アフィンモノイド

数学の一分野である抽象代数学において、アフィンモノイドは有限生成の可換モノイドであり、自由アーベル群のサブモノイドと同型である。^{[1]アフィンモノイドは}凸多面体 と密接に関連しており、関連する代数はこれらの幾何学的オブジェクトの代数的研究に非常に役立つ。 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d},d\geq 0}$

• アフィンモノイドは有限生成である。これはモノイドに対して、${\displaystyle M}$${\displaystyle m_{1},\dots ,m_{n}\in M}$

${\displaystyle M=m_{1}\mathbb {Z_{+}} +\dots +m_{n}\mathbb {Z_{+}} }$。

• アフィンモノイドは相殺可能である。言い換えれば、

${\displaystyle x+y=x+z}$は、すべての に対してが成り立つことを意味します。ここで、 はアフィンモノイド 上の二項演算を表します。${\displaystyle y=z}$${\displaystyle x,y,z\in M}$${\displaystyle +}$${\displaystyle M}$

• アフィンモノイドも捩れなしです。アフィンモノイド の場合、、および に対してが成り立ちます。${\displaystyle M}$${\displaystyle nx=ny}$${\displaystyle x=y}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle x,y\in M}$
• モノイドのサブセットで、それ自体が に対する演算に関してモノイドである場合、それは のサブモノイドです。${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

• のすべてのサブモノイドは有限生成です。したがって、のすべてのサブモノイドはアフィンです。${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• のサブモノイドは有限生成ではないため、アフィンではありません。${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \mid y>0\}\cup \{(0,0)\}}$${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$
• 2 つのアフィンモノイドの交差はアフィンモノイドです。

がアフィンモノイドである場合、それを群に埋め込むことができます。より具体的には、 を埋め込むことができる差分群と呼ばれる唯一の群 が存在します。${\displaystyle M}$${\displaystyle gp(M)}$${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle gp(M)}$は、同値類の集合として見ることができる。ここで、の場合、 の場合に限り、であり、${\displaystyle xy}$${\displaystyle xy=uv}$${\displaystyle x+v+z=u+y+z}$${\displaystyle z\in M}$

${\displaystyle (xy)+(uv)=(x+u)-(y+v)}$追加を定義します。^[1]

• アフィンモノイドのランクは群のランクである。[ ^1]${\displaystyle M}$${\displaystyle gp(M)}$
• アフィンモノイドが のサブモノイドとして与えられた場合、 となる。ここで はのサブグループである。^[1]${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{r}}$${\displaystyle gp(M)\cong \mathbb {Z} M}$${\displaystyle \mathbb {Z} M}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{r}}$

• がアフィンモノイドである場合、によって定義されるモノイド準同型は次の普遍的性質を満たします。${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \iota :M\to gp(M)}$${\displaystyle \iota (x)=x+0}$

任意のモノイド準同型 （ただし は群）に対して、となる唯一の群準同型 が存在し、アフィンモノイドは相殺可能であるため、 は埋め込みであることがわかります。言い換えると、すべてのアフィンモノイドは群に埋め込むことができます。${\displaystyle \varphi :M\to G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \psi :gp(M)\to G}$${\displaystyle \varphi =\psi \circ \iota }$${\displaystyle \iota}$

• がアフィンモノイドのサブモノイドである場合、サブモノイド${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\hat {M}}_{N}=\{x\in N\mid mx\in M,m\in \mathbb {N} \}}$

はにおけるの整閉包です。 の場合、 は整閉です。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M={\hat {M_{N}}}}$${\displaystyle M}$

• アフィンモノイドの正規化はにおけるの整閉包である。 の正規化が自身である場合、 は正規アフィンモノイドである。^[1]${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle gp(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$
• モノイドは、有限生成かつである場合に限り、正規アフィンモノイドです。${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+}M}$${\displaystyle M=\mathbb {Z} ^{r}\cap \mathbb {R} _{+}M}$

参照:グループリング

• をアフィンモノイド、可換環とします。すると、アフィンモノイド環を形成できます。これは自由基底 を持つ - 加群なので、であれば、${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[M]}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle f\in R[M]}$

${\displaystyle f=\sum _{i=1}^{n}f_{i}x_{i}}$、ここで、および。${\displaystyle f_{i}\in R,x_{i}\in M}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

言い換えると、は の係数を持つの元の有限和の集合です。${\displaystyle R[M]}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$

アフィンモノイドは、凸多面体、凸円錐、およびそれらに関連する離散構造から自然に生じます。

• を の有理凸錐とし、を の格子とする。このとき はアフィンモノイドである。^[1] (補題 2.9、ゴルダンの補題)${\displaystyle C}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}}$${\displaystyle C\cap L}$
• が のサブモノイドである場合、 が円錐となるのは がアフィンモノイドである場合に限ります。${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+}M}$${\displaystyle M}$
• が のサブモノイドであり、が の元によって生成される円錐である場合、 はアフィンモノイドです。${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle gp(M)}$${\displaystyle M\cap C}$
• を有理多面体、の後退円錐、の格子とします。このとき はアフィンモノイド 上の有限生成加群です。^[1] (定理 2.12)${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle P}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}}$${\displaystyle P\cap L}$${\displaystyle C\cap L}$

• モノイド
• 凸円錐
• 凸多面体
• ラティス（グループ）
• K理論