正則ホモトピー

数学の分野である位相幾何学において、正則ホモトピーとは、ある多様体から別の多様体への浸漬間の特殊なホモトピーを指します。ホモトピーは、1 パラメータの浸漬族でなければなりません。

ホモトピー類と同様に、2 つの浸漬の間に正則ホモトピーが存在する場合、それらの浸漬は同じ正則ホモトピー類にあると定義されます。浸漬の正則ホモトピーは埋め込みの同位体と似ており、どちらもホモトピーの制限された種類です。言い換えると、コンパクト開位相が与えられた場合、2 つの連続関数が写像空間 の同じパス成分内の点を表す場合、それらの関数はホモトピックです。浸漬の空間は、 で表される浸漬からなる の部分空間です。2 つの浸漬がの同じパス成分内の点を表す場合、それらの関数は正則ホモトピックです。 ${\displaystyle f,g:M\to N}$${\displaystyle C(M,N)}$${\displaystyle C(M,N)}$${\displaystyle \operatorname {Imm} (M,N)}$${\displaystyle f,g:M\to N}$${\displaystyle \operatorname {Imm} (M,N)}$

3 次元空間内の任意の 2 つの結び目は、正則ホモトピーでは同値ですが、同値なのは同値ではないからです。

ホイットニー・グラウシュタイン定理 円の正則ホモトピー類を平面に分類します。2 つの浸漬が正則ホモトピックとなるのは、それらの回転数が同じである場合、つまり全曲率が同じである場合のみです。また、それらのガウス写像が同じ次数/回転数である場合にも、正則ホモトピックとなります。

スティーブン・スメールは、に埋め込まれた k球の正則ホモトピー類を分類しました。これらは、ガウス写像の一般化であるシュティーフェル多様体のホモトピー群によって分類されます。ここで、 k個の偏導関数はゼロではありません。より正確には、への球の埋め込みの正則ホモトピー類の集合は、群 の要素と 1 対 1 に対応しています。 の場合、となります。 はパス連結であり、であり、ボット周期性定理により、 となり、したがって となります。したがって、もう 1 次元のユークリッド空間における球と のすべての埋め込みは、正則ホモトピックです。特に、に埋め込まれた球は、 の場合に反転を許容します。彼の研究の帰結として、に埋め込まれた2球の正則ホモトピー類は 1 つしかありません。特に、これは球の反転が存在すること、つまり 2 球を「裏返し」にできることを意味します。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle I(n,k)}$${\displaystyle S^{k}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \pi _{k}\left(V_{k}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)\right)}$${\displaystyle k=n-1}$${\displaystyle V_{n-1}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)\cong SO(n)}$${\displaystyle SO(1)}$${\displaystyle \pi _{2}(SO(3))\cong \pi _{2}\left(\mathbb {R} P^{3}\right)\cong \pi _{2}\left(S^{3}\right)\cong 0}$${\displaystyle \pi _{6}(SO(6))\to \pi _{6}(SO(7))\to \pi _{6}\left(S^{6}\right)\to \pi _{5}(SO(6))\to \pi _{5}(SO(7))}$${\displaystyle \pi _{6}(SO(6))\cong \pi _{6}(\operatorname {Spin} (6))\cong \pi _{6}(SU(4))\cong \pi _{6}(U(4))\cong 0}$${\displaystyle \pi _{5}(SO(6))\cong \mathbb {Z} ,\ \pi _{5}(SO(7))\cong 0}$${\displaystyle \pi _{6}(SO(7))\cong 0}$${\displaystyle S^{0},\ S^{2}}$${\displaystyle S^{6}}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$${\displaystyle n=0,2,6}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

これら 2 つの例はどちらも、通常のホモトピーをホモトピーに還元するものであり、これはその後、ホモトピー原理(またはh原理) アプローチで大幅に一般化されました。

局所的に凸な閉空間曲線に対して、非退化ホモトピーを定義することもできます。ここで、1パラメータ浸漬族は非退化でなければなりません（つまり、曲率が決してゼロにならない）。2つの異なる非退化ホモトピー類があります。^[1]非ゼロ捩れのさらなる制限により、4つの異なる同値類が生まれます。^[2]

• ホイットニー、ハスラー(1937)。「平面上の正則閉曲線について」。Compositio Mathematica 4 : 276–284。
• スメール、スティーブン(1959年2 月)。「2 球面の浸漬の分類」(  PDF )。アメリカ数学会誌。90 (2): 281– 290。doi : 10.2307/1993205。JSTOR 1993205。
• スメール、スティーブン(1959年3月)。「ユークリッド空間における球の浸漬の分類」(PDF)。Annals of Mathematics。69 ( 2): 327– 344。doi :10.2307/1970186。JSTOR  1970186。