ホメオトピー

代数トポロジーという数学の分野において、位相空間のホモトピー群とは、その空間の自己同相写像群のホモトピー群のことである。

ホモトピー群関手$\displaystyle \pi _{k}}$各経路連結位相空間に割り当てる${\displaystyle X}$グループ${\displaystyle \pi _{k}(X)}$連続写像のホモトピー類${\displaystyle S^{k}\to X.}$

空間上の別の建造物${\displaystyle X}$は、すべての自己同相写像の群です。${\displaystyle X\to X}$、と表記される${\displaystyle {\rm {Homeo}}(X).}$Xが局所コンパクトかつ局所連結なハウスドルフ空間である場合、R. Arensの基本的な結果によれば、${\displaystyle {\rm {Homeo}}(X)}$実際には、コンパクト開位相の下で位相群となる。

上記の仮定の下では、ホメオトピー群は${\displaystyle X}$は次のように定義されます。

${\displaystyle HME_{k}(X)=\pi _{k}({\rm {Homeo}}(X)).}$

したがって${\displaystyle HME_{0}(X)=\pi _{0}({\rm {Homeo}}(X))=MCG^{*}(X)}$マッピングクラスグループです${\displaystyle X.}$言い換えれば、マッピングクラスグループは、${\displaystyle {\rm {Homeo}}(X)}$ファンクタによって指定されるとおり${\displaystyle \pi _{0}.}$

デーン・ニールセンの定理によれば、${\displaystyle X}$閉じた面である場合${\displaystyle HME_{0}(X)={\rm {Out}}(\pi _{1}(X)),}$すなわち、空間の自己同型群のゼロ次ホモトピー群は、その基本群の外部自己同型群と同じである。