多項式増加群に関するグロモフの定理

幾何学的群論において、ミハイル・グロモフによって初めて証明された多項式増加群に関するグロモフの定理^[1]は、有限生成多項式増加群を、有限指数の冪零部分群を持つ群として特徴付けます。

群の成長率は、漸近解析から明確に定義された概念です。有限生成群が多項式成長を持つと言うことは、長さが最大でnの要素の数（対称生成集合に対して）が、多項式関数p ( n )によって上方に制限されることを意味します。成長の次数は、そのような多項式関数pの最小次数です。

冪零群 G は、恒等部分群で終了する 下中心級数を持つ群です。

グロモフの定理は、有限生成群が多項式成長を持つのは、有限指数の冪零部分群を持つ場合のみであると述べています。

グロモフの定理に至るまで、成長率に関する膨大な文献がある。ジョセフ・A・ウルフ^{[2]の以前の結果は、} Gが有限生成冪零群である場合、その群は多項式成長を持つことを示した。イヴ・ギヴァーク^[3]とハイマン・バス^[4]は独立に（異なる証明で）多項式成長の正確な順序を計算した。Gを有限生成冪零群とし、下中心級数を持つと する。

${\displaystyle G=G_{1}\supseteq G_{2}\supseteq \cdots .}$

特に、商群G _k / G _{k +1}は有限生成アーベル群です。

Bass -Guivarc'hの公式によれば、 Gの多項式成長の順序は

${\displaystyle d(G)=\sum _{k\geq 1}k\operatorname {rank} (G_{k}/G_{k+1})}$

どこ：

ランクはアーベル群のランク、つまりアーベル群の独立かつ捩れのない元の最大数を表します。

特に、グロモフの定理とバス・ギヴァルシュの公式は、有限生成群の多項式成長の順序が常に整数または無限大（例えば分数べき乗を除く）のいずれかであることを意味します。

グロモフの定理とバス・ギヴァルシュの公式のもう 1 つの優れた応用は、有限生成アーベル群の準等長剛性です。有限生成アーベル群に準等長な任意の群には、有限指数の自由アーベル群が含まれます。

この定理を証明するために、グロモフは距離空間の収束を導入しました。この収束はグロモフ・ハウスドルフ収束と呼ばれ、現在では幾何学で広く使用されています。

この定理の比較的簡単な証明はブルース・クライナーによってなされた。^[5]その後、テレンス・タオとイェフダ・シャロームはクライナーの証明を修正し、本質的に初歩的な証明と、明示的な境界を持つ定理のバージョンを作成した。^{[6] [7]グロモフの定理は、ブレイヤール、グリーン、タオによって得られた}近似群の分類からも導かれる。関数解析手法に基づく簡単で簡潔な証明は、オザワによって与えられている。^[8]

グロモフの定理を超えて、有限生成群の成長スペクトルに、多項式成長のすぐ上にギャップがあり、実質的に冪零な群と他の群を分けているかどうかを問うことができる。正式には、これは、有限生成群が実質的に冪零である必要十分条件として、その成長関数が であるような関数が存在することを意味する。このような定理は、何らかの に対する明示的な関数を用いて、シャロームとタオによって得られた。中間の成長（すなわち、超多項式と指数関数の両方）を持つ既知のすべての群は、本質的にグリゴルチュクの群の一般化であり、より高速な成長関数を持つ。したがって、既知のすべての群は よりも高速に成長し、 であり、 は多項式 の実根である。^[9]${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$${\displaystyle O(f(n))}$${\displaystyle n^{\log \log(n)^{c}}}$${\displaystyle c>0}$${\displaystyle e^{n^{\alpha }}}$${\displaystyle \alpha =\log(2)/\log(2/\eta )\approx 0.767}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle x^{3}+x^{2}+x-2}$

中程度の成長を示すグループの成長率の真の下限は であると推測される。これはギャップ予想として知られている。^[10]${\displaystyle e^{\sqrt {n}}}$

• ブリュイヤール・グリーン・タオ定理