不定積分 不定積分は原始 関数です。これらの公式の右辺には定数（積分定数）を加えることができますが、ここでは簡潔にするために省略しています。
その他の積分 （なお、この式の値はn の値に依存し ないため、積分式には含まれません。）
∫ x x ⋅ ⋅ x ⏟ m d x = ∑ n = 0 m （ − 1 ） n （ n + 1 ） n − 1 n ! Γ （ n + 1 、 − ln x ） + ∑ n = m + 1 ∞ （ − 1 ） n 1 m n Γ （ n + 1 、 − ln x ） （のために x > 0 ） {\displaystyle {\int \underbrace {x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{x}}}}} _{m}dx=\sum _{n=0}^{m}{\frac {(-1)^{n}(n+1)^{n-1}}{n!}}\Gamma (n+1,-\ln x)+\sum _{n=m+1}^{\infty }(-1)^{n}a_{mn}\Gamma (n+1,-\ln x)\qquad {\text{(for }}x>0{\text{)}}}} どこ1 m n = { 1 もし n = 0 、 1 n ! もし m = 1 、 1 n ∑ j = 1 n j 1 m 、 n − j 1 m − 1 、 j − 1 さもないと {\displaystyle a_{mn}={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0,\\\\{\dfrac {1}{n!}}&{\text{if }}m=1,\\\\{\dfrac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}ja_{m,n-j}a_{m-1,j-1}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
そしてΓ( x , y )は 上不完全ガンマ関数 である。
∫ 1 1 e λ x + b d x = x b − 1 b λ ln （ 1 e λ x + b ） {\displaystyle \int {\frac {1}{ae^{\lambda x}+b}}\,dx={\frac {x}{b}}-{\frac {1}{b\lambda }}\ln \left(ae^{\lambda x}+b\right)} b ≠ 0 {\displaystyle b\neq 0} λ ≠ 0 {\displaystyle \lambda \neq 0} 1 e λ x + b > 0. {\displaystyle ae^{\lambda x}+b>0.} ∫ e 2 λ x 1 e λ x + b d x = 1 1 2 λ [ 1 e λ x + b − b ln （ 1 e λ x + b ） ] {\displaystyle \int {\frac {e^{2\lambda x}}{ae^{\lambda x}+b}}\,dx={\frac {1}{a^{2}\lambda }}\left[ae^{\lambda x}+b-b\ln \left(ae^{\lambda x}+b\right)\right]} 1 ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} λ ≠ 0 {\displaystyle \lambda \neq 0} 1 e λ x + b > 0. {\displaystyle ae^{\lambda x}+b>0.} ∫ 1 e c x − 1 b e c x − 1 d x = （ 1 − b ） ログ （ 1 − b e c x ） b c + x 。 {\displaystyle \int {\frac {ae^{cx}-1}{be^{cx}-1}}\,dx={\frac {(a-b)\log(1-be^{cx})}{bc}}+x.} ∫ e x （ f （ x ） + f ′ （ x ） ） dx = e x f （ x ） + C {\displaystyle \int {e^{x}\left(f\left(x\right)+f'\left(x\right)\right){\text{dx}}}=e^{x}f\left(x\right)+C} ∫ e x （ f （ x ） − （ − 1 ） n d n f （ x ） d x n ） d x = e x ∑ k = 1 n （ − 1 ） k − 1 d k − 1 f （ x ） d x k − 1 + C {\displaystyle \int {e^{x}\left(f\left(x\right)-\left(-1\right)^{n}{\frac {d^{n}f\left(x\right)}{dx^{n}}}\right)\,dx}=e^{x}\sum _{k=1}^{n}{\left(-1\right)^{k-1}{\frac {d^{k-1}f\left(x\right)}{dx^{k-1}}}}+C} ∫ e − x （ f （ x ） − d n f （ x ） d x n ） d x = − e − x ∑ k = 1 n d k − 1 f （ x ） d x k − 1 + C {\displaystyle \int {e^{-x}\left(f\left(x\right)-{\frac {d^{n}f\left(x\right)}{dx^{n}}}\right)\,dx}=-e^{-x}\sum _{k=1}^{n}{\frac {d^{k-1}f\left(x\right)}{dx^{k-1}}}+C} ∫ e 1 x （ （ 1 ） n f （ x ） − （ − 1 ） n d n f （ x ） d x n ） d x = e 1 x ∑ k = 1 n （ 1 ） n − k （ − 1 ） k − 1 d k − 1 f （ x ） d x k − 1 + C {\displaystyle \int {e^{ax}\left(\left(a\right)^{n}f\left(x\right)-\left(-1\right)^{n}{\frac {d^{n}f\left(x\right)}{dx^{n}}}\right)\,dx}=e^{ax}\sum _{k=1}^{n}{\left(a\right)^{n-k}\left(-1\right)^{k-1}{\frac {d^{k-1}f\left(x\right)}{dx^{k-1}}}}+C}
定積分 ∫ 0 1 e x ⋅ ln 1 + （ 1 − x ） ⋅ ln b d x = ∫ 0 1 （ 1 b ） x ⋅ b d x = ∫ 0 1 1 x ⋅ b 1 − x d x = 1 − b ln 1 − ln b のために 1 > 0 、 b > 0 、 1 ≠ b {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}e^{x\cdot \ln a+(1-x)\cdot \ln b}\,dx&=\int _{0}^{1}\left({\frac {a}{b}}\right)^{x}\cdot b\,dx\\&=\int _{0}^{1}a^{x}\cdot b^{1-x}\,dx\\&={\frac {a-b}{\ln a-\ln b}}\qquad {\text{for }}a>0,\ b>0,\ a\neq b\end{aligned}}} 最後の式は対数平均 です。
∫ 0 ∞ e − 1 x d x = 1 1 （ 再 （ 1 ） > 0 ） {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-ax}\,dx={\frac {1}{a}}\quad (\operatorname {Re} (a)>0)} ∫ 0 ∞ e − 1 x 2 d x = 1 2 π 1 （ 1 > 0 ） {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi \over a}}\quad (a>0)} ガウス積分 ）∫ − ∞ ∞ e − 1 x 2 d x = π 1 （ 1 > 0 ） {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}}\,dx={\sqrt {\pi \over a}}\quad (a>0)} ∫ − ∞ ∞ e − 1 x 2 e − b x 2 d x = π 1 e − 2 1 b （ 1 、 b > 0 ） {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}}e^{-{\frac {b}{x^{2}}}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}e^{-2{\sqrt {ab}}}\quad (a,b>0)} ∫ − ∞ ∞ e − （ 1 x 2 + b x ） d x = π 1 e b 2 4 1 （ 1 > 0 ） {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx)}\,dx={\sqrt {\pi \over a}}e^{\tfrac {b^{2}}{4a}}\quad (a>0)} ガウス関数の積分を 参照）∫ − ∞ ∞ e − （ 1 x 2 + b x + c ） d x = π 1 e b 2 4 1 − c （ 1 > 0 ） {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}\,dx={\sqrt {\pi \over a}}e^{{\tfrac {b^{2}}{4a}}-c}\quad (a>0)} ∫ − ∞ ∞ x e − 1 （ x − b ） 2 d x = b π 1 （ 再 （ 1 ） > 0 ） {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }xe^{-a(x-b)^{2}}\,dx=b{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\quad (\operatorname {Re} (a)>0)} ∫ − ∞ ∞ x e − 1 x 2 + b x d x = π b 2 1 3 / 2 e b 2 4 1 （ 再 （ 1 ） > 0 ） {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }xe^{-ax^{2}+bx}\,dx={\frac {{\sqrt {\pi }}b}{2a^{3/2}}}e^{\frac {b^{2}}{4a}}\quad (\operatorname {Re} (a)>0)} ∫ − ∞ ∞ x 2 e − 1 x 2 d x = 1 2 π 1 3 （ 1 > 0 ） {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x^{2}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi \over a^{3}}}\quad (a>0)} ∫ − ∞ ∞ x 2 e − （ 1 x 2 + b x ） d x = π （ 2 1 + b 2 ） 4 1 5 / 2 e b 2 4 1 （ 再 （ 1 ） > 0 ） {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x^{2}e^{-(ax^{2}+bx)}\,dx={\frac {{\sqrt {\pi }}(2a+b^{2})}{4a^{5/2}}}e^{\frac {b^{2}}{4a}}\quad (\operatorname {Re} (a)>0)} ∫ − ∞ ∞ x 3 e − （ 1 x 2 + b x ） d x = π （ 6 1 + b 2 ） b 8 1 7 / 2 e b 2 4 1 （ 再 （ 1 ） > 0 ） {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x^{3}e^{-(ax^{2}+bx)}\,dx={\frac {{\sqrt {\pi }}(6a+b^{2})b}{8a^{7/2}}}e^{\frac {b^{2}}{4a}}\quad (\operatorname {Re} (a)>0)} ∫ 0 ∞ x n e − 1 x 2 d x = { Γ （ n + 1 2 ） 2 1 n + 1 2 （ n > − 1 、 1 > 0 ） （ 2 k − 1 ） ! ! 2 k + 1 1 k π 1 （ n = 2 k 、 k 整数 、 1 > 0 ） k ! 2 （ 1 k + 1 ） （ n = 2 k + 1 、 k 整数 、 1 > 0 ） {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax^{2}}\,dx={\begin{cases}{\dfrac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{2a^{\frac {n+1}{2}}}}&(n>-1,\ a>0)\\{\dfrac {(2k-1)!!}{2^{k+1}a^{k}}}{\sqrt {\dfrac {\pi }{a}}}&(n=2k,\ k{\text{ integer}},\ a>0)\\{\dfrac {k!}{2(a^{k+1})}}&(n=2k+1,\ k{\text{ integer}},\ a>0)\end{cases}}} （オペレーター）! ! {\displaystyle !!} は二重階乗 です)
∫ 0 ∞ x n e − 1 x d x = { Γ （ n + 1 ） 1 n + 1 （ n > − 1 、 再 （ 1 ） > 0 ） n ! 1 n + 1 （ n = 0 、 1 、 2 、 … 、 再 （ 1 ） > 0 ） {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax}\,dx={\begin{cases}{\dfrac {\Gamma (n+1)}{a^{n+1}}}&(n>-1,\ \operatorname {Re} (a)>0)\\\\{\dfrac {n!}{a^{n+1}}}&(n=0,1,2,\ldots ,\ \operatorname {Re} (a)>0)\end{cases}}} ∫ 0 1 x n e − 1 x d x = n ! 1 n + 1 [ 1 − e − 1 ∑ 私 = 0 n 1 私 私 ! ] {\displaystyle \int _{0}^{1}x^{n}e^{-ax}\,dx={\frac {n!}{a^{n+1}}}\left[1-e^{-a}\sum _{i=0}^{n}{\frac {a^{i}}{i!}}\right]} ∫ 0 b x n e − 1 x d x = n ! 1 n + 1 [ 1 − e − 1 b ∑ 私 = 0 n （ 1 b ） 私 私 ! ] {\displaystyle \int _{0}^{b}x^{n}e^{-ax}\,dx={\frac {n!}{a^{n+1}}}\left[1-e^{-ab}\sum _{i=0}^{n}{\frac {(ab)^{i}}{i!}}\right]} ∫ 0 ∞ e − 1 x b d x = 1 b 1 − 1 b Γ （ 1 b ） {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-ax^{b}}dx={\frac {1}{b}}\ a^{-{\frac {1}{b}}}\Gamma \left({\frac {1}{b}}\right)} ∫ 0 ∞ x n e − 1 x b d x = 1 b 1 − n + 1 b Γ （ n + 1 b ） {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax^{b}}dx={\frac {1}{b}}\ a^{-{\frac {n+1}{b}}}\Gamma \left({\frac {n+1}{b}}\right)} ∫ 0 ∞ e − 1 x 罪 b x d x = b 1 2 + b 2 （ 1 > 0 ） {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-ax}\sin bx\,dx={\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}\quad (a>0)} ∫ 0 ∞ e − 1 x コス b x d x = 1 1 2 + b 2 （ 1 > 0 ） {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-ax}\cos bx\,dx={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}\quad (a>0)} ∫ 0 ∞ x e − 1 x 罪 b x d x = 2 1 b （ 1 2 + b 2 ） 2 （ 1 > 0 ） {\displaystyle \int _{0}^{\infty }xe^{-ax}\sin bx\,dx={\frac {2ab}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}\quad (a>0)} ∫ 0 ∞ x e − 1 x コス b x d x = 1 2 − b 2 （ 1 2 + b 2 ） 2 （ 1 > 0 ） {\displaystyle \int _{0}^{\infty }xe^{-ax}\cos bx\,dx={\frac {a^{2}-b^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}\quad (a>0)} ∫ 0 ∞ e − 1 x 罪 b x x d x = アークタン b 1 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-ax}\sin bx}{x}}\,dx=\arctan {\frac {b}{a}}} ∫ 0 ∞ e − 1 x − e − b x x d x = ln b 1 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-ax}-e^{-bx}}{x}}\,dx=\ln {\frac {b}{a}}} ∫ 0 ∞ e − 1 x − e − b x x 罪 p x d x = アークタン b p − アークタン 1 p {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-ax}-e^{-bx}}{x}}\sin px\,dx=\arctan {\frac {b}{p}}-\arctan {\frac {a}{p}}} ∫ 0 ∞ e − 1 x − e − b x x コス p x d x = 1 2 ln b 2 + p 2 1 2 + p 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-ax}-e^{-bx}}{x}}\cos px\,dx={\frac {1}{2}}\ln {\frac {b^{2}+p^{2}}{a^{2}+p^{2}}}} ∫ 0 ∞ e − 1 x （ 1 − コス x ） x 2 d x = アークコット 1 − 1 2 ln （ 1 1 2 + 1 ） {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-ax}(1-\cos x)}{x^{2}}}\,dx=\operatorname {arccot} a-{\frac {a}{2}}\ln {\Big (}{\frac {1}{a^{2}}}+1{\Big )}} ∫ − ∞ ∞ e 1 x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + f d x = e f ∑ n 、 m 、 p = 0 ∞ b 4 n （ 4 n ） ! c 2 m （ 2 m ） ! d 4 p （ 4 p ） ! Γ （ 3 n + m + p + 1 4 ） 1 3 n + m + p + 1 4 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+f}\,dx=e^{f}\sum _{n,m,p=0}^{\infty }{\frac {b^{4n}}{(4n)!}}{\frac {c^{2m}}{(2m)!}}{\frac {d^{4p}}{(4p)!}}{\frac {\Gamma (3n+m+p+{\frac {1}{4}})}{a^{3n+m+p+{\frac {1}{4}}}}}} 超弦理論 のいくつかのモデルに現れる）∫ 0 2 π e x コス θ d θ = 2 π 私 0 （ x ） {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_{0}(x)} I₀ は ∫ 0 2 π e x コス θ + y 罪 θ d θ = 2 π 私 0 （ x 2 + y 2 ） {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta +y\sin \theta }d\theta =2\pi I_{0}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)} ∫ 0 ∞ x s − 1 e x / z − 1 d x = リー s （ z ） Γ （ s ） 、 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}/z-1}}\,dx=\operatorname {Li} _{s}(z)\Gamma (s),} どこリー s （ z ） {\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)} は多対数 です。
∫ 0 ∞ 罪 m x e 2 π x − 1 d x = 1 4 布 m 2 − 1 2 m {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin mx}{e^{2\pi x}-1}}\,dx={\frac {1}{4}}\coth {\frac {m}{2}}-{\frac {1}{2m}}} ∫ 0 ∞ e − x ln x d x = − γ 、 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}\ln x\,dx=-\gamma ,} どこγ {\displaystyle \gamma } オイラー・マスケローニ定数 であり、いくつかの定積分の値に等しい。
最後に、よく知られている結果として、 ∫ 0 2 π e 私 （ m − n ） ϕ d ϕ = 2 π δ m 、 n のために m 、 n ∈ Z {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }e^{i(m-n)\phi }d\phi =2\pi \delta _{m,n}\qquad {\text{for }}m,n\in \mathbb {Z} } δ m 、 n {\displaystyle \delta _{m,n}} はクロネッカーデルタ です。
参考文献
Toyesh Prakash Sharma 、Etisha Sharma 、「指数積分のクラスの別の一般化とその応用を提案する」、International Journal of Scientific Research in Mathematical and Statistical Sciences、Vol.10、Issue.2、pp.1-8、2023。
外部リンク Wolfram Mathematicaオンライン積分器 モル、ヴィクトル・ユーゴー 。「GRにおける公式と証明のリスト」 。 2016年2月12日 取得 。
![{\displaystyle \int {\frac {e^{2\lambda x}}{ae^{\lambda x}+b}}\,dx={\frac {1}{a^{2}\lambda }}\left[ae^{\lambda x}+bb\ln \left(ae^{\lambda x}+b\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fb1fd68afed8ab416094845d04ac2ed1c3bc788)
![{\displaystyle \int _{0}^{1}x^{n}e^{-ax}\,dx={\frac {n!}{a^{n+1}}}\left[1-e^{-a}\sum _{i=0}^{n}{\frac {a^{i}}{i!}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92482c2e5d7502755c6da9b6f088ff00721580e1)
![{\displaystyle \int _{0}^{b}x^{n}e^{-ax}\,dx={\frac {n!}{a^{n+1}}}\left[1-e^{-ab}\sum _{i=0}^{n}{\frac {(ab)^{i}}{i!}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f17026bf5a6616142c6b1a8f0392f3ceb373cbbd)
