半指数関数

数学において、半指数関数は指数関数の関数平方根である。つまり、関数${\displaystyle f}$そのため${\displaystyle f}$自身と合成すると指数関数になります: ^{[ 1 ] [ 2 ]}$${\displaystyle f{\bigl (}f(x){\bigr )}=ab^{x},}$$ いくつかの定数に対して${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$。

ヘルムート・クネーザーは、解の正則構成を最初に提案した。${\displaystyle f{\bigl (}f(x){\bigr )}=e^{x}}$1950年に。

関数が${\displaystyle f}$は、標準的な算術演算、指数関数、対数関数、および実数値定数を使用して定義され、${\displaystyle f{\bigl (}f(x){\bigr )}}$は指数関数的か指数関数的かのどちらかである。^{[ 3 ]}したがって、ハーディL関数は半指数関数にはなり得ない。

任意の指数関数は自己合成として記述できる${\displaystyle f(f(x))}$無限に多くの可能な選択肢に対して${\displaystyle f}$特に、すべての${\displaystyle A}$オープンインターバル${\displaystyle (0,1)}$そして、すべての連続的に厳密に増加する関数に対して${\displaystyle g}$から${\displaystyle [0,A]}$に${\displaystyle [A,1]}$この関数は、連続的に厳密に増加する関数に拡張される。${\displaystyle f}$実数上で${\displaystyle f{\bigl (}f(x){\bigr )}=\exp x}$[ ^{4 ]}関数^​${\displaystyle f}$関数方程式の唯一の解$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}g(x)&{\mbox{if }}x\in [0,A],\\\exp g^{-1}(x)&{\mbox{if }}x\in (A,1],\\\exp f(\ln x)&{\mbox{if }}x\in (1,\infty ),\\\ln f(\exp x)&{\mbox{if }}x\in (-\infty ,0).\\\end{cases}}}$$

簡単な例を挙げると、${\displaystyle f}$連続な一次導関数を持つ${\displaystyle f'}$あらゆる場所で、また原因となる ${\displaystyle f''\geq 0}$どこでも（つまり${\displaystyle f(x)}$上に凸で、${\displaystyle f'(x)}$増加し、すべての実${\displaystyle x}$) は、${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}}$そして${\displaystyle g(x)=x+{\tfrac {1}{2}}}$与える $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\ln \left(e^{x}+{\tfrac {1}{2}}\right)&{\mbox{if }}x\leq -\ln 2,\\e^{x}-{\tfrac {1}{2}}&{\mbox{if }}{-\ln 2}\leq x\leq 0,\\x+{\tfrac {1}{2}}&{\mbox{if }}0\leq x\leq {\tfrac {1}{2}},\\e^{x-1/2}&{\mbox{if }}{\tfrac {1}{2}}\leq x\leq 1,\\x{\sqrt {e}}&{\mbox{if }}1\leq x\leq {\sqrt {e}},\\e^{x/{\sqrt {e}}}&{\mbox{if }}{\sqrt {e}}\leq x\leq e,\\x^{\sqrt {e}}&{\mbox{if }}e\leq x\leq e^{\sqrt {e}},\\e^{x^{1/{\sqrt {e}}}}&{\mbox{if }}e^{\sqrt {e}}\leq x\leq e^{e},\ldots \\\end{cases}}}$$ クローンとノイエンドルファーは、(a)解析的であり、かつ(b)常に実数を実数に写像する半指数関数f(x)は存在しないと主張している。上記の区分的解法は目標(b)を達成するが、(a)は達成しない。目標(a)を達成するには、次のように記述すればよい。${\displaystyle e^{x}}$固定点 Q に基づくテイラー級数として (そのような固定点は無限に存在するが、それらはすべて非実数複素数である、例えば${\displaystyle Q=0.3181315+1.3372357i}$) となり、Q も f の不動点となる。${\displaystyle f(Q)=e^{Q}=Q}$次に、マクローリン級数の係数を計算します。${\displaystyle f(x-Q)}$一つずつ見ていくと、クネーザーの正則解が得られる。

クネーザーの解の構築は、テトレーションを非整数値に拡張する問題と密接に関連しています。${\displaystyle {}^{1/2}a}$価値として理解できる${\displaystyle f(1)}$、 どこ${\displaystyle f(x)}$満たす${\displaystyle f{\bigl (}f(x){\bigr )}=a^{x}}$. クネーザーの解からの例の値${\displaystyle f{\bigl (}f(x){\bigr )}=e^{x}}$含む${\displaystyle f(0)\approx 0.49856}$そして${\displaystyle f{\bigl (}1)\approx 1.64635}$[ ^{5 ] [ 6 ] [ 7 ]​}

半指数関数は、計算複雑性理論において、多項式と指数関数の中間の成長率を表すために用いられる。^{[ 2 ]} 関数${\displaystyle f}$非減少関数で、かつ、半指数関数（それ自身との合成は指数関数的に増加する）と少なくとも同じ速さで増加する。${\displaystyle f^{-1}(x^{C})=o(\log x)}$、すべての${\displaystyle C>0}$[ ^{8 ]​}

• 反復関数– 数学関数を繰り返し適用した結果 
• シュレーダー方程式– 関数合成の不動点に関する方程式 
• アーベル方程式– 反復値を計算する関数の式 

• 指数関数は（合成）平方根を持ちますか？
• 半指数関数的成長を示す「閉形式」関数