式と自然一対一になることに注意してください。 ${\displaystyle {\tilde {f}}_{\bullet }}$${\displaystyle {\tilde {f}}_{\bullet }\colon X\to Y^{I}}$${\displaystyle {\tilde {f}}_{\bullet }\colon X\times I\to Y}$

この図はホモトピー持ち上げ特性の図と双対（反対）であることに注意してください。この双対性は、エックマン-ヒルトン双対性と呼ばれます。

• 任意のCWペア（つまり、はセル複体であり、はの部分複体である）はホモトピー拡張の性質を持つ。^[2]${\displaystyle (X,A)\,\!}$${\displaystyle X\,\!}$${\displaystyle A\,\!}$${\displaystyle X\,\!}$

• 対がホモトピー拡張特性を持つのは、^[3]の撤回である場合のみである。${\displaystyle (X,A)\,\!}$${\displaystyle (X\times \{0\}\cup A\times I)}$${\displaystyle X\times I.}$

がホモトピー拡張特性を持つ場合、単純包含写像はコファイブレーションです。 ${\displaystyle (X,A)}$${\displaystyle \iota \colon A\to X}$

実際、 がコファイブレーションである場合、 は の下でその像に同相です。これは、任意のコファイブレーションを包含写像として扱うことができ、したがってホモトピー拡大特性を持つものとして扱うことができることを意味します。 ${\displaystyle \iota \colon Y\to Z}$${\displaystyle \mathbf {\mathit {Y}} }$${\displaystyle \iota}$

• ホモトピーリフティング特性

• 「ホモトピー拡張特性」。PlanetMath 。