台形

台形（アメリカ英語） 台形（イギリス英語）
台形または台形
タイプ	四角形
エッジと頂点	4
エリア	${\displaystyle {\tfrac {a+b}{2}}h}$
プロパティ	凸状の

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幾何学において、台形（台形、北米英語では/ ˈ t r æ p ə z ɔɪ d /）、またはイギリス英語ではトラペジウム（台形、 / t r ə ˈ p iː z i ə m /） [ ^{1] [2]}は、 1組の平行な辺を持つ四辺形です。

平行な辺は台形の底辺と呼ばれます。他の2辺は、平行でない場合は脚（または側面）と呼ばれます。それ以外の場合、台形は平行四辺形であり、底辺は2組あります。不等辺台形は、以下の特殊なケースとは対照的に、等しい長さの辺を持たない台形です^[3]。

台形は通常、ユークリッド幾何学では凸四辺形であると考えられていますが、交差する場合もあります。ABCD が凸台形の場合、 ABDCは交差台形です。この記事の測定公式は凸台形に適用されます。

古代ギリシャの数学者ユークリッドは5種類の四辺形を定義したが、そのうち4種類は2組の平行な辺を持つもの（英語ではsquare、rectangular、rhombus、rhomboidとして知られる）で、最後の1種類は2組の平行な辺を持たないもの、つまりτραπέζια（trapezia ^[5]文字通り「テーブル」で、τετράς ( tetrás )「4」+πέζα ( péza )「足;端、境界、縁」から来ている）であった。^[6]

プロクロス（紀元412年 - 485年）はユークリッドの原論第一巻の注釈の中で2種類の台形を導入した。^{[4] [7]}

• 一対の平行な辺 -台形(τραπέζιον)、二等辺 (等しい脚) と不等辺 (不等脚) 台形に分かれる
• 平行な側面がない –台形(τραπεζοειδή、trapezoeidé、文字通り「台形のような」(εἶδος は「似ている」を意味します)、cubeoid が「立方体のような」を意味し、rhomboid が「ひし形のような」を意味するのと同じように)

ヨーロッパの言語はすべてプロクルスの構造に従っている^{[7] [8]。18}世紀後半まで英語もそうだったが、 1795年にチャールズ・ハットンが出版した影響力のある数学辞典が、説明なしに用語の転置を支持した。これは1875年頃にイギリス英語で逆転したが、アメリカ英語では現在まで維持されている。^[4]

次の表は、使用法を比較したものです。最も具体的な定義が上部に、最も一般的な定義が下部にあります。

2 組の平行な辺を持つ平行四辺形を台形とみなすべき かどうかについては意見の相違があります。

台形を、平行な辺が1組しかない四辺形（排他的定義）と定義し、平行四辺形を除外する人もいます。^{[11]一部の資料では、排他的定義の台形を表すために「}適切な台形」という用語を使用していますが、これは他の数学的対象における「適切な」という単語の用法に似ています。 ^[12]

他の研究者^{[13] [検証失敗]}は、台形を少なくとも1組の平行な辺を持つ四辺形（包括的定義^{[14] ）と定義し、平行四辺形を台形の特別なタイプとしています。後者の定義は、}微積分などの高等数学での使用と一致しています。この記事では包括的定義を使用し、平行四辺形を台形の特別なケースと見なしています。これは四辺形の分類でも提唱されています。

包括的定義によれば、すべての平行四辺形（菱形、正方形、正方形でない長方形を含む）は台形です。長方形は中間辺で鏡面対称性を持ち、菱形は頂点で鏡面対称性を持ち、正方形は中間辺と頂点の両方で鏡面対称性を持ちます。

直角台形（直角台形とも呼ばれる）は、隣接する2つの直角を持ちます。^[13]直角台形は、曲線の下の面積を推定するための 台形法則で使用されます。

鋭角台形は、長い方の底辺に 2 つの隣接する鋭角を持ちます。

一方、鈍角台形は、各底辺に 1 つの鋭角と 1 つの鈍角を持ちます。

等脚台形は、底角が同じ大きさの台形です。その結果、2 つの脚の長さも等しく、鏡映対称性があります。これは、鋭角台形または直角台形 (長方形など) で可能です。

平行四辺形は（包括的な定義によれば）2 組の平行な辺を持つ台形です。平行四辺形は中心 2 回回転対称性（または点反射対称性）を持ちます。鈍角台形や直角台形（長方形）でも可能です。

接線台形は内接円を持つ台形です。

サッケリ四辺形は、双曲面では台形に似ており、隣接する 2 つの直角を持ちますが、ユークリッド平面では長方形です。双曲面のランバート四辺形には 3 つの直角があります。

4つの長さa、c、b、dは、 aとbが平行である非平行四辺形台形の連続する辺を構成できるのは、 ^[15]の場合のみです。

${\displaystyle \displaystyle |dc|<|ba|<d+c.}$

四辺形は のときは平行四辺形ですが、 のときは外接四辺形（台形ではない）です。^{[16] : p. 35}${\displaystyle dc=ba=0}$${\displaystyle |dc|=|ba|\neq 0}$

凸四辺形が与えられた場合、次の特性は同等であり、それぞれ四辺形が台形であることを意味します。

• 2 つの隣接する角度は補角であり、合計すると 180度になります。
• ある辺と対角線の間の角度は、反対側の辺と同じ対角線の間の角度に等しくなります。
• 対角線は互いに同じ比率で切断されます（この比率は平行な辺の長さ間の比率と同じです）。
• 対角線は四辺形を４つの三角形に分割し、そのうちの１つの向かい合う三角形の面積は等しい。^{[16] : 命題5}
• 一方の対角線によって形成される２つの三角形の面積の積は、もう一方の対角線によって形成される２つの三角形の面積の積に等しい。^{[16] : Thm.6}
• 対角線によって形成される4つの三角形のうち、向かい合う2つの三角形の面積SとTは、次の式を満たす。

${\displaystyle {\sqrt {K}}={\sqrt {S}}+{\sqrt {T}},}$

ここでKは四辺形の面積である。^{[16] : Thm.8}

• 台形の２辺の中点と対角線の交点は同一直線上にある。^{[16] : Thm.15}
• 四辺形ABCDの角度は^[16]を満たす^：p.25${\displaystyle \sin A\sin C=\sin B\sin D.}$
• 隣接する2つの角度の余弦の合計は0になり、他の2つの角度の余弦の合計も0になります。^{[16] : p. 25}
• 隣接する2つの角度のコタンジェントの合計は0になり、他の隣接する2つの角度のコタンジェントの合計も0になります。^{[16] : p. 26}
• 一つの二中線は四辺形を面積の等しい二つの四辺形に分割する。^{[16] : p. 26}
• 二つの対辺の中点を結ぶ二中線の長さの2倍は、他の辺の長さの合計に等しい。^{[16] : p. 31}

さらに、次の特性は同等であり、それぞれ反対側の辺aとbが平行であることを意味します。

• 連続する辺a、c、b、dと対角線p、qは次式を満たす^{[16] ：Cor.11}

${\displaystyle p^{2}+q^{2}=c^{2}+d^{2}+2ab.}$

• 対角線の中点間の距離vは次式を満たす^{[16] ：Thm.12}

${\displaystyle v={\frac {|ab|}{2}}.}$

台形の中線（正中線とも呼ばれる）は、台形の脚の中点を結ぶ線分である。台形の底辺と平行である。台形の中線の長さmは、台形の底辺aと底辺bの長さの平均に等しい。^[13]

${\displaystyle m={\frac {a+b}{2}}.}$

台形の中線は、2 つの双中線のうちの 1 つです(もう 1 つの双中線は台形を等しい面積に分割します)。

高さ（または高度）は、底辺間の垂直距離です。2つの底辺の長さが異なる場合（a ≠ b）、台形の高さhは、式^[13]を使用して4辺の長さで決定できます。

${\displaystyle h={\frac {\sqrt {(pa)(pb)(pbd)(pbc)}}{2|ba|}}}$

ここで、cとd はそれぞれ脚の長さ、 です。 ${\displaystyle p=a+b+c+d}$

台形の面積Kは^{[13]で与えられる。}

${\displaystyle K={\frac {a+b}{2}}\cdot h=mh}$

ここで、aとbは平行な辺の長さ、hは高さ (これらの辺の間の垂直距離)、m は2 つの平行な辺の長さの算術平均です。 499 年、インド数学とインド天文学の古典時代の偉大な数学者であり天文学者であるアリヤバータは、この方法を『アリヤバーティヤ』 (セクション 2.8) で使用しました。これにより、三角形を、平行な辺の 1 つが 1 点に縮小した退化した台形と見なすことで、特殊なケースとして、三角形の面積のよく知られた公式が得られます。

7 世紀のインドの数学者バースカラ 1 世は、連続する辺a、c、b、dを持つ台形の面積について次の公式を導き出しました。

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}(a+b){\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left((ba)+{\frac {c^{2}-d^{2}}{ba}}\right)^{2}}}}$

ここでaとbは平行でb > aである。^[17]この式はより対称的なバージョンに分解することができる^[13]

${\displaystyle K={\frac {a+b}{4|ba|}}{\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+cd)(ab-c+d)}}.}$

平行な辺の 1 つが点 ( a = 0 とします) に縮小すると、この式は三角形の面積に関する ヘロンの公式に簡略化されます。

ヘロンの公式によく似た面積の別の等価な式は^{[13]である。}

${\displaystyle K={\frac {a+b}{|ba|}}{\sqrt {(sb)(sa)(sbc)(sbd)}}}$

ここで、 は台形の半周長です。(この公式は、 Brahmagupta の公式に似ていますが、台形は円周ではない(円に内接しない)可能性がある点で異なります。この公式は、一般的な四辺形に対するBretschneider の公式の特殊なケースでもあります。) ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d)}$

ブレトシュナイダーの公式から、

${\displaystyle K={\sqrt {{\frac {(ab^{2}-a^{2}b-ad^{2}+bc^{2})(ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2})}{4(ba)^{2}}}-\left({\frac {c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}}{4}}\right)^{2}}}.}$

平行な辺を結ぶ二中線は面積を二等分します。

対角線の長さは^[13]

${\displaystyle p={\sqrt {\frac {ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2}}{ba}}},}$

${\displaystyle q={\sqrt {\frac {ab^{2}-a^{2}b-ad^{2}+bc^{2}}{ba}}}}$

ここで、aは短底、bは長底、cとd は台形の脚です。

台形を対角線ACとBDで4つの三角形に分割し（右図参照）、Oで交差させると、 AODの面積はBOCの面積に等しく、 AODとBOCの面積の積はAOBとCODの面積に等しくなります。隣接する三角形の各ペアの面積の比は、平行な辺の長さの比と同じです。^[13]${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \triangle }$

台形が頂点A、B、C、D を順に持ち、平行な辺ABとDCを持つとする。対角線の交点をEとし、辺DA上にF、辺BC上にG があり、 FEG がABとCDに平行であるとする。するとFG はABとDCの調和平均となる。^[18]

${\displaystyle {\frac {1}{FG}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{AB}}+{\frac {1}{DC}}\right).}$

延長された非平行な辺の交点と対角線の交点の両方を通る線は、各底辺を二等分する。^[19]

面積の中心（均一な薄板の質量の中心）は、平行な辺の中点を結ぶ線分上にあり、長辺bから垂直距離xに位置し、 ^[20]で与えられる。

${\displaystyle x={\frac {h}{3}}\left({\frac {2a+b}{a+b}}\right).}$

面積の中心は、この部分を（短辺から長辺にかけて）の比率で分割します^{[21] ：p.862}

${\displaystyle {\frac {a+2b}{2a+b}}.}$

角Aと角Bの二等分線がPで交差し、角Cと角Dの二等分線がQで交差する場合、^[19]

${\displaystyle PQ={\frac {|AD+BC-AB-CD|}{2}}.}$

建築学では、この言葉はエジプト風に、基部が広く上部に向かって細くなる対称的なドア、窓、建物を指すために使用される。これらが直線の側面と鋭角な角を持つ場合、その形状は通常等脚台形である。これはインカのドアと窓の標準的なスタイルであった。^[22]

交差はしご問題とは、対角線の長さと垂直の辺から対角線の交点までの距離が与えられた場合に、直角台形の平行な辺間の距離を求める問題です。

形態学、分類学、その他の形状を表す用語が必要な記述学の分野では、台形や台形形などの用語は、特定の器官や形態を説明する際によく使用されます。^[23]

コンピュータ エンジニアリング、特にデジタル ロジックとコンピュータ アーキテクチャでは、台形はマルチプレクサを表すためによく使用されます。マルチプレクサは、複数の要素から選択し、選択した信号に基づいて単一の出力を生成するロジック要素です。一般的な設計では、台形は普遍的に同等であるため、マルチプレクサであることを特に示さずに使用されます。

• 台形の面を持つ立体、錐台
• ポライト数、台形数とも呼ばれる
• くさび形は、2 つの三角形と 3 つの台形の面で定義される多面体です。

• D. Fraivert、A. Sigler、M. Stupel: 台形と凸四辺形の共通の性質

• 数学百科事典の「台形」
• Weisstein、Eric W.「直角台形」。MathWorld。
• 台形の定義、台形の面積、台形の中心線（インタラクティブ アニメーション付き）
• elsy.at の台形 (北米): アニメーション コース (構築、円周、面積)
• 理系学部生のための数値計算法における台形則
• Autar Kaw と E. Eric Kalu、「数値計算法とその応用」 (2008)