プロクルステス分析

統計学において、プロクルステス分析は、一連の形状の分布を分析するために使用される統計的形状分析の一形式です。プロクルステス(ギリシャ語: Προκρούστης )という名前は、犠牲者の手足を伸ばしたり切断したりして自分のベッドにぴったり合うようにしたギリシャ神話の盗賊を指します。

数学では:

• 直交プロクラステス問題は、ある物体と別の物体とのプロクラステス重ね合わせ (PS) の最適な回転や反射(つまり、最適な直交線形変換)を見つけるために使用できる方法です。
• 制約付き直交プロクラステス問題は、det ( R ) = 1 (ここでRは直交行列) を条件とし、ある物体の PS を別の物体に対して最適に回転させる方法である(反射は許可されない)。この方法は、文脈によってはKabsch アルゴリズムと呼ばれることもある。

ある形状を別の形状と比較する場合、または一連の形状を任意に選択した基準形状と比較する場合、プロクラステス分析は、3 つ以上の形状を最適に決定された「平均形状」と比較する一般化プロクラステス分析(GPA)とは対照的に、さらに古典的または通常の分析として分類されることがあります。

2 つ以上のオブジェクトの形状を比較するには、まずオブジェクトを最適に「重ね合わせる」必要があります。プロクラステス重ね合わせ(PS) は、オブジェクトを最適に移動、回転、均一にスケーリングすることによって実行されます。言い換えると、空間内の配置とオブジェクトのサイズの両方が自由に調整されます。目的は、オブジェクト間のプロクラステス距離と呼ばれる形状の違いの尺度を最小化することで、同様の配置とサイズを得ることです。これは、スケーリングが実行されない (つまり、オブジェクトのサイズが保持される)部分PSとは対照的に、完全PS と呼ばれることがあります。完全 PS の後、オブジェクトの形状が同一であれば、オブジェクトは完全に一致することに注意してください。たとえば、完全 PS では、半径が異なる 2 つの球は常に一致します。これは、それらがまったく同じ形状であるためです。逆に、部分 PS では、それらが一致することはありません。これは、幾何学における形状という用語の厳密な定義により、形状分析は完全 PS を使用して実行する必要があることを意味します。部分 PS に基づく統計分析は、形状の違いだけでなくサイズの違いにも敏感であるため、純粋な形状分析ではありません。完全 PS と部分 PS のどちらも、立方体と球体、右手と左手など、形状が異なる 2 つのオブジェクトを完全に一致させることはできません。

場合によっては、完全な PS と部分的な PS の両方に反射が含まれることもあります。反射を使用すると、たとえば、右手を左手にうまく (おそらく完璧に) 重ね合わせることができます。したがって、反射が有効になっている部分的な PS では、サイズは保持されますが、平行移動、回転、反射が可能になります。一方、反射が有効になっている完全な PS では、平行移動、回転、拡大縮小、反射が可能になります。

最適な変換とスケーリングは、はるかに簡単な操作で決定されます (以下を参照)。

ここでは、 n次元の有限の数kの点から構成されるオブジェクトのみを検討します。多くの場合、これらの点は人間の骨などの複雑なオブジェクトの連続面上で選択され、この場合はランドマーク ポイントと呼ばれます。

オブジェクトの形状は、並進、回転、均一なスケーリング要素を削除することによって形成される同値クラスのメンバーと見なすことができます。

たとえば、オブジェクトのすべての点の平均(つまり、重心) が原点に位置するようにオブジェクトを移動することによって、オブジェクトから移動コンポーネントを削除できます。

数学的に言うと、2次元上の点 を取ります。${\displaystyle k}$

${\displaystyle ((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\dots ,(x_{k},y_{k}))\,}$。

これらの点の平均は ${\displaystyle ({\bar {x}},{\bar {y}})}$

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{k}}{k}},\quad {\bar {y}}={\frac {y_{1}+y_{2}+\cdots +y_{k}}{k}}.}$

ここで、これらの点を、その平均が原点に移動されるように変換して、点 を生成します。 ${\displaystyle (x,y)\to (x-{\bar {x}},y-{\bar {y}})}$${\displaystyle (x_{1}-{\bar {x}},y_{1}-{\bar {y}}),\dots }$

同様に、スケール成分は、点から移動原点までの二乗平均平方根距離 ( RMSD ) が 1 になるようにオブジェクトをスケーリングすることによって除去できます。この RMSD は、オブジェクトのスケールまたはサイズの統計的尺度です。

${\displaystyle s={\sqrt {{(x_{1}-{\bar {x}})^{2}+(y_{1}-{\bar {y}})^{2}+\cdots } \over k}}}$

ポイントの座標をオブジェクトの初期スケールで割ると、スケールは 1 になります。

${\displaystyle ((x_{1}-{\bar {x}})/s,(y_{1}-{\bar {y}})/s)}$。

文献ではスケールを定義および削除するための他の方法が使用される場合があることに注意してください。

回転成分の除去は、標準の参照方向が常に利用できるとは限らないため、より複雑です。スケールと移動が削除された、同じ数の点で構成される 2 つのオブジェクトを考えてみましょう。これらの点を、とします。これらのオブジェクトの 1 つを使用して、参照方向を提供できます。参照オブジェクトを固定し、対応する点間の距離の二乗の合計 ( SSD ) が最小になる最適な回転角度が見つかるまで、もう 1 つを原点を中心に回転させます (最小二乗法の例)。 ${\displaystyle ((x_{1},y_{1}),\ldots )}$${\displaystyle ((w_{1},z_{1}),\ldots )}$${\displaystyle \theta \,\!}$

角度による回転は ${\displaystyle \theta \,\!}$

${\displaystyle (u_{1},v_{1})=(\cos \theta \,w_{1}-\sin \theta \,z_{1},\,\sin \theta \,w_{1}+\cos \theta \,z_{1})\,\!}$。

ここで、(u,v)は回転した点の座標です。 を について微分し、微分がゼロのとき を解くと、${\displaystyle (u_{1}-x_{1})^{2}+(v_{1}-y_{1})^{2}+\cdots }$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \theta}$

${\displaystyle \theta =\tan ^{-1}\left({\frac {\sum _{i=1}^{k}(w_{i}y_{i}-z_{i}x_{i})}{\sum _{i=1}^{k}(w_{i}x_{i}+z_{i}y_{i})}}\right).}$

オブジェクトが 3 次元の場合、最適な回転は単純な角度ではなく、 3 行 3 列の回転行列 Rで表されます。この場合、特異値分解を使用してRの最適値を見つけることができます( det ( R ) = 1 を条件とする制約付き直交プロクラステス問題の解を参照)。

2 つのオブジェクトの形状の違いは、上で説明したように、2 つのオブジェクトを平行移動、拡大縮小、最適な回転によって「重ね合わせ」た後にのみ評価できます。対応するポイント間の上記の SSD の平方根は、この形状の違いの統計的尺度として使用できます。

${\displaystyle d={\sqrt {(u_{1}-x_{1})^{2}+(v_{1}-y_{1})^{2}+\cdots }}.}$

この尺度は、しばしばプロクルステス距離と呼ばれます。文献では、プロクルステス距離のより複雑な定義や、「形状の違い」の他の尺度が使用されることがあることに注意してください。

2 つの図形を重ね合わせる方法を示しました。3 つ以上の図形のセットを重ね合わせる場合にも、前述の参照方向がすべての図形に使用されている限り、同じ方法を適用できます。ただし、一般化プロクラステス分析は、この目的を達成するためのより優れた方法を提供します。

GPA は、プロクラステス分析法を適用して、任意に選択された形状にオブジェクトを重ねるのではなく、オブジェクトのセットを最適に重ね合わせます。

一般化プロクラステス分析と通常のプロクラステス分析の違いは、オブジェクトの参照方向の決定方法だけです。前者の手法では、参照方向が最適に決定され、後者では任意に選択されます。スケーリングと変換は、どちらの手法でも同じ方法で実行されます。2 つの形状のみを比較する場合、GPA は通常のプロクラステス分析と同等です。

アルゴリズムの概要は次のとおりです。

1. 参照シェイプを任意に選択する（通常は利用可能なインスタンスの中から選択する）
2. すべてのインスタンスを現在の参照シェイプに重ね合わせる
3. 現在の重ね合わせた形状セットの平均形状を計算する
4. 平均形状と参照形状間のプロクラステス距離が閾値を超える場合は、参照を平均形状に設定し、手順 2 に進みます。

オブジェクトの形状を表現する方法は多数あります。オブジェクトの形状は、n次元のk点のすべての集合、つまり R ^{kn を}取り、すべての移動、回転、およびスケーリングの集合を因数分解して形成される同値クラスのメンバーと見なすことができます。形状の特定の表現は、同値クラスの特定の表現を選択することで見つかります。これにより、次元kn -4 の多様体が得られます。プロクルステスは、特定の統計的正当性を備えたこれを行う 1 つの方法です。

ブックスタインは、基線と呼ばれる 2 つの点の位置を固定することによって形状の表現を取得します。1 つの点は原点に固定され、もう 1 つの点は (1,0) に固定され、残りの点はブックスタイン座標を形成します。

平行移動と回転の要素を取り除いた 形状とスケールを考慮することも一般的です。

形状分析は、例えば顎骨の形状を考慮する場合など、ランドマークデータによって特徴付けられる解剖学的特徴の変化を識別するために生物学的データで使用されます。 ^[1]

デイビッド・ジョージ・ケンドールによる研究では、立石が形成する三角形を調べ、これらが直線上に配置されていることが多いかどうかを推測しました。三角形の形状は球面上の点として表すことができ、すべての形状の分布は球面上の分布と考えることができます。立石のサンプル分布を理論分布と比較すると、直線の発生は平均的であることが示されました。^[2]

• アクティブシェイプモデル
• ランダムな点の配置
• 生体認証
• 一般化プロクルステス分析
• 画像登録
• ケント分布
• 形態測定
• 直交プロクルステス問題
• プロクルステス

• FL Bookstein,ランドマークデータのための形態測定ツール、ケンブリッジ大学出版局、(1991)。
• JC Gower、GB Dijksterhuis、『Procrustes 問題』、オックスフォード大学出版局 (2004)。
• ILDryden、KV Mardia、「統計的形状分析」、Wiley、チチェスター、(1998)。

ウィキメディア・コモンズには、プロクルステス分析に関連するメディアがあります。

• Michel Petitjean による、点と分布の連続体への拡張、プロクルステ法、形状認識、類似性、ドッキング。