フラッティーニサブグループ

数学、特に群論において、群Gのフラッティーニ部分群は、 Gのすべての極大部分群の共通部分である。Gが極大部分群を持たない場合、たとえば自明群{ e } やプリューファー群の場合、フラッティーニ部分群は によって定義される。これは環論におけるヤコブソン根基に類似しており、直感的には「小さな元」の部分群と考えることができる（下記の「非生成元」の特徴付けを参照）。これは、1885 年に発表された論文でこの概念を定義したジョヴァンニ・フラッティーニにちなんで名付けられている。^[1]${\displaystyle \Phi (G)}$ ${\displaystyle \Phi (G)=G}$

• ${\displaystyle \Phi (G)}$は、 Gのすべての非生成元または非生成元の集合に等しい。 Gの非生成元とは、生成集合から常に削除できる元である。つまり、X がa を含むGの生成集合である場合は常に、Gの元aもGの生成集合となるような元である。${\displaystyle X\setminus \{a\}}$
• ${\displaystyle \Phi (G)}$は常にGの特性部分群であり、特に、常にGの正規部分群である。
• Gが有限であれば、 は冪零です。${\displaystyle \Phi (G)}$
• G が有限p群である場合、 です。したがって、フラッティーニ部分群は、商群が基本アーベル群、すなわち、位数pの巡回群の直和に同型であるような最小の（包含に関して）正規部分群Nです。さらに、商群（Gのフラッティーニ商とも呼ばれる）が位数を持つ場合、k はGの生成元の最小の数（つまり、 Gの生成集合の最小の濃度）です。特に、有限p群が巡回であるための必要十分条件は、そのフラッティーニ商が巡回（位数p）である場合です。有限p群が基本アーベルであるための必要十分条件は、そのフラッティーニ部分群が自明群である場合です。${\displaystyle \Phi (G)=G^{p}[G,G]}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle G/\Phi (G)}$${\displaystyle p^{k}}$${\displaystyle \ファイ (G)=\{e\}}$
• HとKが有限であれば、 .${\displaystyle \ファイ (H\times K)=\ファイ (H)\times \ファイ (K)}$

非自明なフラッティーニ部分群を持つ群の例としては、位数 の巡回群 G（ここでpは素数）があり、これは （ここでは ）とすると生成される。 ${\displaystyle p^{2}}$${\displaystyle \Phi (G)=\left\langle a^{p}\right\rangle }$

• フィッティングサブグループ
• フラッティーニの主張
• ソクル

• ホール、マーシャル（1959年）「群論」ニューヨーク：マクミラン。 （第10章、特にセクション10.4を参照してください。）