エルミート多項式

数学において、エルミート多項式は古典的な直交 多項式列です。

多項式は次の場合に発生します。

• ウェーブレット変換解析のためのエルミートウェーブレットとしての信号処理
• エッジワース級数などの確率、およびブラウン運動との関連において。
• 陰影計算に従うアペル列の例としての組合せ論。
• ガウス求積法としての数値解析;
• 物理学では、量子調和振動子の固有状態を生じさせます。また、熱方程式のいくつかのケースでも発生します（項が存在する場合）。${\displaystyle {\begin{aligned}xu_{x}\end{aligned}}}$
• ガウスノイズに対する非線形演算に関連したシステム理論。
• ガウス集団におけるランダム行列理論。

エルミート多項式は1810年にピエール＝シモン・ラプラスによって定義されましたが^{[1] [2]} 、ほとんど認識できない形式で、 1859年にパフヌティ・チェビシェフによって詳細に研究されました。^[3]チェビシェフの研究は見過ごされ、後に1864年にこの多項式について記述し、新しいと説明したシャルル・エルミートにちなんで命名されました。 ^[4]エルミートは多次元多項式を最初に定義しましたが、結果的に新しいものではありませんでした。

他の古典的な直交多項式と同様に、エルミート多項式はいくつかの異なる出発点から定義できます。最初に、一般的に使用されている 2 つの異なる標準化があることに注意すると、1 つの便利な方法は次のとおりです。

• 「確率論者のエルミート多項式」は次のように与えられる。$${\displaystyle \operatorname {He} _{n}(x)=(-1)^{n}e^{\frac {x^{2}}{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},}$$
• 一方、「物理学者のエルミート多項式」は次のように表される。$${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}.}$$

これらの方程式はロドリゲスの公式の形をしており、次のようにも書ける。 $${\displaystyle \operatorname {He} _{n}(x)=\left(x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1,\quad H_{n}(x)=\left(2x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1.}$$

2 つの定義は完全に同一ではなく、それぞれが他方の定義を再スケーリングしたものです。 $${\displaystyle H_{n}(x)=2^{\frac {n}{2}}\operatorname {He} _{n}\left({\sqrt {2}}\,x\right),\quad \operatorname {He} _{n}(x)=2^{-{\frac {n}{2}}}H_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right).}$$

これらは異なる分散のエルミート多項式列です。分散については下記の資料を参照してください。

HeとHの表記は標準的な参考文献で使用されているものです。^[5] 多項式He _nは、特に確率論では H _nと表記されることがあります。これは、が期待値0で標準偏差1の正規分布の確率密度関数 であるためです。 $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$$

• 最初の 11 個の確率論者のエルミート多項式は次のとおりです。$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{0}(x)&=1,\\\operatorname {He} _{1}(x)&=x,\\\operatorname {He} _{2}(x)&=x^{2}-1,\\\operatorname {He} _{3}(x)&=x^{3}-3x,\\\operatorname {He} _{4}(x)&=x^{4}-6x^{2}+3,\\\operatorname {He} _{5}(x)&=x^{5}-10x^{3}+15x,\\\operatorname {He} _{6}(x)&=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15,\\\operatorname {He} _{7}(x)&=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x,\\\operatorname {He} _{8}(x)&=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105,\\\operatorname {He} _{9}(x)&=x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x,\\\operatorname {He} _{10}(x)&=x^{10}-45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{2}-945.\end{aligned}}}$$
• 最初の 11 個の物理学者のエルミート多項式は次のとおりです。$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{0}(x)&=1,\\H_{1}(x)&=2x,\\H_{2}(x)&=4x^{2}-2,\\H_{3}(x)&=8x^{3}-12x,\\H_{4}(x)&=16x^{4}-48x^{2}+12,\\H_{5}(x)&=32x^{5}-160x^{3}+120x,\\H_{6}(x)&=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120,\\H_{7}(x)&=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x,\\H_{8}(x)&=256x^{8}-3584x^{6}+13440x^{4}-13440x^{2}+1680,\\H_{9}(x)&=512x^{9}-9216x^{7}+48384x^{5}-80640x^{3}+30240x,\\H_{10}(x)&=1024x^{10}-23040x^{8}+161280x^{6}-403200x^{4}+302400x^{2}-30240.\end{aligned}}}$$

n次エルミート多項式は、次数nの多項式です。確率論者のバージョンHe _{n の}主係数は 1 ですが、物理学者のバージョンH _nの主係数は2 ⁿです。

上記のロドリゲスの公式から、 H _n ( x )とHe _n ( x )はnに応じて偶関数または奇関数であることがわかります。 $${\displaystyle H_{n}(-x)=(-1)^{n}H_{n}(x),\quad \operatorname {He} _{n}(-x)=(-1)^{n}\operatorname {He} _{n}(x).}$$

H _n ( x )とHe _n ( x )はn = 0, 1, 2, 3,...のn次多項式です。これらの多項式は重み関数(測度) に関して直交しています。つまり 、 $${\displaystyle w(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\quad ({\text{for }}\operatorname {He} )}$$$${\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}}\quad ({\text{for }}H),}$$$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,w(x)\,dx=0\quad {\text{for all }}m\neq n.}$$

さらに、 クロネッカー のデルタは どこに ありますか。 $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}\,2^{n}n!\,\delta _{nm},}$$$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {He} _{m}(x)\operatorname {He} _{n}(x)\,e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\,dx={\sqrt {2\pi }}\,n!\,\delta _{nm},}$$${\displaystyle \delta _{nm}}$

したがって、確率多項式は標準​​正規確率密度関数に対して直交します。

エルミート多項式（確率論者または物理学者）は、内積が前節で定義した ガウス重み関数w ( x ) を含む 積分で与えられる 関数の ヒルベルト空間の直交基底を形成する。$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\bigl |}f(x){\bigr |}^{2}\,w(x)\,dx<\infty ,}$$$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,w(x)\,dx}$$

L ² ( R , w ( x ) dx )の直交基底は完全な直交系です。直交系の場合、完全性は、 0 関数が系内のすべての関数に直交する唯一の関数f ∈ L ² ( R , w ( x ) dx )であるという事実に相当します。

エルミート多項式の線形範囲はすべての多項式の空間であるため、（物理学者の場合）すべてのn ≥ 0 に対してf が満たされる 場合、f = 0 であることを示す必要があります。 $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)x^{n}e^{-x^{2}}\,dx=0}$$

これを行う1つの方法は、関数全体 が同一に消滅することを理解することです。すべての実数tに対してF ( it ) = 0である という事実は、 f ( x ) e ^{− x 2}のフーリエ変換が0であることを意味し、したがってfはほとんどどこでも0です。上記の完全性証明の変形は、指数関数的に減少する他の重みにも適用されます。 $${\displaystyle F(z)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{zx-x^{2}}\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\int f(x)x^{n}e^{-x^{2}}\,dx=0}$$

エルミートの場合、完全性を意味する明示的な同一性を証明することも可能である (以下の完全性関係のセクションを参照)。

エルミート多項式がL ² ( R , w ( x ) dx )の直交基底であるという事実の同等の定式化は、エルミート関数(下記参照) を導入し、エルミート関数がL ² ( R )の正規直交基底であると言うことです。

確率論者のエルミート多項式は、λが定数である微分方程式の解です。u が無限大で多項式的に有界であるという境界条件を課すと 、方程式 はλ が負でない整数である場合にのみ解を持ち、解は （は定数を表す）によって一意に与えられます。 $${\displaystyle \left(e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}u'\right)'+\lambda e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}u=0,}$$${\displaystyle u(x)=C_{1}\operatorname {He} _{\lambda }(x)}$${\displaystyle C_{1}}$

微分方程式を固有値問題 として書き直すと、 エルミート多項式は微分演算子 の固有関数として理解できます。この固有値問題はエルミート方程式と呼ばれますが、この用語は 、 u が無限大で多項式的に有界であるという境界条件を課した後、 が定数を表す形式 の物理学者のエルミート多項式で一意に解が与えられる密接に関連した方程式にも使用されます。 $${\displaystyle L[u]=u''-xu'=-\lambda u,}$$${\displaystyle \operatorname {He} _{\lambda }(x)}$${\displaystyle L[u]}$$${\displaystyle u''-2xu'=-2\lambda u.}$$${\displaystyle u(x)=C_{1}H_{\lambda }(x)}$${\displaystyle C_{1}}$

上記の 2 階微分方程式の一般解は、実際にはエルミート多項式と第 1 種の合流型超幾何関数の両方の線形結合です。たとえば、物理学者のエルミート方程式の場合、 一般解は次のような形式になります。 ここで、およびは定数、は物理学者のエルミート多項式 (第 1 種)、は 物理学者のエルミート関数 (第 2 種) です。後者の関数は次のように簡潔に表されます。ここで、 は第 1 種の合流型超幾何関数です。従来のエルミート多項式は、合流型超幾何関数で表現することもできます (以下を参照)。 $${\displaystyle u''-2xu'+2\lambda u=0,}$$$${\displaystyle u(x)=C_{1}H_{\lambda }(x)+C_{2}h_{\lambda }(x),}$$${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle H_{\lambda }(x)}$${\displaystyle h_{\lambda }(x)}$${\displaystyle h_{\lambda }(x)={}_{1}F_{1}(-{\tfrac {\lambda }{2}};{\tfrac {1}{2}};x^{2})}$${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)}$

より一般的な境界条件を用いると、エルミート多項式を一般化して、複素数値λに対するより一般的な解析関数を得ることができます。エルミート多項式の明示的な式を、輪郭積分(Courant & Hilbert 1989)の観点から示すことも可能です。

確率論者のエルミート多項式のシーケンスは、再帰関係も満たします。個々 _{の係数は、次の再帰式によって関連付けられます。a 0,0} = 1 、 a 1,0 = ₀、 a 1,1 ₌ 1。 $${\displaystyle \operatorname {He} _{n+1}(x)=x\operatorname {He} _{n}(x)-\operatorname {He} _{n}'(x).}$$$${\displaystyle a_{n+1,k}={\begin{cases}-(k+1)a_{n,k+1}&k=0,\\a_{n,k-1}-(k+1)a_{n,k+1}&k>0,\end{cases}}}$$

物理学者の多項式の場合、次の式を仮定すると、 _個々 の 係数 は次の再帰式で関連しています。a 0,0 = 1 、a _1,0 = 0、a _1,1 = 2。 $${\displaystyle H_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k},}$$$${\displaystyle H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-H_{n}'(x).}$$$${\displaystyle a_{n+1,k}={\begin{cases}-a_{n,k+1}&k=0,\\2a_{n,k-1}-(k+1)a_{n,k+1}&k>0,\end{cases}}}$$

エルミート多項式はアペル列を構成する。すなわち、それらは恒等式を満たす多項式列である。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n}'(x)&=n\operatorname {He} _{n-1}(x),\\H_{n}'(x)&=2nH_{n-1}(x).\end{aligned}}}$$

^[6]で演繹され実証された積分回帰は次の通りである。 $${\displaystyle \operatorname {He} _{n+1}(x)=(n+1)\int _{0}^{x}\operatorname {He} _{n}(t)dt-He'_{n}(0),}$$

$${\displaystyle H_{n+1}(x)=2(n+1)\int _{0}^{x}H_{n}(t)dt-H'_{n}(0).}$$

同様に、 をテイラー展開すると、 これらの暗黒等式は自明であり、以下に詳述する微分演算子表現に含まれる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}\operatorname {He} _{k}(y)&&=2^{-{\frac {n}{2}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\operatorname {He} _{n-k}\left(x{\sqrt {2}}\right)\operatorname {He} _{k}\left(y{\sqrt {2}}\right),\\H_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}H_{k}(x)(2y)^{n-k}&&=2^{-{\frac {n}{2}}}\cdot \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}H_{n-k}\left(x{\sqrt {2}}\right)H_{k}\left(y{\sqrt {2}}\right).\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n}(x)&=e^{-{\frac {D^{2}}{2}}}x^{n},\\H_{n}(x)&=2^{n}e^{-{\frac {D^{2}}{4}}}x^{n}.\end{aligned}}}$$

その結果、m次の導関数については次の関係が成り立ちます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n}^{(m)}(x)&={\frac {n!}{(n-m)!}}\operatorname {He} _{n-m}(x)&&=m!{\binom {n}{m}}\operatorname {He} _{n-m}(x),\\H_{n}^{(m)}(x)&=2^{m}{\frac {n!}{(n-m)!}}H_{n-m}(x)&&=2^{m}m!{\binom {n}{m}}H_{n-m}(x).\end{aligned}}}$$

エルミート多項式も再帰関係を満たす。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {He} _{n+1}(x)&=x\operatorname {He} _{n}(x)-n\operatorname {He} _{n-1}(x),\\H_{n+1}(x)&=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x).\end{aligned}}}$$

これらの最後の関係は、初期多項式H ₀ ( x )およびH ₁ ( x )とともに、実際には多項式を迅速に計算するために使用できます。

トゥランの不等式は $${\displaystyle {\mathit {H}}_{n}(x)^{2}-{\mathit {H}}_{n-1}(x){\mathit {H}}_{n+1}(x)=(n-1)!\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {2^{n-i}}{i!}}{\mathit {H}}_{i}(x)^{2}>0.}$$

さらに、次の乗法定理が成り立ちます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}(\gamma x)&=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }\gamma ^{n-2i}(\gamma ^{2}-1)^{i}{\binom {n}{2i}}{\frac {(2i)!}{i!}}H_{n-2i}(x),\\\operatorname {He} _{n}(\gamma x)&=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }\gamma ^{n-2i}(\gamma ^{2}-1)^{i}{\binom {n}{2i}}{\frac {(2i)!}{i!}}2^{-i}\operatorname {He} _{n-2i}(x).\end{aligned}}}$$

物理学者のエルミート多項式は次のように明示的に記述できる。 $${\displaystyle H_{n}(x)={\begin{cases}\displaystyle n!\sum _{l=0}^{\frac {n}{2}}{\frac {(-1)^{{\tfrac {n}{2}}-l}}{(2l)!\left({\tfrac {n}{2}}-l\right)!}}(2x)^{2l}&{\text{for even }}n,\\\displaystyle n!\sum _{l=0}^{\frac {n-1}{2}}{\frac {(-1)^{{\frac {n-1}{2}}-l}}{(2l+1)!\left({\frac {n-1}{2}}-l\right)!}}(2x)^{2l+1}&{\text{for odd }}n.\end{cases}}}$$

これら 2 つの方程式は、 floor 関数を使用して 1 つに結合することができます。 $${\displaystyle H_{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{m}}{m!(n-2m)!}}(2x)^{n-2m}.}$$

確率論者のエルミート多項式にも同様の式があり、 2 xの累乗を対応する√ 2  xの累乗に置き換え、全体の合計に2 ^{− ⁠}を掛けることで得られる。^ん/2⁠ : $${\displaystyle \operatorname {He} _{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{m}}{m!(n-2m)!}}{\frac {x^{n-2m}}{2^{m}}}.}$$

上記の明示的な表現の逆、つまり確率論者のエルミート多項式による単項式の表現は、 $${\displaystyle x^{n}=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {1}{2^{m}m!(n-2m)!}}\operatorname {He} _{n-2m}(x).}$$

物理学者のエルミート多項式Hの対応する表現は、これを適切にスケーリングすることで直接導かれる：^[7] $${\displaystyle x^{n}={\frac {n!}{2^{n}}}\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {1}{m!(n-2m)!}}H_{n-2m}(x).}$$

エルミート多項式は指数生成関数によって与えられる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{xt-{\frac {1}{2}}t^{2}}&=\sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {He} _{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}},\\e^{2xt-t^{2}}&=\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.\end{aligned}}}$$

この等式はxとtのすべての複素数値に対して有効であり、関数z → e ^{− z 2}のxにおけるテイラー展開を書くことによって得ることができます（物理学者の場合）。また、コーシーの積分公式を使用してエルミート多項式を書くこと によって（物理学者の）生成関数を導くこともできます。$${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {e^{-z^{2}}}{(z-x)^{n+1}}}\,dz.}$$

これを合計に使用すると、 留数計算を使用して残りの積分を評価し、目的の生成関数に到達できます。 $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}},}$$

Xが標準偏差1、期待値μの正規分布に従う確率変数である場合、 $${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left[\operatorname {He} _{n}(X)\right]=\mu ^{n}.}$$

標準正規分布のモーメント（期待値はゼロ）は、偶数インデックスの関係から直接読み取ることができます。 ここで、（2 n − 1）!!は二重階乗です。上記の式は、確率論者のエルミート多項式をモーメントとして表現した特別なケースであることに注意してください。 $${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left[X^{2n}\right]=(-1)^{n}\operatorname {He} _{2n}(0)=(2n-1)!!,}$$$${\displaystyle \operatorname {He} _{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }(x+iy)^{n}e^{-{\frac {y^{2}}{2}}}\,dy.}$$

漸近的には、n → ∞のとき、展開^[8] は成り立つ。評価範囲が広い特定のケースでは、振幅を変化させる係数を含める必要がある。 これは、スターリング近似を使用して、極限でさらに単純化することができ、 $${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim {\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)}$$$${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim {\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}={\frac {2\Gamma (n)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}},}$$$${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim \left({\frac {2n}{e}}\right)^{\frac {n}{2}}{\sqrt {2}}\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}.}$$

この展開は、対応原理の限界において古典的近似と一致するように量子調和振動子の波動関数を解くために必要である。

周波数の変化を考慮したより良い近似式は次のように表される。 $${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim \left({\frac {2n}{e}}\right)^{\frac {n}{2}}{\sqrt {2}}\cos \left(x{\sqrt {2n+1-{\frac {x^{2}}{3}}}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}.}$$

より細かい近似^[9]は、端の近くのゼロの不均一な間隔を考慮し、 一様近似を得るため の置換を利用する。$${\displaystyle x={\sqrt {2n+1}}\cos(\varphi ),\quad 0<\varepsilon \leq \varphi \leq \pi -\varepsilon ,}$$$${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}}{\sqrt {n!}}(\pi n)^{-{\frac {1}{4}}}(\sin \varphi )^{-{\frac {1}{2}}}\cdot \left(\sin \left({\frac {3\pi }{4}}+\left({\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}\right)\left(\sin 2\varphi -2\varphi \right)\right)+O\left(n^{-1}\right)\right).}$$

同様の近似が単調領域および遷移領域にも当てはまります。具体的には、 の場合、 に対して で あり、 t が複素数で有界である場合、近似は となり、 ここでAiは第 1 種 エアリー関数です。$${\displaystyle x={\sqrt {2n+1}}\cosh(\varphi ),\quad 0<\varepsilon \leq \varphi \leq \omega <\infty ,}$$$${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=2^{{\frac {n}{2}}-{\frac {3}{4}}}{\sqrt {n!}}(\pi n)^{-{\frac {1}{4}}}(\sinh \varphi )^{-{\frac {1}{2}}}\cdot e^{\left({\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}\right)\left(2\varphi -\sinh 2\varphi \right)}\left(1+O\left(n^{-1}\right)\right),}$$$${\displaystyle x={\sqrt {2n+1}}+t}$$$${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=\pi ^{\frac {1}{4}}2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}}{\sqrt {n!}}\,n^{-{\frac {1}{12}}}\left(\operatorname {Ai} \left(2^{\frac {1}{2}}n^{\frac {1}{6}}t\right)+O\left(n^{-{\frac {2}{3}}}\right)\right),}$$

物理学者のエルミート多項式をゼロ引数H _n (0)で評価したものをエルミート数と呼びます。

$${\displaystyle H_{n}(0)={\begin{cases}0&{\text{for odd }}n,\\(-2)^{\frac {n}{2}}(n-1)!!&{\text{for even }}n,\end{cases}}}$$ これらは再帰関係H _n (0) = −2( n − 1) H _{n − 2} (0)を満たす。

確率多項式で表すと、これは次のようになる。 $${\displaystyle \operatorname {He} _{n}(0)={\begin{cases}0&{\text{for odd }}n,\\(-1)^{\frac {n}{2}}(n-1)!!&{\text{for even }}n.\end{cases}}}$$

エルミート多項式はラゲール多項式の特殊なケースとして表現できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{2n}(x)&=(-4)^{n}n!L_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}}\right)}(x^{2})&&=4^{n}n!\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {n-{\frac {1}{2}}}{n-k}}{\frac {x^{2k}}{k!}},\\H_{2n+1}(x)&=2(-4)^{n}n!xL_{n}^{\left({\frac {1}{2}}\right)}(x^{2})&&=2\cdot 4^{n}n!\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {n+{\frac {1}{2}}}{n-k}}{\frac {x^{2k+1}}{k!}}.\end{aligned}}}$$

物理学者のエルミート多項式は、放物線円筒関数の特殊なケースとして表現できます。 右半平面 では、U ( a , b , z )はトリコミの合流型超幾何関数です。同様に、 1 _F 1 ₍ a , b ; z ) = M ( a , b ; z )はクンマーの合流型超幾何関数です。 $${\displaystyle H_{n}(x)=2^{n}U\left(-{\tfrac {1}{2}}n,{\tfrac {1}{2}},x^{2}\right)}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{2n}(x)&=(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{n!}}\,_{1}F_{1}{\big (}-n,{\tfrac {1}{2}};x^{2}{\big )},\\H_{2n+1}(x)&=(-1)^{n}{\frac {(2n+1)!}{n!}}\,2x\,_{1}F_{1}{\big (}-n,{\tfrac {3}{2}};x^{2}{\big )},\end{aligned}}}$$

テイラー展開と同様に、いくつかの関数はエルミート多項式の無限和として表現できます。具体的には、 の場合、物理学者のエルミート多項式で展開されます。^[10]${\displaystyle \int e^{-x^{2}}f(x)^{2}dx<\infty }$

このような が与えられたとき、 のエルミート展開の部分和がノルム内で に収束するのは の場合のみである。^[11]${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle 4/3<p<4}$$${\displaystyle x^{n}={\frac {n!}{2^{n}}}\,\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }{\frac {1}{k!\,(n-2k)!}}\,H_{n-2k}(x)=n!\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }{\frac {1}{k!\,2^{k}\,(n-2k)!}}\,\operatorname {He} _{n-2k}(x),\qquad n\in \mathbb {Z} _{+}.}$$$${\displaystyle e^{ax}=e^{a^{2}/4}\sum _{n\geq 0}{\frac {a^{n}}{n!\,2^{n}}}\,H_{n}(x),\qquad a\in \mathbb {C} ,\quad x\in \mathbb {R} .}$$$${\displaystyle e^{-a^{2}x^{2}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}a^{2n}}{n!\left(1+a^{2}\right)^{n+1/2}2^{2n}}}\,H_{2n}(x).}$$$${\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}~dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}}{k!(2k+1)2^{3k}}}H_{2k}(x).}$$$${\displaystyle \cosh(2x)=e\sum _{k\geq 0}{\frac {1}{(2k)!}}\,H_{2k}(x),\qquad \sinh(2x)=e\sum _{k\geq 0}{\frac {1}{(2k+1)!}}\,H_{2k+1}(x).}$$$${\displaystyle \cos(x)=e^{-1/4}\,\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}}{2^{2k}\,(2k)!}}\,H_{2k}(x)\quad \sin(x)=e^{-1/4}\,\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}}{2^{2k+1}\,(2k+1)!}}\,H_{2k+1}(x)}$$