コンパクトに支えられたホモロジー

数学において、代数位相幾何学におけるホモロジー理論は、あらゆる次数nにおいて、あらゆる空間のペアの相対ホモロジー群H _n ( X , A )が成立する場合にコンパクトにサポートされている。

（X、A）

は、 YがXのコンパクト部分空間上で変化し、BがAのコンパクト部分空間上で変化する、 n番目の相対ホモロジー群のペア（Y、B）の直接極限に自然に同型である。^[1]

特異ホモロジーはコンパクトにサポートされている。なぜなら、各特異鎖はコンパクトにサポートされている単体の有限和であるからである。^[1]強ホモロジーはコンパクトにサポートされていない。

コンパクト対上のホモロジー理論を定義した場合、ハウスドルフ対 ( X、A )のホモロジーが対 ( Y、B )上の直接極限であると定義することによって、それを、 AがXで閉じているより広いカテゴリのハウスドルフ対 ( X、A ) 内のコンパクトにサポートされたホモロジー理論に拡張することができます。ここで、Y、Bはコンパクトで、YはXのサブセット、BはAのサブセットです。