指数関数

指数関数
実軸の一部に沿った自然指数関数
一般情報
一般的な定義	${\displaystyle \exp z=e^{z}}$
ドメイン、コドメイン、イメージ
ドメイン	${\displaystyle \mathbb {C} }$
画像	${\displaystyle {\begin{cases}(0,\infty )&{\text{for }}z\in \mathbb {R} \\\mathbb {C} \setminus \{0\}&{\text{for }}z\in \mathbb {C} \end{cases}}}$
具体的な値
ゼロで	1
1での値	e
具体的な特徴
固定小数点	− W n (−1)の場合${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$
関連機能
相互	${\displaystyle \exp(-z)}$
逆	自然対数、複素対数
派生語	${\displaystyle \exp '\!z=\exp z}$
反微分	${\displaystyle \int \exp z\,dz=\exp z+C}$
シリーズの定義
テイラー級数	${\displaystyle \exp z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}$

数学において、指数関数は、0 を1にマッピングし、その値に等しい導関数を持つ唯一の実関数です。変数⁠ ⁠の指数は⁠ ⁠ ⁠または⁠ ⁠と表記され、2 つの表記法は同じ意味で使用されます。指数関数と呼ばれるのは、その引数が定数e ≈ 2.718 (底)を累乗した指数と見なせるためです。指数関数には他にもいくつかの定義があり、性質は大きく異なりますが、すべて同等です。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle \exp x}$${\displaystyle e^{x}}$

指数関数は和を積に変換します。つまり、加法恒等式 0 を乗法恒等式 1にマッピングし、和の指数は個別の指数の積に等しくなります ( ⁠ ⁠ )${\displaystyle \exp(x+y)=\exp x\cdot \exp y}$。その逆関数である自然対数( ⁠ ⁠${\displaystyle \ln }$または⁠ ⁠ )${\displaystyle \log }$は、積を和に変換します ( ⁠ ⁠ )${\displaystyle \ln(x\cdot y)=\ln x+\ln y}$。

⁠ ⁠を底とする一般形式⁠ ⁠の他の関数も、一般的に${\displaystyle f(x)=b^{x}}$指数関数と呼ばれ、加算を乗算に変換する⁠ ⁠という特性を共有しています。これら 2 つの意味が混同される可能性があるため、底⁠ ⁠の指数関数は、自然対数という名前に合わせて、自然指数関数と呼ばれることがあります。標準指数表記⁠ ⁠を任意の実数を指数として一般化することは、通常、指数関数と自然対数関数に関して ⁠ ⁠ のように正式に定義されます。「自然な」底⁠ ⁠ は、指数関数の導関数がその値⁠ ⁠に等しいという基準を満たす唯一の底であり、これにより定義が簡素化され、微積分で指数関数を使用するときに余分な定数が排除されます。 ${\displaystyle b}$${\displaystyle b^{x+y}=b^{x}\cdot b^{y}}$${\displaystyle e}$${\displaystyle b^{x}}$${\displaystyle b^{x}=\exp(x\cdot \ln b)}$${\displaystyle e=\exp 1}$${\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}$

複利のかかる銀行口座の残高、細菌の個体数、物体とその周囲の環境に対する温度、放射性物質の量など、時間の経過とともに値に比例して変化する量は、 ⁠ ⁠の形式の関数（${\displaystyle y(t)=ae^{ct}}$指数関数とも呼ばれる）を使用してモデル化できます。これらの量は、⁠ ⁠が正の場合は指数関数的に増加し、⁠ ⁠が負の場合は指数関数的に減少します。 ${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$

指数関数は、複素数を引数として受け入れるように一般化できます。これにより、複素数の乗算とユークリッド平面の回転との関係が明らかになり、オイラーの公式 ⁠ ⁠${\displaystyle \exp i\theta =\cos \theta +i\sin \theta }$ : 虚数⁠ ⁠の指数は、実軸から角度${\displaystyle i\theta }$⁠ ⁠にある複素単位円上の点です。したがって、三角法の恒等式は、虚数の指数を含む恒等式に変換できます。複素関数⁠ ⁠は、複素平面⁠ ⁠ (虚方向に周期的に繰り返される)の無限ストリップから⁠ ⁠を除く複素平面全体への等角写像です。 ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle z\mapsto \exp z}$${\displaystyle -\pi <\operatorname {Im} z\leq \pi }$${\displaystyle 0}$

指数関数はさらに一般化され、行列やリー代数の元など、他の種類の引数を受け入れることができる。古い文献の中には、指数関数を真数と呼んでいるものもある。^[1]

のグラフは右上がりで、x が増加するにつれて増加速度が速くなります。^[2]グラフは常にx軸より上にあります。ただし、 x が大きな負の値になると、 x 軸に近づきます。つまり、x軸は水平漸近線です。 この式は、各点におけるグラフの接線の傾きが、その点におけるグラフの高さ（ y座標）に等しいことを意味しています。 ${\displaystyle y=e^{x}}$${\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}$

指数関数にはいくつかの異なる定義があり、性質は大きく異なりますが、すべて同等です。

最も単純な定義の 1 つは、指数関数は、その導関数に等しく、変数の 値が0の場合に値1を取る、唯一の 微分可能な関数である、ということです。

この「概念的な」定義には、一意性の証明と存在の証明が必要ですが、指数関数の主な特性を簡単に導出することができます。

一意性: ⁠ ⁠${\displaystyle f(x)}$と⁠ ⁠ が${\displaystyle g(x)}$上記の定義を満たす 2 つの関数である場合、商の規則により⁠ ⁠${\displaystyle f/g}$の導関数はどこでも 0 になります。したがって⁠ ⁠ は定数であり、 ⁠ ⁠であるためこの定数は1です。 ${\displaystyle f/g}$${\displaystyle f(0)=g(0)=1}$

指数関数は自然対数の逆関数である。逆関数定理は、自然対数が上記の定義を満たす逆関数を持つことを意味している。これは存在の最初の証明である。したがって、

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(\exp x)&=x\\\exp(\ln y)&=y\end{aligned}}}$

あらゆる実数 とあらゆる正の実数に対して${\displaystyle x}$${\displaystyle y.}$

指数関数は、べき級数の和です。^{[3] [4]} ここで、はnの階乗（最初のn個の正の整数の積）です。この級数は、比テストに従って、任意のに対して絶対収束します。したがって、和の導関数は項ごとに微分することで計算でき、これは級数の和が上記の定義を満たすことを示しています。これは2番目の存在証明であり、副産物として、指数関数が任意の⁠ ⁠に対して定義され、どこでもそのマクローリン級数の和であることを示しています。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(x)&=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}},\end{aligned}}}$$${\displaystyle n!}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

指数関数は関数方程式を満たします。 これは、関数が上記の定義を満たすという一意性と事実から生じます 。この関数方程式を満たす関数は、 0における導関数が1であり、関数が連続または単調である場合に指数関数であることが証明できます。$${\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y).}$$${\displaystyle f(x)=\exp(x+y)/\exp(y)}$

正性:関数方程式から ⁠ ⁠ が成り立つため、任意の⁠ ⁠${\displaystyle x}$に対して${\displaystyle \exp(x)\neq 0}$⁠ ⁠が${\displaystyle \exp(x)\exp(-x)=1}$成り立ちます。このことから、指数関数は正であることがわかります ( ⁠ ⁠${\displaystyle \exp(0)>0}$ 、ある⁠ ⁠に対して⁠ ⁠ が${\displaystyle \exp(x)<0}$成り立つ場合、中間値定理から⁠ ⁠となる⁠ ⁠の存在が示されるため)。また、指数関数は単調増加であることもわかります。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \exp(y)=0}$

指数関数の正の実底への拡張: b を正の実数とします。指数関数と自然対数は互いに逆関数であるため、次の式が成り立ちます。nが整数の場合、対数の関数方程式は次のようになります。 右端の式はn が任意の実数であれば定義されるため、これにより、すべての正の実数bとすべての実数xに対して⁠ ⁠を定義できます。 特に、bがオイラー数の場合、次の式が成り立ちます(逆関数)。したがって、これは指数関数の 2 つの表記法が同等であることを示しています。 ${\displaystyle b=\exp(\ln b).}$$${\displaystyle b^{n}=\exp(\ln b^{n})=\exp(n\ln b).}$$${\displaystyle b^{x}}$$${\displaystyle b^{x}=\exp(x\ln b).}$$ ${\displaystyle e=\exp(1),}$${\displaystyle \ln e=1}$$${\displaystyle e^{x}=\exp(x).}$$

指数関数は、整数値のみを取る極限[5] [4]です （そう^でなければ、指数関数を定義するために指数関数を定義する必要があります）。対数の連続性により、これは対数を取り、 たとえばテイラーの定理で証明することで証明できます。 $${\displaystyle \exp(x)=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n},}$$${\displaystyle n}$$${\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }\ln \left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}=\lim _{n\to \infty }n\ln \left(1+{\frac {x}{n}}\right),}$$

指数関数は、これもまた指数関数と呼ばれることが多い一般化関数と区別するために、 自然指数関数と呼ばれることもあります。これらの関数は一般に、 ⁠ ⁠が正の実数 である形式を持ちます 。${\displaystyle f(x)=e^{x}}$$${\displaystyle f(x)=ab^{x},}$$${\displaystyle b}$

このような関数は、自然指数関数を使用して、 と設定することによって表すことができます。 経験科学の応用では、 eの代わりに底2 を使用するのが一般的であり、これは、前述の e を2に、をに置き換えることに相当します。$${\displaystyle f(x)=ae^{\alpha x},}$$${\textstyle \alpha =\ln(b).}$${\displaystyle \ln }$${\displaystyle \log _{2}}$

これらの一般化指数関数の特性は、その導関数が関数に 正比例することです 。つまり、上記の表記法に従います。この特性が一般化指数関数の特徴です。 $${\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}=\alpha ,}$$

また、変数が定数値⁠ ⁠${\displaystyle d}$増加した場合、関数の値は ⁠ ⁠ に応じて定数値で乗算されます${\displaystyle d}$。 $${\displaystyle ae^{\alpha (x+d)}=e^{\alpha d}\cdot ae^{\alpha x}.}$$

⁠ ⁠${\displaystyle \alpha <0}$のとき、半減期 ⁠ ⁠${\displaystyle h=-(\ln 2)/\alpha }$により指数関数は次のように表される。 $${\displaystyle ae^{\alpha x}=a(1/2)^{x/h}.}$$

指数関数は、量がその現在の値に比例する割合で増加または減少するときに発生します。そのような状況の 1 つに、継続的に複利が働くことがあり、実際にこの観察により、ヤコブ・ベルヌーイは1683 年に^[6] 現在eとして知られている数値に たどり着きました。その後、1697 年にヨハン・ベルヌーイが指数関数の微積分を研究しました。^[6]$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$$

元金1に対して年利xの利息が毎月複利で発生する場合、毎月の利息は⁠x/12⁠ を現在の値に掛けて計算されるため、毎月の合計値は（1 + ⁠x/12⁠ )となり、年末の値は(1 + ⁠x/12⁠ ) ¹²。代わりに利息が毎日複利計算される場合、これは(1 + ⁠x/365⁠）³⁶⁵。1年あたりの時間間隔の数を無制限に増やすと、指数関数の 極限定義に至ります。これは、レオンハルト・オイラー によって最初に示されました。 ^{[5]これは、}指数関数の数ある特徴付け のうちの1つであり、他の特徴付けには級数方程式や微分方程式が関係します。 $${\displaystyle \exp x=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}$$

これらの定義のいずれからも、 e ^{− x は}e ^xの逆数であることが示されます。たとえば、微分方程式の定義から、x = 0 のときe ^x e ^{− x} = 1となり、積分則を使用したその導関数はすべてのxに対してe ^x e ^{− x} − e ^x e ^{− x} = 0 となるため、すべてのxに対してe ^x e ^{− x} = 1 となります。

これらの定義のいずれからも、指数関数が基本的な指数恒等式に従うことが示されます。たとえば、二項定理によって拡張されたべき級数の定義から、 exp xの 指数表記e ^xが正当化されます。 $${\displaystyle \exp(x+y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(x+y)^{n}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}{\frac {x^{k}y^{n-k}}{n!}}=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {x^{k}y^{\ell }}{k!\ell !}}=\exp x\cdot \exp y\,.}$$

指数関数の導関数（変化率）は指数関数そのものです。より一般的には、関数自体に比例する変化率を持つ関数は、指数関数で表現できます。この導関数の特性により、指数関数的増加または指数関数的減少が起こります。

指数関数は、複素平面上の完全な関数に拡張されます。オイラーの公式は、純虚数の引数におけるその値を三角関数に関連付けます。指数関数には、引数が行列、またはバナッハ代数やリー代数の要素である類似関数もあります。

指数関数が数学や科学において重要な理由は、主に、その導関数に等しく、x = 0のときに 1 に等しい唯一の関数であるという性質にあります。つまり、 $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}\quad {\text{and}}\quad e^{0}=1.}$$

定数aに対してae ^xの形式の関数は、その導関数に等しい唯一の関数です (ピカール・リンデレーフの定理による)。同じことを別の言い方で言うと次のようになります。

• 任意の点におけるグラフの傾きは、その点における関数の高さです。
• xにおける関数の増加率は、xにおける関数の値に等しくなります。
• この関数は微分方程式 y ′ = yを解きます。
• exp は関数空間上の線形演算子としての微分の不動点です。

変数の増加率または減少率がその大きさに比例する場合（無制限の人口増加（マルサスの大惨事を参照）、連続複利、放射性崩壊などの場合）、変数は定数と時間の指数関数の積として表すことができます。

より一般的には、任意の実定数kに対して、関数f : R → R が、ある定数aに対して を満たす場合のみを満たす。定数k は、崩壊定数、崩壊定数^[7]、速度定数^[8]、または変換定数^[9]と呼ばれる。${\displaystyle f'=kf}$${\displaystyle f(x)=ae^{kx}}$

さらに、任意の微分可能関数fに対して、連鎖律により次の式が得られます。 $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{f(x)}=f'(x)\,e^{f(x)}.}$$

e ^xの連分数はオイラーの恒等式によって得られる。 $${\displaystyle e^{x}=1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {x}{x+2-{\cfrac {2x}{x+3-{\cfrac {3x}{x+4-\ddots }}}}}}}}}$$

e ^zの次の一般化連分数はより速く収束する: ^[10] $${\displaystyle e^{z}=1+{\cfrac {2z}{2-z+{\cfrac {z^{2}}{6+{\cfrac {z^{2}}{10+{\cfrac {z^{2}}{14+\ddots }}}}}}}}}$$

または、置換z = ⁠を適用してx/ええ⁠ : z = 2 の特別なケース: $${\displaystyle e^{\frac {x}{y}}=1+{\cfrac {2x}{2y-x+{\cfrac {x^{2}}{6y+{\cfrac {x^{2}}{10y+{\cfrac {x^{2}}{14y+\ddots }}}}}}}}}$$$${\displaystyle e^{2}=1+{\cfrac {4}{0+{\cfrac {2^{2}}{6+{\cfrac {2^{2}}{10+{\cfrac {2^{2}}{14+\ddots \,}}}}}}}}=7+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{11+\ddots \,}}}}}}}}}$$

この式は、 z > 2の場合にも収束しますが、収束速度は遅くなります。例: $${\displaystyle e^{3}=1+{\cfrac {6}{-1+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{10+{\cfrac {3^{2}}{14+\ddots \,}}}}}}}}=13+{\cfrac {54}{7+{\cfrac {9}{14+{\cfrac {9}{18+{\cfrac {9}{22+\ddots \,}}}}}}}}}$$

実際の場合と同様に、指数関数は複素平面上でいくつかの同等の形式で定義できます。

複素指数関数の最も一般的な定義は、実引数のべき級数定義に似ており、実変数が複素変数に置き換えられています。 $${\displaystyle \exp z:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}}$$

あるいは、実引数の極限定義をモデル化して、実変数を複素変数に置き換えて複素指数関数を定義することもできます。 $${\displaystyle \exp z:=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}}$$

冪級数の定義については、メルテンスの定理によって許されるコーシーの意味でこの冪級数の2つのコピーの項ごとの乗算は、指数関数の定義的な乗法特性がすべての複素引数に対して引き続き成立することを示しています。 $${\displaystyle \exp(w+z)=\exp w\exp z{\text{ for all }}w,z\in \mathbb {C} }$$

複素指数関数の定義は、三角関数を複素引数に拡張する適切な定義につながります。

特に、z = it ( t real )のとき、級数定義は展開式となる。 $${\displaystyle \exp(it)=\left(1-{\frac {t^{2}}{2!}}+{\frac {t^{4}}{4!}}-{\frac {t^{6}}{6!}}+\cdots \right)+i\left(t-{\frac {t^{3}}{3!}}+{\frac {t^{5}}{5!}}-{\frac {t^{7}}{7!}}+\cdots \right).}$$

この展開では、項を実数部と虚数部に並べ替えることは、級数の絶対収束によって正当化されます。上記の式の実数部と虚数部は、実際にはそれぞれcos tとsin tの級数展開に対応します。

この対応は、すべての複素引数に対してコサインとサインをと同等の冪級数で定義する動機となる: ^[11]${\displaystyle \exp(\pm iz)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\cos z:={\frac {\exp(iz)+\exp(-iz)}{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k}}{(2k)!}},\\[5pt]{\text{and }}\quad &\sin z:={\frac {\exp(iz)-\exp(-iz)}{2i}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)!}}\end{aligned}}}$$

全ての${\textstyle z\in \mathbb {C} .}$

このように定義された関数exp、cos、sin は、比テストにより無限の収束半径を持ち、したがって整関数（つまり、上で正則）です。指数関数の値域は ですが、複素正弦関数と複素余弦関数の値域は両方ともその全体で であり、ピカールの定理と一致しています。ピカールの定理では、非定数整関数の値域は のすべてであるか、1 つの欠落値を除外するかのいずれかであると主張しています。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

指数関数と三角関数のこれらの定義から、オイラーの公式が自明に導かれます。 $${\displaystyle \exp(iz)=\cos z+i\sin z{\text{ for all }}z\in \mathbb {C} .}$$

この関係に基づいて複素指数関数を定義することもできます。z = x + iy （ xとyは両方とも実数）の場合、その指数関数を次のように定義できます。ここで、 定義記号の右側にあるexp 、 cos 、 sinは、以前に他の方法で定義された実変数の関数として解釈されます。 ^[12]$${\displaystyle \exp z=\exp(x+iy):=(\exp x)(\cos y+i\sin y)}$$

に対して、関係式が成り立つので、実数および に対して、実数直線 (mod 2 π )を複素平面の単位円に写像します。さらに、からに行くと、 によって定義される曲線は、複素平面のz = 1 から反時計回りに長さ の単位円の線分をトレースします 。これらの観察と、ラジアンでの角度の測定は、角度によって囲まれる単位円上の弧の長さであるという事実に基づくと、実引数に制限すると、上で定義した正弦関数と余弦関数は、幾何学的概念を介して初等数学で導入された正弦関数と余弦関数と一致することが簡単にわかります。 ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$${\displaystyle {\overline {\exp(it)}}=\exp(-it)}$${\displaystyle \left|\exp(it)\right|=1}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t\mapsto \exp(it)}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle t=t_{0}}$${\displaystyle \gamma (t)=\exp(it)}$$${\displaystyle \int _{0}^{t_{0}}|\gamma '(t)|\,dt=\int _{0}^{t_{0}}|i\exp(it)|\,dt=t_{0},}$$

複素指数関数は周期2 πiで周期的であり、すべての場合に当てはまります。 ${\displaystyle \exp(z+2\pi ik)=\exp z}$${\displaystyle z\in \mathbb {C} ,k\in \mathbb {Z} }$

指数関数の定義域が実数平面から複素平面に拡張された場合、指数関数は次の特性を保持します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&e^{z+w}=e^{z}e^{w}\,\\[5pt]&e^{0}=1\,\\[5pt]&e^{z}\neq 0\\[5pt]&{\frac {d}{dz}}e^{z}=e^{z}\\[5pt]&\left(e^{z}\right)^{n}=e^{nz},n\in \mathbb {Z} \end{aligned}}}$$

全ての${\textstyle w,z\in \mathbb {C} .}$

自然対数を複素引数に拡張すると、多値関数である複素対数 log zが得られます。

次に、より一般的な累乗を定義できます。 すべての複素数zとwに対して定義します。これは、zが実数であっても多値関数です。この区別は問題があります。多値関数log zとz ^{w は}、 zを実数に置き換えると、単値の同等関数と簡単に混同されるためです。正の実数の場合の指数の乗算に関する規則は、多値のコンテキストでは変更する必要があります。 $${\displaystyle z^{w}=e^{w\log z}}$$

累乗の結合に関する問題の詳細については、 累乗の失敗と対数恒等式を参照してください。

指数関数は、複素平面上の任意の直線を、原点を中心とする複素平面上の対数螺旋に写像します。2 つの特殊なケースがあります。元の直線が実軸に平行な場合、結果として得られる螺旋は決して閉じません。元の直線が虚軸に平行な場合、結果として得られる螺旋はある半径の円になります。

• 指数関数の実部、虚部、係数の3Dプロット
• 
  z = Re( e ^{x + iy} )
• 
  z = Im( e ^{x + iy} )
• 
  z = | e ^{x + iy} |

複素指数関数を 4 つの実変数を含む関数として考えると、 指数関数のグラフは 4 つの次元にわたって曲がる 2 次元面になります。 $${\displaystyle v+iw=\exp(x+iy)}$$

ドメインの色分けされた部分から始めて、2 次元または 3 次元にさまざまな方法で投影されたグラフを次に示します。 ${\displaystyle xy}$

• 複素指数関数のグラフ
• 
  チェッカーボードキー:
  ${\displaystyle x>0:\;{\text{green}}}$
  ${\displaystyle x<0:\;{\text{red}}}$
  ${\displaystyle y>0:\;{\text{yellow}}}$
  ${\displaystyle y<0:\;{\text{blue}}}$
• 
  範囲複素平面 (V/W) への投影。次の透視図と比較してください。
• 
  、、次元に投影し、広がった角または漏斗の形状を生成します（2次元透視画像として想定されます）${\displaystyle x}$${\displaystyle v}$${\displaystyle w}$
• 
  、、次元に投影し、螺旋形状を生成します（範囲は ±2 πまで拡張され、これも 2 次元透視画像として表示されます）。${\displaystyle y}$${\displaystyle v}$${\displaystyle w}$${\displaystyle y}$

2 番目の画像は、ドメイン複素平面が範囲複素平面にどのようにマッピングされるかを示しています。

• ゼロは1にマッピングされます
• 実軸は正の実軸にマッピングされる${\displaystyle x}$${\displaystyle v}$
• 虚軸は一定の角速度で単位円の周りを回っている${\displaystyle y}$
• 負の実部を持つ値は単位円内にマッピングされる
• 正の実部を持つ値は単位円の外側にマッピングされる
• 実部が一定である値は、ゼロを中心とした円にマッピングされます。
• 虚数部が一定の値は、ゼロから伸びる光線にマッピングされる。

3 番目と 4 番目の画像は、2 番目の画像のグラフが、2 番目の画像には表示されていない他の 2 つの次元のいずれかにどのように拡張されるかを示しています。

3 番目の画像は、実軸に沿って拡張されたグラフを示しています。グラフが実指数関数のグラフの軸を中心とした回転面であり、角または漏斗の形状を生成していることがわかります。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

4 番目の画像は、虚軸に沿って拡張されたグラフを示しています。グラフの正の値と負の値の表面は、負の実軸に沿って実際には交わっておらず、軸を中心に螺旋状の表面を形成していることがわかります。値が±2 πまで拡張されているため、この画像は虚数値の 2π 周期性もより適切に表しています。 ${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle v}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$

指数関数のべき級数定義は、正方行列（この関数は指数行列と呼ばれる）およびより一般的には任意の単位バナッハ代数 Bに対して意味を持ちます。この設定では、e ⁰ = 1 であり、e ^{x は}Bの任意のxに対して逆関数e ^{− x}で可逆です。xy = yxの場合、e ^{x + y} = e ^x e ^yですが、この恒等式はxとy が非可換な場合は成立しません。

いくつかの別の定義でも同じ関数が得られます。たとえば、e ^{x は}次のように定義できます。 $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$$

あるいは、e ^{x は}f _x (1)と定義することができ、ここでf _x  : R → B は微分方程式の解である⁠dfx_​/dt⁠ ( t ) = x  f _x ( t )、初期条件f _x (0) = 1です。したがって、 Rのすべてのtに対してf _x ( t ) = e ^{tx が}成立します。

リー群 Gとそれに関連するリー代数 が与えられた場合、指数写像は同様の性質を満たす写像↦ Gです。実際、 R は乗算の下でのすべての正の実数のリー群のリー代数であるため、実引数に対する通常の指数関数はリー代数状況の特殊なケースです。同様に、可逆なn × n行列のリー群GL( n , R )はすべてのn × n行列の空間であるリー代数M( n , R )を持つため、正方行列の指数関数はリー代数指数写像の特殊なケースです。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

交換しないリー代数要素xとyでは、この恒等式は成立しない可能性があります。ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式は、必要な補正項を提供します。 ${\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)}$

関数e ^{z は}有理関数環内にありません。つまり、複素係数を持つ 2 つの多項式の商ではありません。 ${\displaystyle \mathbb {C} (z)}$

a ₁、...、a _{n が}異なる複素数である場合、 e ^{a ₁ z}、...、e ^{a _n z は}上で線型独立であるため、e ^{z は}上で超越的です。 ${\displaystyle \mathbb {C} (z)}$${\displaystyle \mathbb {C} (z)}$

上記のテイラー級数の定義は、 （の近似値）を計算するのに一般的に効率的です。ただし、引数 付近で計算する場合、結果は 1 に近くなり、浮動小数点演算で差の値を計算すると、（場合によってはすべての）有効数字が失われ、相対誤差が大きく、結果が意味をなさなくなる可能性があります。 ${\displaystyle e^{x}}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle e^{x}-1}$

ウィリアム・カーハンの提案に従って、 e ^xの計算をバイパスしてe ^x − 1expm1を直接計算する 、と呼ばれる専用のルーチンがあると便利です。たとえば、テイラー級数を使用できます。 $${\displaystyle e^{x}-1=x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\cdots .}$$

これは1979年にヒューレット・パッカード HP-41C電卓で初めて実装され、その後いくつかの電卓、^{[13] [14]} オペレーティングシステム（例えばBerkeley UNIX 4.3BSD ^[15]）、数式処理システム、プログラミング言語（例えばC99）で提供されました。^[16]

IEEE 754-2008標準では、底eに加えて、底 2 および 10 に対して 0 付近の同様の指数関数を定義しています 。${\displaystyle 2^{x}-1}$${\displaystyle 10^{x}-1}$

同様のアプローチが対数にも使用されています（lnp1を参照）。^{[nb 1]}

双曲正接に関する恒等式は、 expm1( x )を実装していないシステム上で、x の小さな値に対して高精度の値を与えます。 $${\displaystyle \operatorname {expm1} (x)=e^{x}-1={\frac {2\tanh(x/2)}{1-\tanh(x/2)}},}$$

• 「指数関数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]