ユニバーサル横メルカトル座標系

ユニバーサル横メルカトル図法( UTM ) は、地球の表面上の場所に座標を割り当てるための地図投影システムです。緯度と経度の従来の方法と同様に、これは水平位置の表現であり、高度を無視して地球の表面を完全な楕円体として扱います。ただし、地球を 60 のゾーンに分割し、各ゾーンを座標の基準として平面に投影する点で、グローバル緯度/経度とは異なります。場所を指定することは、ゾーンとその平面のx、y座標を指定することを意味します。回転楕円体からUTM ゾーンへの投影は、横メルカトル図法のパラメーター化です。パラメーターは、国​​や地域、マッピング システムによって異なります。

UTMのほとんどのゾーンは経度6度に及び、それぞれに指定された中心子午線があります。使用されているほとんどのUTMシステムでは、中心子午線の縮尺係数は実際の縮尺の0.9996に指定されています。^{[1] [2]}

アメリカ海洋大気庁（NOAA）のウェブサイトによると、このシステムは1940年代初頭からアメリカ陸軍工兵隊によって開発されたとのことです。 ^{[3]しかし、}ドイツ連邦公文書館の軍事部門であるBundesarchiv-Militärarchivで見つかった1943年から1944年にかけてのものと思われる一連の航空写真には、UTMREFという刻印があり、その後にグリッド文字と数字が続き、横メルカトル図法で投影されていました。 ^{[4]この発見は、1942年から1943年の間に}ドイツ国防軍によってUTM参照システムと呼ばれるものが開発されたことを示しています。これはおそらく航空写真部（Abteilung für Luftbildwesen）によって実行されました。1947年以降、アメリカ陸軍は非常によく似たシステムを採用しましたが、中央子午線での縮尺係数はドイツの1.0ではなく、現在標準となっている0.9996でした。^[4]アメリカ合衆国本土内の地域では、 1866年のクラーク楕円体^{[5]が使用されました。}ハワイを含む地球の残りの地域では、国際楕円体^[6]が使用されました。現在、UTM座標系で地球をモデル化するために一般的に使用されている世界測地系WGS84楕円体は、特定の地点における現在のUTM北座標が古いものと最大200メートル異なる可能性があることを意味します。地理的に異なる地域では、他のデータムシステムを使用することができます。

ユニバーサル横メルカトル座標系が開発される前、いくつかのヨーロッパ諸国は、戦間期に自国の領土を地図化することで、グリッドベースの正角地図の有用性を実証しました。これらの地図上の 2 点間の距離の計算は、経緯度ベースの緯度と経度のシステムで必要な三角法の公式を使用するよりも、現場でより簡単に実行できました (ピタゴラスの定理を使用) 。戦後、これらの概念は、グリッドベースの地図のグローバル (またはユニバーサル) システムであるユニバーサル横メルカトル/ユニバーサル極平射図(UTM/UPS) 座標系に拡張されました。

横メルカトル図法は、もともと1570 年にフランドルの地理学者で地図製作者のゲラルドゥス・メルカトルによって開発されたメルカトル図法の変形です。この図法は正角図法で、小さな領域全体で角度と形状が維持されます。ただし、距離と面積は歪みます。

UTM システムは地球を 60 のゾーンに分割し、各ゾーンの幅は経度 6° です。ゾーン 1 は西経 180° から 174° をカバーし、ゾーン番号は東に向かって増加し、東経 174° から 180° をカバーするゾーン 60 になります。南緯80°より南と北緯84°より北の極地域は除外され、代わりにユニバーサル極平射 (UPS)座標系でカバーされます。

60 の各ゾーンでは、南北に広がる広い地域を歪みの少ない地図にできる横メルカトル図法が使用されています。幅 6° の狭いゾーン (最大 668 km) を使用し、中央子午線に沿った縮尺係数を 0.9996 (1:2500 の縮小) に減らすことで、各ゾーン内の歪みの量は 1,000 分の 1 未満に抑えられています。縮尺の歪みは、赤道に沿ったゾーン境界で 1.0010 まで増加します。

各ゾーンでは、中心子午線の縮尺係数によって横方向の円筒の直径が縮小され、中心子午線の両側に約 180 km ずつあり、中心子午線とほぼ平行な 2 本の標準線、つまり実際の縮尺の線 (赤道では arc cos 0.9996 = 1.62°) を持つ割線投影が生成されます。縮尺は標準線の内側では 1 未満、外側では 1 より大きくなりますが、全体的な歪みは最小限に抑えられます。

UTMゾーンは、2つの地域を除いて世界中で均一です。ノルウェーの南西海岸では、ゾーン32がさらに3°西に拡張され、ゾーン31はそれに応じて縮小され、開水面のみをカバーするようになっています。また、スヴァールバル諸島周辺の地域では、ゾーン32、34、36は使用されず、ゾーン31（9°幅）、33（12°幅）、35（12°幅）、37（9°幅）が拡張されて隙間をカバーしています。

UTM ゾーン間の境界に近づくにつれて、各 UTM ゾーンのスケールの歪みが大きくなります。ただし、隣接する 2 つのゾーンにまたがる位置がある場合は、一連の位置を 1 つのグリッドで測定することが便利であったり、必要であったりすることがよくあります。大縮尺の地図 (1:100,000 以上) の境界付近では、隣接する両方の UTM ゾーンの座標が、ゾーン境界の両側で最小 40 km 以内に印刷されているのが一般的です。理想的には、各位置の座標は、その位置が位置するゾーンのグリッドで測定する必要がありますが、ゾーン境界付近ではスケール係数がまだ比較的小さいため、必要に応じて、隣接するゾーンに測定値を重ねて、ある程度の距離測定することも可能です。

緯度帯はUTMの一部ではなく^{[7] 、}軍事グリッド参照システム（MGRS）の一部です。 ^[8]ただし、UTM表記に含まれることもあります。UTM表記に緯度帯を含めると、あいまいな座標につながる可能性があります。文字「S」は南半球または北半球の緯度帯のいずれかを指すため、UTM表記には使用しないでください。

地球上の位置は、UTM ゾーン番号と半球指定子、およびそのゾーン内の東と北の平面座標のペアによって示されます。

各UTMゾーンの原点は、赤道とゾーンの中央子午線の交点です。負の数を扱うのを避けるために、中央子午線に-500,000メートルが追加されます。したがって、東経が400,000メートルは中央子午線から西に約100kmです。ほとんどのそのような地点では、投影の歪みにより、地球の表面で測定された実際の距離は100kmをわずかに超える程度です。UTMの東経は約166,000メートル​赤道では 834,000メートル。

北半球では、位置は赤道のゼロから北に向かって測定されます。最大の「北」値は約北緯84度で930万メートル、UTMゾーンの北端。南半球の赤道での北は10 000 000メートル。北緯はここから南に下がる。1000万メートルから約1,100,000メートル、南緯 80 度、UTM ゾーンの南端。したがって、負の北値を持つポイントはありません 。

たとえば、CNタワーは43°38′33.24″N 79°23′13.7″W / 43.6425667°N 79.387139°W / 43.6425667; -79.387139 (CNタワー)にあり、UTMゾーン17にあり、グリッド位置は630 084 メートル東、北に4,833,438  m。ゾーン 17 の 2 つのポイントにこれらの座標があり、1 つは北半球、もう 1 つは南半球にあります。明確な形式では、ゾーン全体と半球の指定子を指定します。つまり、「17N 630084 4833438」となり ます。

これらの公式は、 1912年にヨハン・ハインリヒ・ルイス・クルーガーによって最初に導き出された横メルカトル図法の平坦化版である。^[9]これらの公式は、中央子午線から3000km 。 ^[10]それらの導出に関する簡潔な解説も与えられている。^{[11] [12]}

WGS 84 空間参照システムでは、地球は南北軸に沿った扁平回転楕円体で、赤道半径はkm、逆扁平率はであると説明されています。緯度 の点と経度 の点を取り、経度 の基準子午線を使用して、その UTM 座標、点のスケール係数、子午線収束を計算してみましょう。慣例により、北半球ではkm、南半球ではkm です。慣例により、およびkmも使用されます。 ${\displaystyle a=6378.137}$${\displaystyle 1/f=298.257\,223\,563}$${\displaystyle \,\varphi}$${\displaystyle \,\lambda }$ ${\displaystyle k\,\!}$ ${\displaystyle \gamma \,\!}$${\displaystyle \lambda_{0}}$ ${\displaystyle N_{0}=0}$ ${\displaystyle N_{0}=10000}$${\displaystyle k_{0}=0.9996}$${\displaystyle E_{0}=500}$

以下の式では、距離はキロメートル単位です。まず、予備的な値をいくつか示します。

${\displaystyle {\begin{aligned}n&={\frac {f}{2-f}},&A&={\frac {a}{1+n}}\left(1+{\frac {n^{2}}{4}}+{\frac {n^{4}}{64}}+\cdots \right),\\{}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1}&={\frac {1}{2}}n-{\frac {2}{3}}n^{2}+{\frac {5}{16}}n^{3},&\alpha _{2}&={\frac {13}{48}}n^{2}-{\frac {3}{5}}n^{3},&\alpha _{3}&={\frac {61}{240}}n^{3},\\[12pt]\beta _{1}&={\frac {1}{2}}n-{\frac {2}{3}}n^{2}+{\frac {37}{96}}n^{3},&\beta _{2}&={\frac {1}{48}}n^{2}+{\frac {1}{15}}n^{3},&\beta _{3}&={\frac {17}{480}}n^{3},\\[12pt]\delta _{1}&=2n-{\frac {2}{3}}n^{2}-2n^{3},&\delta _{2}&={\frac {7}{3}}n^{2}-{\frac {8}{5}}n^{3},&\delta _{3}&={\frac {56}{15}}n^{3}.\end{aligned}}}$

まず、いくつかの中間値を計算します。

${\displaystyle t=\sinh \left(\tanh ^{-1}\left(\sin \varphi \right)-{\frac {2{\sqrt {n}}}{1+n}}\tanh ^{-1}\left({\frac {2{\sqrt {n}}}{1+n}}\sin \varphi \right)\right),}$

${\displaystyle \xi '=\tan ^{-1}\left({\frac {t}{\cos(\lambda -\lambda _{0})}}\right),\,\,\,\eta '=\tanh ^{-1}\left({\frac {\sin(\lambda -\lambda _{0})}{\sqrt {1+t^{2}}}}\right),}$

${\displaystyle \sigma =1+\sum _{j=1}^{3}2j\alpha _{j}\cos(2j\xi ')\cosh(2j\eta '),\,\,\,\tau =\sum _{j=1}^{3}2j\alpha _{j}\sin(2j\xi ')\sinh(2j\eta ').}$

最終的な式は次のようになります。

${\displaystyle E=E_{0}+k_{0}A\left(\eta '+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}\cos(2j\xi ')\sinh(2j\eta ')\right),}$

${\displaystyle N=N_{0}+k_{0}A\left(\xi '+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}\sin(2j\xi ')\cosh(2j\eta ')\right),}$

${\displaystyle k={\frac {k_{0}A}{a}}{\sqrt {\left\{1+\left({\frac {1-n}{1+n}}\tan \varphi \right)^{2}\right\}{\frac {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}{t^{2}+\cos ^{2}(\lambda -\lambda _{0})}}}},}$

${\displaystyle \gamma =\tan ^{-1}\left({\frac {\tau {\sqrt {1+t^{2}}}+\sigma t\tan(\lambda -\lambda _{0})}{\sigma {\sqrt {1+t^{2}}}-\tau t\tan(\lambda -\lambda _{0})}}\right).}$

ここで、は東、は北、はスケール係数、はグリッド収束です。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle N}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \gamma }$

注: 北半球の場合はヘミ = +1、南半球の場合はヘミ = −1

まず、いくつかの中間値を計算してみましょう。

${\displaystyle \xi ={\frac {N-N_{0}}{k_{0}A}},\,\,\,\eta ={\frac {E-E_{0}}{k_{0}A}},}$

${\displaystyle \xi '=\xi -\sum _{j=1}^{3}\beta _{j}\sin \left(2j\xi \right)\cosh \left(2j\eta \right),\,\,\,\eta '=\eta -\sum _{j=1}^{3}\beta _{j}\cos \left(2j\xi \right)\sinh \left(2j\eta \right),}$

${\displaystyle \sigma '=1-\sum _{j=1}^{3}2j\beta _{j}\cos \left(2j\xi \right)\cosh \left(2j\eta \right),\,\,\,\tau '=\sum _{j=1}^{3}2j\beta _{j}\sin \left(2j\xi \right)\sinh \left(2j\eta \right),}$

${\displaystyle \chi =\sin ^{-1}\left({\frac {\sin \xi '}{\cosh \eta '}}\right).}$

最終的な式は次のようになります。

${\displaystyle \varphi =\chi +\sum _{j=1}^{3}\delta _{j}\sin \left(2j\chi \right),}$

${\displaystyle \lambda _{0}=\mathrm {Z} \mathrm {o} \mathrm {n} \mathrm {e} \times 6^{\circ }-183^{\circ }\,}$

${\displaystyle \lambda =\lambda _{0}+\tan ^{-1}\left({\frac {\sinh \eta '}{\cos \xi '}}\right),}$

${\displaystyle k={\frac {k_{0}A}{a}}{\sqrt {\left\{1+\left({\frac {1-n}{1+n}}\tan \varphi \right)^{2}\right\}{\frac {\cos ^{2}\xi '+\sinh ^{2}\eta '}{\sigma '^{2}+\tau '^{2}}}}},}$

${\displaystyle \gamma =\mathrm {H} \mathrm {e} \mathrm {m} \mathrm {i} \times \tan ^{-1}\left({\frac {\tau '+\sigma '\tan \xi '\tanh \eta '}{\sigma '-\tau '\tan \xi '\tanh \eta '}}\right).}$

• 欧州地球基準座標系 1989 (ETRS89)
• 軍事用グリッド参照システム。座標の転送を簡素化するために設計された UTM の派生型です。
• 修正横メルカトル図法は、カナダで使用されている UTM のバリエーションで、ゾーンの間隔は経度で UTM の 6° に対して 3° です。
• 横メルカトル図法、UTM で使用される地図投影法。
• 北極と南極で使用されるユニバーサル極平射座標系。
• オープンロケーションコード、階層型ゾーンシステム
• 階層型ゾーンシステムであるMapCode

• Google マップの UTM 座標。
• UTM 投影を理解する。

• スナイダー、ジョン P. (1987)。地図投影法 - 実用マニュアル。米国地質調査所専門論文 1395。米国政府印刷局、ワシントン DC