ブラウンの表現可能性定理

数学において、ホモトピー理論におけるブラウンの表現可能性定理^[1]は、点連結CW複体のホモトピー圏Hotc上の反変関手Fが、集合の圏Setに対して表現可能な関手となるための必要十分条件を与える。

より具体的には、

F :ホット^コピー→セット、

そして、 F がHom (—, C )型であるための明らかに必要な条件がいくつかあり、Cは、圏論のみから演繹できる尖った連結な CW 複合体です。定理の実質的な部分の記述は、これらの必要条件が十分であるということです。技術的な理由から、定理は尖った集合の圏への関数に対して述べられることが多く、言い換えれば、集合にも基点が与えられます。

エドガー・H・ブラウン^[2]によるCW複体の表現可能性定理は以下の通りである。

1. 関数Fは、 Hotcの余積（つまりウェッジ和）をSetの積にマッピングします。${\displaystyle F(\vee _{\alpha }X_{\alpha })\cong \prod _{\alpha }F(X_{\alpha }),}$
2. 関手F は、 Hotcのホモトピープッシュアウトを弱いプルバックにマッピングします。これは、多くの場合、Mayer–Vietoris公理として述べられます。2 つの部分複体UとVで覆われた任意の CW 複体Wと、uとvがF ( U ∩ V )の同じ要素に制限される任意の要素u ∈ F ( U )、 v ∈ F ( V ) に対して、それぞれuとvに制限される要素w ∈ F ( W ) が存在します。

すると、Fは何らかのCW複体Cで表現可能となり、同型が存在することになる。

F ( Z ) ≅ Hom _Hotc ( Z , C )

任意の CW 複体Zに対して、これはZにおいて自然であり、 Zから別の CW 複体Yへの任意の射に対して、誘導写像F ( Y ) → F ( Z ) およびHom _Hot ( Y , C ) → Hom _Hot ( Z , C ) はこれらの同型と互換性があります。

逆の命題も成り立ちます。CW 複合体によって表される任意の関数は、上記の 2 つの特性を満たします。この方向性は、基本的なカテゴリ理論の直接的な帰結であるため、同値のより深く興味深い部分は、他の含意です。

上記の表現オブジェクトC は関数的にFに依存することが示されます。つまり、定理の条件を満たすFから別の関数への自然な変換は、必ず表現オブジェクトのマップを誘導します。これは、米田の補題の結果です。

F ( X )を、 i > 0を固定して、与えられたアーベル群Aの係数を持つ特異コホモロジー群H ⁱ ( X , A ) とすると、 Fを表す空間はEilenberg-MacLane 空間K ( A , i )です。これにより、Eilenberg-MacLane 空間の存在を示す手段が得られます。

CW複体のホモトピー圏は、すべての位相空間の圏の弱ホモトピー同値における局所化と同値であるため、この定理は、このように定義された圏上の関数に対しても同値に述べることができます。

しかし、この定理は連結な有向空間に制限されない場合には誤りであり、無向空間に対する同様の主張も誤りである。^[3]

しかし、同様の主張はCW複体ではなくスペクトルにも当てはまります。ブラウンは、表現可能性定理の一般的なカテゴリカルバージョンも証明しました。 ^[4]これには、尖端連結CW複体のバージョンとスペクトルのバージョンの両方が含まれています。

三角圏の場合の表現可能性定理のバージョンは、アムノン・ニーマンによるものです。^[5]前述のコメントと合わせて、これは、特定の技術的条件を満たす三角圏間の（共変）関手F : C → D が右随伴関手を持つための基準を与えます。つまり、CとD が三角圏で、 Cがコンパクト生成され、F が任意の直和と可換な三角関手である場合、 Fは左随伴です。ニーマンはこれを代数幾何学の グロタンディークの双対定理の証明に応用しました。

ジェイコブ・ルリーは、ホモトピー圏の共群オブジェクトである生成元のコンパクトな集合を持つ尖った準圏のホモトピー圏に対するブラウン表現可能性定理^[6]のバージョンを証明しました。たとえば、これは尖った連結 CW 複体のホモトピー圏や、グロタンディーク可換圏の非有界導来圏(ルリーの導来圏の高次圏的洗練を考慮して) に適用されます。