安定ホモトピー理論

数学において、安定ホモトピー理論は、ホモトピー理論（および代数位相幾何学）の一部であり、懸垂関数を十分多くの回数適用した後に残るすべての構造と現象に関係する。基礎的な結果はフロイトエンタールの懸垂定理であり、これは、任意の尖った空間 が与えられた場合、ホモトピー群は十分に大きいに対して安定するというものである。特に、球面のホモトピー群はに対して安定する。例えば、 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi _{n+k}(\Sigma ^{n}X)}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \pi _{n+k}(S^{n})}$${\displaystyle n\geq k+2}$

${\displaystyle \langle {\text{id}}_{S^{1}}\rangle =\mathbb {Z} =\pi _{1}(S^{1})\cong \pi _{2} (S^{2})\cong \pi _{3}(S^{3})\cong \cdots }$

${\displaystyle \langle \eta \rangle =\mathbb {Z} =\pi _{3}(S^{2})\to \pi _{4}(S^{3})\cong \pi _{ 5}(S^{4})\cong \cdots }$

上記の 2 つの例では、ホモトピー群間のすべての写像は、サスペンション ファンクタの適用です。最初の例は、 というHurewicz の定理の標準的な系です。2 番目の例では、ホップ写像 がそのサスペンション に写像され、 が生成されます。 ${\displaystyle \pi _{n}(S^{n})\cong \mathbb {Z} }$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle \Sigma \eta }$${\displaystyle \pi _{4}(S^{3})\cong \mathbb {Z} /2}$

安定ホモトピー理論における最も重要な問題の一つは、球面の安定ホモトピー群の計算である。フロイデンタールの定理によれば、安定範囲における球面のホモトピー群は、領域とターゲットにおける球面の特定の次元ではなく、それらの次元の差に依存する。これを念頭に置くと、k番目の安定ステムは

${\displaystyle \pi _{k}^{s}:=\lim _{n}\pi _{n+k}(S^{n})}$。

これはすべてのkに対してアーベル群です。これらの群は に対して有限であるというジャン＝ピエール・セールの定理^[1]があります。実際、合成により は次数付き環になります。西田五郎の定理^[2]によれば、この環のすべての正次数は冪零です。したがって、唯一の素イデアルは の素数です。そのため、 の構造は非常に複雑です。 ${\displaystyle k\neq 0}$${\displaystyle \pi_{*}^{S}}$${\displaystyle \pi _{0}^{s}\cong \mathbb {Z} }$${\displaystyle \pi_{*}^{s}}$

安定ホモトピー理論の現代的な扱いでは、空間は典型的にはスペクトルに置き換えられます。この考え方に従えば、安定ホモトピーカテゴリ全体を作成できます。このカテゴリには、サスペンションファンクタが可逆になるという事実から、空間の（不安定な）ホモトピーカテゴリには存在しない多くの優れた特性があります。たとえば、コファイブレーションシーケンスとファイブレーションシーケンスの概念は同等です。

• アダムス濾過
• アダムススペクトル列
• 色彩ホモトピー理論
• 同変安定ホモトピー理論
• べき乗零定理

• アダムス、J.フランク（1966）、安定ホモトピー理論、改訂第2版。カリフォルニア大学バークレー校での講義、第1961巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー出版社、MR  0196742
• May, J. Peter (1999)、「安定代数位相幾何学、1945-1966」(PDF)、安定代数位相幾何学、1945--1966、アムステルダム: North-Holland、pp. 665–723、CiteSeerX  10.1.1.30.6299、doi :10.1016/B978-044482375-5/50025-0、ISBN 9780444823755、MR  1721119
• レイヴネル、ダグラス C. (1992)、「安定ホモトピー理論における冪零性と周期性」、数学研究年報、第 128 巻、プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-02572-8、MR  1192553