群ホップ代数

数学において、与えられた群のホップ代数は、群作用の対称性に関連する特定の構成です。群ホップ代数の変形は、量子群の理論の基礎となります。

Gを群、k を体とする。kG (またはk [ G ])と表記されるk上のGの群ホップ代数は、集合 (およびベクトル空間)としてk上のG上の自由ベクトル空間である。代数として、その積はGにおける群合成の線形拡張によって定義され、乗法単位はGにおける単位元である。この積は畳み込みとしても知られている。

有限群の群代数は群上の関数の空間と同一視できますが、無限群の場合は異なります。有限和からなる群代数は、有限個の点に対して消える群上の関数に対応します。位相的には（離散位相を使用）、これらはコンパクトなサポートを持つ関数です。

しかし、群代数と、つまりGのkへの関数の可換代数は双対です。群代数の元と群上の関数が与えられると、これらがペアになってkの元を与え、その和は有限であるため明確に定義されます。 ${\displaystyle k[G]}$${\displaystyle k^{G}}$${\displaystyle x=\sum _{g\in G}a_{g}g}$${\displaystyle f\colon G\to k,}$${\displaystyle (x,f)=\sum _{g\in G}a_{g}f(g),}$

kGに可換ホップ代数の構造を与えるために、余積、余単位、反対称体をG上で定義された次の写像の線型拡張として定義する：^[1]

${\displaystyle \Delta (x)=x\otimes x;}$

${\displaystyle \epsilon (x)=1_{k};}$

${\displaystyle S(x)=x^{-1}.}$

必要なホップ代数互換性公理は簡単に確認できます。kGの群のような元 (つまり、および となるような元)の集合は、まさにGであることに注意してください。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}(kG)}$${\displaystyle a\in kG}$${\displaystyle \Delta (a)=a\otimes a}$${\displaystyle \epsilon (a)=1}$

Gを群、X を位相空間とする。G の X への任意の作用は準 同型を与える。ここでF ( X )は、無限遠で消える連続関数のゲルファント・ナイマーク代数などの、k値関数の適切な代数である。準同型はによって定義され、随伴はによって定義される。 ${\displaystyle \alpha \colon G\times X\to X}$ ${\displaystyle \phi _{\alpha }\colon G\to \mathrm {Aut} (F(X))}$${\displaystyle C_{0}(X)}$${\displaystyle \phi _{\alpha }}$${\displaystyle \phi _{\alpha }(g)=\alpha _{g}^{*}}$${\displaystyle \alpha _{g}^{*}}$

${\displaystyle \alpha _{g}^{*}(f)x=f(\alpha (g,x))}$

、およびの場合。 ${\displaystyle g\in G,f\in F(X)}$${\displaystyle x\in X}$

これは線形写像で記述できる。

${\displaystyle \lambda \colon kG\otimes F(X)\to F(X)}$

${\displaystyle \lambda ((c_{1}g_{1}+c_{2}g_{2}+\cdots )\otimes f)(x)=c_{1}f(g_{1}\cdot x)+c_{2}f(g_{2}\cdot x)+\cdots }$

ここで、、はGの元であり、 は、 の群のような元がF ( X )の自己同型を生じるという性質を持ちます。 ${\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots \in k}$${\displaystyle g_{1},g_{2},\ldots }$${\displaystyle g_{i}\cdot x:=\alpha (g_{i},x)}$${\displaystyle kG}$

${\displaystyle \lambda}$F ( X )に以下に説明する重要な追加構造を 与えます。

Hをホップ代数とする。（左）ホップH加群代数 Aは、代数H上の（左）加群であって、 かつ${\displaystyle h\cdot 1_{A}=\epsilon (h)1_{A}}$

${\displaystyle h\cdot (ab)=(h_{(1)}\cdot a)(h_{(2)}\cdot b)}$

のときはいつでも、また和のないスウィードラー記法では となる。が前の節のように定義されているとき、これはF ( X ) を左ホップkG加群代数に変換し、次の構成を可能にする。 ${\displaystyle a,b\in A}$${\displaystyle h\in H}$${\displaystyle \Delta (h)=h_{(1)}\otimes h_{(2)}}$${\displaystyle \lambda}$

Hをホップ代数、Aを左ホップH加群代数と する。スマッシュ積代数は、積が${\displaystyle A\mathop {\#} H}$${\displaystyle A\otimes H}$

${\displaystyle (a\otimes h)(b\otimes k):=a(h_{(1)}\cdot b)\otimes h_{(2)}k}$、

そしてこの文脈では「 」と書きます。^[2]${\displaystyle a\mathop {\#} h}$${\displaystyle a\otimes h}$

この場合、およびであり、 ${\displaystyle A=F(X)}$${\displaystyle H=kG}$

${\displaystyle (a\mathop {\#} g_{1})(b\mathop {\#} g_{2})=a(g_{1}\cdot b)\mathop {\#} g_{1}g_{2}}$。

この場合、スマッシュ積代数は とも表記されます。 ${\displaystyle A\mathop {\#} kG}$${\displaystyle A\mathop {\#} G}$

ホップスマッシュ積の巡回ホモロジーが計算されている。[ 3 ^]しかし、そこではスマッシュ積は交差積と呼ばれ、-と表記される。-力学系から導かれる交差積と混同しないように注意すること。^[4]${\displaystyle A\rtimes H}$${\displaystyle C^{*}}$