合成演算子

数学において、記号 を持つ合成演算子は 、 が関数合成を表す規則によって定義される 線形演算子です。 ${\displaystyle C_{\phi}}$${\displaystyle \phi}$$${\displaystyle C_{\phi }(f)=f\circ \phi }$$${\displaystyle f\circ\phi}$

合成演算子の研究は、AMS カテゴリ 47B33 でカバーされています。

物理学、特に力学系の分野では、合成演算子はバーナード・クープマンにちなんで、クープマン演算子^{[1] [2]}（また、その人気の急上昇^[3]は冗談めかして「クープマニア」^[4]と呼ばれることもある）と呼ばれることが多い。これは、フロベニウス・ペロンの転送演算子の左随伴演算子である。

圏論の言語を使用すると、合成演算子は測定可能な関数の空間上の引き戻しです。引き戻しがプッシュフォワードに随伴するのと同じように、合成演算子は転送演算子に随伴します。合成演算子は逆像関数です。

ここで考慮する領域はボレル関数の領域であるため、上記はボレル関数計算に現れるクープマン演算子を記述したものです。

合成演算子の定義域は、より狭義には、何らかのバナッハ空間としてとらえられ、多くの場合、何らかのハーディ空間やベルクマン空間などの正則関数から構成されます。この場合、合成演算子は、正則関数計算などの何らかの関数計算の領域にあります。

合成演算子の研究で提起される興味深い質問は、演算子のスペクトル特性が関数空間にどのように依存するかに関係することがよくあります。他の質問には、がコンパクトかトレースクラスかが含まれます。答えは通常、関数が何らかの領域の境界でどのように動作するかによって異なります。 ${\displaystyle C_{\phi}}$${\displaystyle \varphi}$

転送演算子が左シフト演算子である場合、クープマン演算子はその随伴演算子として右シフト演算子として考えることができます。シフトを明示的に表す適切な基底は、多くの場合、直交多項式で見つけることができます。これらが実数直線上で直交する場合、シフトはヤコビ演算子によって与えられます。^[5] 多項式が複素平面のある領域（つまり、ベルクマン空間）で直交する場合、ヤコビ演算子はヘッセンベルグ演算子に置き換えられます。^[6]

数学において、合成演算子はシフト演算子の研究でよく登場します。たとえば、Beurling-Lax の定理やWold 分解などです。シフト演算子は 1 次元スピン格子として研究できます。合成演算子は、 Aleksandrov-Clark 測度の理論に登場します。

合成演算子の固有値方程式はシュレーダー方程式であり、主固有関数は シュレーダー関数またはケーニッヒ関数と呼ばれることが多い。 ${\displaystyle f(x)}$

合成演算子は、合成演算子のモードと固有値を近似する 動的モード分解アルゴリズムのコンテキストで、動的システムのデータ駆動型手法で使用されています。

• カールマン行列
• カールマン線形化
• コンポジションリング
• 乗算演算子 – 関数を別の関数にマッピングする単項演算子フォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ
• 線型写像の転置 – 2つのベクトル空間の双対空間間の誘導写像
• 動的モード分解

• CC Cowen とBD MacCluer、「解析関数の空間上の合成演算子」、高等数学研究。CRC Press、フロリダ州ボカラトン、1995 年。xii+388 頁。ISBN 0-8493-8492-3。 
• JH Shapiro、 「合成演算子と古典関数理論」。Universitext : Tracts in Mathematics。Springer-Verlag、ニューヨーク、1993年。xvi+223 pp. ISBN 0-387-94067-7。