いくつかの基本的な特性 のためにα > 0 {\displaystyle \alpha >0} E α 、 β （ z ） {\displaystyle E_{\alpha ,\beta }(z)} は順序 の完全な関数です1 / α {\displaystyle 1/\alpha } タイプ 1 {\displaystyle 1} β {\displaystyle \beta } ある 。E α （ z ） {\displaystyle E_{\alpha }(z)} [ 5 ] ： h E α （ θ ） = { コス （ θ α ） 、 のために | θ | ≤ 1 2 α π ; 0 、 さもないと 。 ${\displaystyle h_{E_{\alpha }}(\theta )={\begin{cases}\cos \left({\frac {\theta }{\alpha }}\right),&{\text{for }}|\theta |\leq {\frac {1}{2}}\alpha \pi }$ ;\\0,&{\text{その他}}.\end{cases}}} β ≠ 1 {\displaystyle \beta \neq 1} β {\displaystyle \beta } α = 1 {\displaystyle \alpha =1} 6 ] : 67
ミッタッグ＝レフラー関数は再帰性を満たす（[ 2 ]
E α 、 β （ z ） = 1 z E α 、 β − α （ z ） − 1 z Γ （ β − α ） 、 {\displaystyle E_{\alpha ,\beta }(z)={\frac {1}{z}}E_{\alpha ,\beta -\alpha }(z)-{\frac {1}{z\Gamma (\beta -\alpha )}},} これから、次の漸近展開 が成り立つ 。0 < α < 2 {\displaystyle 0<\alpha <2} μ {\displaystyle \mu } π α 2 < μ < ミニ （ π 、 π α ） {\displaystyle {\frac {\pi \alpha }{2}}<\mu <\min(\pi ,\pi \alpha )} N ∈ N * 、 N ≠ 1 {\displaystyle N\in \mathbb {N} ^{*},N\neq 1} [ 2 ]
-として| z | → + ∞ 、 | 引数 （ z ） | ≤ μ {\displaystyle \,|z|\to +\infty ,|{\text{arg}}(z)|\leq \mu }
E α （ z ） = 1 α exp （ z 1 α ） − ∑ k = 1 N 1 z k Γ （ 1 − α k ） + O （ 1 z N + 1 ） {\displaystyle E_{\alpha }(z)={\frac {1}{\alpha }}\exp(z^{\frac {1}{\alpha }})-\sum \limits _{k=1}^{N}{\frac {1}{z^{k}\,\Gamma (1-\alpha k)}}+O\left({\frac {1}{z^{N+1}}}\right)} そして| z | → + ∞ 、 μ ≤ | 引数 （ z ） | ≤ π {\displaystyle \,|z|\to +\infty ,\mu \leq |{\text{arg}}(z)|\leq \pi }
E α （ z ） = − ∑ k = 1 N 1 z k Γ （ 1 − α k ） + O （ 1 z N + 1 ） {\displaystyle E_{\alpha }(z)=-\sum \limits _{k=1}^{N}{\frac {1}{z^{k}\Gamma (1-\alpha k)}}+O\left({\frac {1}{z^{N+1}}}\right)} より単純な推定値は、順序と種類のおかげで、しばしば役立つことがあります。E α 、 β （ z ） {\displaystyle E_{\alpha ,\beta }(z)} 1 / α {\displaystyle 1/\alpha } 1 {\displaystyle 1} [ 6 ] :
| E α 、 β （ z ） | ≤ C exp （ σ | z | 1 / α ） {\displaystyle |E_{\alpha ,\beta }(z)|\leq C\exp \left(\sigma |z|^{1/\alpha }\right)} ポジティブなものC {\displaystyle C} σ > 1 {\displaystyle \sigma >1}
特別なケース のためにα = 0 {\displaystyle \alpha =0} 等比級数 のテイラー展開に 等しく、したがってE 0 、 β （ z ） = 1 Γ （ β ） 1 1 − z {\displaystyle E_{0,\beta }(z)={\frac {1}{\Gamma (\beta )}}{\frac {1}{1-z}}}
のためにα = 1 2 、 1 、 2 {\displaystyle \alpha ={\tfrac {1}{2}},1,2} 我々は以下を発見した：（ [ 2 ]
エラー関数 ：
E 1 2 （ z ） = exp （ z 2 ） erfc （ − z ） 。 {\displaystyle E_{\frac {1}{2}}(z)=\exp(z^{2})\operatorname {erfc} (-z).} 指数関数 ：
E 1 （ z ） = ∑ k = 0 ∞ z k Γ （ k + 1 ） = ∑ k = 0 ∞ z k k ! = exp （ z ） 。 {\displaystyle E_{1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (k+1)}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}=\exp(z).} 双曲線関数 ：
E 2 （ z ） = コッシュ （ z ） 、 そして E 2 （ − z 2 ） = コス （ z ） 。 {\displaystyle E_{2}(z)=\cosh({\sqrt {z}}),{\text{ and }}E_{2}(-z^{2})=\cos(z).} のためにβ = 2 {\displaystyle \beta =2}
E 1 、 2 （ z ） = e z − 1 z 、 {\displaystyle E_{1,2}(z)={\frac {e^{z}-1}{z}},} E 2 、 2 （ z ） = シン （ z ） z 。 {\displaystyle E_{2,2}(z)={\frac {\sinh({\sqrt {z}})}{\sqrt {z}}}.} のためにα = 0 、 1 、 2 {\displaystyle \alpha =0,1,2}
∫ 0 z E α （ − s 2 ） d s {\displaystyle \int _{0}^{z}E_{\alpha }(-s^{2})\,{\mathrm {d} }s} それぞれ以下を与える：アークタン （ z ） {\displaystyle \arctan(z)} π 2 erf （ z ） {\displaystyle {\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}}\operatorname {erf} (z)} 罪 （ z ） {\displaystyle \sin(z)}
超幾何関数 ：
のためにp ∈ N {\displaystyle p\in \mathbb {N} } p 2 {\displaystyle {\frac {p}{2}}}
E p 2 （ z ） = 0 F p − 1 （ ; 1 p 、 2 p 、 。 。 。 、 p − 1 p ; z 2 p p ） + 2 p + 1 2 z p ! π 1 F 2 p − 1 （ 1 ; p + 2 2 p 、 p + 3 2 p 、 。 。 。 、 3 p 2 p ; z 2 p p ） {\displaystyle E_{\frac {p}{2}}(z)={}_{0}F_{p-1}{\bigg (};{\frac {1}{p}},{\frac {2}{p}},...,{\frac {p-1}{p}};{\frac {z^{2}}{p^{p}}}{\bigg )}+{\frac {2^{\frac {p+1}{2}}z}{p!{\sqrt {\pi }}}}{}_{1}F_{2p-1}{\bigg (}1;{\frac {p+2}{2p}},{\frac {p+3}{2p}},...,{\frac {3p}{2p}};{\frac {z^{2}}{p^{p}}}{\bigg )}} [ 7 ] 不完全なガンマ関数 ：
のためにp ∈ N − { 1 } {\displaystyle p\in \mathbb {N} -\{1\}}
E 1 p （ z 1 p ） = e z [ 1 + ∑ n = 0 p − 1 γ （ 1 − n p 、 z ） Γ （ 1 − n p ） ] {\displaystyle E_{\frac {1}{p}}(z^{\frac {1}{p}})=e^{z}{\bigg [}1+\sum _{n=0}^{p-1}{\frac {\gamma (1-{\frac {n}{p}},z)}{\Gamma (1-{\frac {n}{p}})}}{\bigg ]}} [ 8 ] どこγ （ x 、 y ） {\displaystyle \gamma (x,y)}
ミッタッグ＝レフラー関数の積分表示は（[ 2 ]
E α 、 β （ z ） = 1 2 π 私 ∮ C t α − β e t t α − z d t 、 ℜ （ α ） > 0 、 ℜ （ β ） > 0 、 {\displaystyle E_{\alpha ,\beta }(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {t^{\alpha -\beta }e^{t}}{t^{\alpha }-z}}\,dt,\Re (\alpha )>0,\Re (\beta )>0,} 輪郭線がC {\displaystyle C} − ∞ {\displaystyle -\infty }
ラプラス変換 とミッタッグ＝レフラー和 に関連する式は、 [ 2 ] m = 0 {\displaystyle m=0}
∫ 0 ∞ e − t z t β − 1 E α 、 β （ ± r t α ） d t = z α − β z α ∓ r 、 ℜ （ z ） > 0 、 ℜ （ α ） > 0 、 ℜ （ β ） > 0. {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-tz}t^{\beta -1}E_{\alpha ,\beta }(\pm r\,t^{\alpha })\,dt={\frac {z^{\alpha -\beta }}{z^{\alpha }\mp r}},\Re (z)>0,\Re (\alpha )>0,\Re (\beta )>0.} のために再 （ z 1 / α ） < 1 {\displaystyle \operatorname {Re} (z^{1/\alpha })<1}
1 1 − z = ∫ 0 ∞ e − u E α （ z u α ） d u 。 {\displaystyle {\frac {1}{1-z}}=\int _{0}^{\infty }e^{-u}E_{\alpha }(zu^{\alpha })\,du.} [ 9 ] のためにα > 0 {\displaystyle \alpha >0} バーンズ積分表現は次のようになる。
E α （ z ） = 1 2 π 私 ∫ γ − 私 ∞ γ + 私 ∞ Γ （ s ） Γ （ 1 − s ） Γ （ 1 − α s ） （ − z ） − s d s 、 | 引数 z | < π {\displaystyle E_{\alpha }(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma -i\infty }^{\gamma +i\infty }{\frac {\Gamma (s)\Gamma (1-s)}{\Gamma (1-\alpha s)}}(-z)^{-s}ds,|\arg {z}|<\pi } [ 10 ] これは一般化されたフォックス・ライト関数 で表すことができる。
E α （ z ） = 1 Ψ 1 [ （ 1 、 1 ） （ 1 、 α ） | z ] {\displaystyle E_{\alpha }(z)={}_{1}\Psi _{1}\left[{\begin{matrix}(1,1)\\(1,\alpha )\end{matrix}}{\bigg |}z\right]} そしてフォックスH関数 の観点から
E α （ z ） = H 1 、 2 1 、 1 [ − z | （ 0 、 1 ） （ 0 、 1 ） 、 （ 0 、 α ） ] {\displaystyle E_{\alpha }(z)=H_{1,2}^{1,1}\left[-z{\bigg |}{\begin{matrix}(0,1)\\(0,1),(0,\alpha )\end{matrix}}\right]}
3パラメータ一般化 3つのパラメータで特徴付けられる1つの一般化は、
E α 、 β γ （ z ） = （ 1 Γ （ γ ） ） ∑ k = 1 ∞ Γ （ γ + k ） z k k ! Γ （ α k + β ） 、 {\displaystyle E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(z)=\left({\frac {1}{\Gamma (\gamma )}}\right)\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\Gamma (\gamma +k)z^{k}}{k!\Gamma (\alpha k+\beta )}},}
どこα 、 β {\displaystyle \alpha ,\beta } γ {\displaystyle \gamma } ℜ （ α ） > 0 {\displaystyle \Re (\alpha )>0} 6 ]
もう一つの一般化はプラバカール関数である。
E α 、 β γ （ z ） = ∑ k = 0 ∞ （ γ ） k z k k ! Γ （ α k + β ） 、 {\displaystyle E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\gamma )_{k}z^{k}}{k!\Gamma (\alpha k+\beta )}},}
どこ（ γ ） k {\displaystyle (\gamma )_{k}} はポッホハンマーのシンボル です。
参考文献 ↑ Mittag-Leffler, MG: Sur la nouvelle fonction E(x). CR Acad. Sci. Paris 137, 554–558 (1903)、およびその後数年間に発表されたいくつかの論文。 1 2 3 4 5 6 7 8 Haubold,HJ、Mathai,AM、Saxena,RK、 J Appl Math 2011、298628 ↑ Anders Wiman、Über den Fundamentalsatz in der Teorie [原文ママ] der FunktionenE 1 （ x ） {\displaystyle E_{a}(x)} ↑ ワイスタイン、エリック W. 「ミッターグ・レフラー関数」。mathworld.wolfram.com 。2019年9月11日 に取得 。 ↑ カートライト、ML（1962）。 積分関数 。ケンブリッジ大学出版局 。ISBN 052104586X 。1 2 3 Gorenflo, Rudolf; Kilbas, Anatoly A.; Mainardi, Francesco; Rogosin, Sergei V. (2014). Mittag-Leffler Functions, Related Topics and Applications: Theory and Applications . Springer Monographs in Mathematics. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. doi : 10.1007/978-3-662-43930-2 . ISBN 978-3-662-43929-6 。↑ ゴレンフロ、ルドルフ；キルバス、アナトリー A.；マイナルディ、フランチェスコ；ロゴシン、セルゲイ V. (2014). ミッタッグ＝レフラー関数、関連トピックと応用 . Springer. p. 22. doi : 10.1007/978-3-662-43930-2 . ISBN 978-3-662-43929-6 。↑ ゴレンフロ、ルドルフ；キルバス、アナトリー A.；マイナルディ、フランチェスコ；ロゴシン、セルゲイ V. (2014). ミッタッグ＝レフラー関数、関連トピックと応用 . Springer. p. 23. doi : 10.1007/978-3-662-43930-2 . ISBN 978-3-662-43929-6 。↑ ゴレンフロ、ルドルフ；キルバス、アナトリー A.；マイナルディ、フランチェスコ；ロゴシン、セルゲイ V. (2014). ミッタッグ＝レフラー関数、関連トピックと応用 . Springer. p. 41. doi : 10.1007/978-3-662-43930-2 . ISBN 978-3-662-43929-6 。↑ ゴレンフロ、ルドルフ；キルバス、アナトリー A.；マイナルディ、フランチェスコ；ロゴシン、セルゲイ V. (2014). ミッタッグ＝レフラー関数、関連トピックと応用 . Springer. p. 37. doi : 10.1007/978-3-662-43930-2 . ISBN 978-3-662-43929-6 。↑ Pritz, T. (2003). ポリマー減衰材料のための5パラメータ分数微分モデル。Journal of Sound and Vibration、265(5)、935-952。 ↑ Nonnenmacher, TF、& Glöckle, WG (1991)。機械的応力緩和のための分数モデル。Philosophical magazine letters、64(2)、89-93。 Gorenflo R.、Kilbas AA、Mainardi F.、Rogosin SV、Mittag-Leffler 関数、関連トピックおよびアプリケーション (Springer、ニューヨーク、2014 年) 443 ページISBN 978-3-662-43929-6 イゴール・ポドルブニー（1998）。「第1章」。分数微分方程式。分数微分、分数微分方程式、その解法、およびその応用に関する入門 。科学と工学における数学。アカデミック・プレス。ISBN 0-12-558840-2 。 カイ・ディートヘルム（2010）。「第4章」。分数階微分方程式の解析：カプート型微分演算子を用いた応用指向の解説 。 数学講義ノート。ハイデルベルクおよびニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 978-3-642-14573-5 。
外部リンク ミタグ・レフラー関数: MATLAB コード ミッタッグ＝レフラーと安定乱数：連続時間ランダムウォークと時空間分数拡散方程式の確率的解法
![{\displaystyle E_{\frac {1}{p}}(z^{\frac {1}{p}})=e^{z}{\bigg [}1+\sum _{n=0}^{p-1}{\frac {\gamma (1-{\frac {n}{p}},z)}{\Gamma (1-{\frac {n}{p}})}}{\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d264ecdc211dfd771925187236701a986eb47468)
![{\displaystyle E_{\alpha }(z)={}_{1}\Psi _{1}\left[{\begin{matrix}(1,1)\\(1,\alpha )\end{matrix}}{\bigg |}z\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d37eaec5e0a564a3913878396596b527c28f5602)
![{\displaystyle E_{\alpha }(z)=H_{1,2}^{1,1}\left[-z{\bigg |}{\begin{matrix}(0,1)\\(0,1),(0,\alpha )\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/213e8ae23e76b90e509b92d6397145be50693b1c)
