q-ポッホハマー記号

数学の組合せ論の分野において、qポッホハマー記号はqシフト階乗とも呼ばれ、 との積です。 これは、 という意味で ポッホハマー記号のq類似体です。q ポッホハマー 記号は、 q類似体の構築における主要な構成要素です。たとえば、基本超幾何級数の理論では、一般化超幾何級数の理論で通常のポッホハマー記号が果たす役割を果たします。 $${\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1- aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1}),}$$${\displaystyle (a;q)_{0}=1.}$ ${\displaystyle (x)_{n}=x(x+1)\dots (x+n-1)}$$${\displaystyle \lim _{q\to 1}{\frac {(q^{x};q)_{n}}{(1-q)^{n}}}=(x)_{n}.}$$

通常のポッホハマー記号とは異なり、q -ポッホハマー記号は無限積に拡張できます。 これは、単位円の内部におけるqの解析関数であり、 qの形式的な冪級数と見なすこともできます。この特殊なケースは オイラー関数 として知られ、組合せ論、数論、モジュラー形式の理論で重要です。 $${\displaystyle (a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k}).}$$$${\displaystyle \phi (q)=(q;q)_{\infty }=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})}$$

有限積は、無限積を使って表現できます。 これは、負の整数n に定義を拡張します。したがって、非負のnに対して 、 および が成り立ちます 。あるいは、 これは、パーティション関数の生成関数の一部に役立ちます。 $${\displaystyle (a;q)_{n}={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}},}$$$${\displaystyle (a;q)_{-n}={\frac {1}{(aq^{-n};q)_{n}}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{(1-a/q^{k})}}}$$$${\displaystyle (a;q)_{-n}={\frac {(-q/a)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q/a;q)_{n}}}.}$$$${\displaystyle \prod _{k=n}^{\infty }(1-aq^{k})=(aq^{n};q)_{\infty }={\frac {(a;q) _{\infty }}{(a;q)_{n}}},}$$

qポッホハマー記号は、数多くのq級数の恒等式、特に無限級数展開 の対象であり 、 これらは両方ともq二項定理 の特殊なケースです。Fridrikh Karpelevich は次の恒等式を発見しました (証明については Olshanetsky と Rogov (1995) を参照)。 $${\displaystyle (x;q)_{\infty }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n-1)/2 }}{(q;q)_{n}}}x^{n}}$$$${\displaystyle {\frac {1}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{(q;q)_{n}}},}$$$${\displaystyle {\frac {(ax;q)_{\infty }}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}x^{n}.}$$ $${\displaystyle {\frac {(q;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n+1)/2}}{(q;q)_{n}(1-zq^{-n})}},\ |z|<1.}$$

q -ポッホハマー記号は、分割の列挙的組合せ論と密接に関係しています。 の係数は、 mを最大でn 個の部分に 分割する数です。 分割の共役により、これはmを最大でn 個のサイズの部分へ分割する数と同じであるため、生成級数の同一視により 、上記のセクションのように 恒等式が得られます 。${\displaystyle q^{m}a^{n}}$$${\displaystyle (a;q)_{\infty }^{-1}=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k})^{-1}}$$$${\displaystyle (a;q)_{\infty }^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a^{k}}{(q;q)_{k}}}}$$

また、の 係数は、 mをn 個またはn -1 個の異なる部分 に 分割する数であることもわかります。${\displaystyle q^{m}a^{n}}$$${\displaystyle (-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})}$$

このような分割からn − 1 個の部分を持つ三角分割を取り除くと、最大でn個の部分を持つ任意の分割が残る。これにより、 n個またはn − 1 個の異なる部分への分割の集合と、 n − 1個の部分を持つ三角分割と最大でn個の部分を持つ分割のペアの集合との間に、重み保存一対一の関係が成立する。生成級数を識別することにより、これ も上の節で説明した恒等式につながる 。関数の逆数は同様に、分割関数の生成関数 として生じ、これも以下に示す 2 番目の 2 つのq 級数展開によって展開される。^[1]$${\displaystyle (-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})=\sum _{k=0}^{\infty }\left(q^{k \choose 2}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {q^{k \choose 2}}{(q;q)_{k}}}a^{k}}$$${\displaystyle (q)_{\infty }:=(q;q)_{\infty }}$${\displaystyle p(n)}$ $${\displaystyle {\frac {1}{(q;q)_{\infty }}}=\sum _{n\geq 0}p(n)q^{n}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n}}{(q;q)_{n}}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}^{2}}}.}$$

q二項定理自体も、同様の趣旨の、もう少し複雑な組み合わせ論的議論によって扱うことができます (次のサブセクションに示す展開も参照してください)。

同様に、 $${\displaystyle (q;q)_{\infty }=1-\sum _{n\geq 0}q^{n+1}(q;q)_{n}=\sum _{n\geq 0}q^{\frac {n(n+1)}{2}}{\frac {(-1)^{n}}{(q;q)_{n}}}.}$$

q -ポッホハマー記号を含む恒等式には多くの記号の積が含まれることが多いため、積を複数の引数を持つ単一の記号として記述するのが標準的な規則です。 $${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}.}$$

q級数とは、係数が q の関数、典型的には の表現である級数である。 [ 2 ]初期の^結果はオイラー、ガウス、コーシーによるものである。体系的な研究はエドゥアルト・ハイネ（1843）から始まった。^[3]${\displaystyle (a;q)_{n}}$

nの q 類似体、つまりq 括弧または n の q 数とは、次のように定義されます。 これから、階乗のq類似体であるq階乗を次のように定義できます。 $${\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}.}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[n\right]!_{q}&=\prod _{k=1}^{n}[k]_{q}=[1]_{q}\cdot [2]_{q}\cdots [n-1]_{q}\cdot [n]_{q}\\&={\frac {1-q}{1-q}}{\frac {1-q^{2}}{1-q}}\cdots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}\\&=1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1})\\&={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}\\\end{aligned}}}$$

これらの数字は 、 $${\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}[n]_{q}=n,}$$$${\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}[n]!_{q}=n!.}$$

極限値n !は、 n要素の集合Sの順列を数えます。同様に、ちょうどi個の要素を含む入れ子集合のシーケンスの数を数えます。^[4] 比較すると、qが素数冪で、V がq個の要素を持つ体上のn次元ベクトル空間である場合、q類似体はV内の完全なフラグの数、つまり、 i次元を持つ部分空間のシーケンスの数です。^[4] これまでの考察から、入れ子集合のシーケンスを、1 つの要素を持つ推測体上のフラグと見なすことができることがわかります。 ${\displaystyle E_{1}\subset E_{2}\subset \cdots \subset E_{n}=S}$${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle [n]!_{q}}$${\displaystyle V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{n}=V}$${\displaystyle V_{i}}$

負の整数q括弧の積はq階乗 で次のように表すことができます。$${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}[-k]_{q}={\frac {(-1)^{n}\,[n]!_{q}}{q^{n(n+1)/2}}}}$$

q階乗からq二項係数（ガウス二項係数とも呼ばれる）を次のように定義することができます。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]!_{q}}{[n-k]!_{q}[k]!_{q}}},}$$

ここで、これらの係数の三角形が対称的であることは容易に分かる。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}}_{q}={\begin{bmatrix}n\\n-m\end{bmatrix}}_{q}}$

すべてについて。 ${\displaystyle 0\leq m\leq n}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}n+1\\k\end{bmatrix}}_{q}&={\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}+q^{n-k+1}{\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}\\&={\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}+q^{k}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}.\end{aligned}}}$$

前述の再帰関係から、 -二項定理の次の変形がこれらの係数に関して次のように展開されることも分かる。 ^[5]${\displaystyle q}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(z;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q}(-z)^{j}q^{\binom {j}{2}}=(1-z)(1-qz)\cdots (1-zq^{n-1})\\(-q;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q^{2}}q^{j}\\(q;q^{2})_{n}&=\sum _{j=0}^{2n}{\begin{bmatrix}2n\\j\end{bmatrix}}_{q}(-1)^{j}\\{\frac {1}{(z;q)_{m+1}}}&=\sum _{n\geq 0}{\begin{bmatrix}n+m\\n\end{bmatrix}}_{q}z^{n}.\end{aligned}}}$$

さらに、を満たす非負の整数引数を 持つq多項式係数 を定義することもできます。上記の係数は、となるq個の要素を持つ体上のn次元ベクトル空間 内の部分空間の旗の数を数えます 。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k_{1},\ldots ,k_{m}\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]!_{q}}{[k_{1}]!_{q}\cdots [k_{m}]!_{q}}},}$$${\displaystyle k_{1},\ldots ,k_{m}}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}k_{i}=n}$${\displaystyle V_{1}\subset \dots \subset V_{m}}$${\displaystyle \dim V_{i}=\sum _{j=1}^{i}k_{j}}$

極限は通常の多項係数を与え、これはn 個の異なるシンボル内の各 が回出現する単語を数えます。 ${\displaystyle q\to 1}$${\displaystyle {n \choose k_{1},\dots ,k_{m}}}$${\displaystyle \{s_{1},\dots ,s_{m}\}}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle k_{i}}$

また、ガンマ関数のq 類似体であるq-ガンマ関数も得られ、次のように定義されます 。これは、単位円の内側から q が1 に近づく につれて、通常のガンマ関数に収束します。任意のx に対して、および 負でない整数値のnに対してであることに注意してください。あるいは、これはq階乗関数の実数系へ の拡張として考えることができます。$${\displaystyle \Gamma _{q}(x)={\frac {(1-q)^{1-x}(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}}}$$$${\displaystyle \Gamma _{q}(x+1)=[x]_{q}\Gamma _{q}(x)}$$$${\displaystyle \Gamma _{q}(n+1)=[n]!_{q}}$$

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• ロジャース・ラマヌジャン連分数

• George Gasper とMizan Rahman、「Basic Hypergeometric Series、第 2 版」、 (2004)、Encyclopedia of Mathematics and Its Applications、96、Cambridge University Press、Cambridge。ISBN 0-521-83357-4。 
• Roelof Koekoek と Rene F. Swarttouw、「直交多項式の Askey スキームとその q 類似体」、セクション 0.2。
• エクストン、H. (1983)、q-超幾何関数とその応用、ニューヨーク：ハルステッドプレス、チチェスター：エリスホーウッド、1983、ISBN 0853124914、 ISBN 0470274530、ISBN 978-0470274538   
• MA Olshanetsky と VBK Rogov (1995)、「修正 q-ベッセル関数と q-ベッセル-マクドナルド関数」、arXiv:q-alg/9509013。

• Weisstein、Eric W.「q-Analog」。MathWorld。
• Weisstein、Eric W.「q-Bracket」。MathWorld。
• Weisstein、Eric W.「q-Factorial」。MathWorld。
• Weisstein、Eric W.「q シリーズ」。MathWorld。
• Weisstein、Eric W.「q-二項係数」。MathWorld。