制約カウント

数学において、制約カウントとは、制約の数をカウントして、それを自由に決定できる変数、パラメータなどの数と比較することです。ほとんどの場合、実行できる独立した選択の数は、後者が前者を上回った数であるという考えに基づいています。

たとえば、線型代数では、線型方程式系の制約 (独立方程式) の数が未知数の数と等しい場合、解は 1 つだけ存在します。独立方程式の数が未知数の数より少ない場合、解は無限に存在します。また、独立方程式の数が未知数の数を超える場合、解は存在しません。

偏微分方程式の文脈では、制約カウントは、偏微分方程式の解を指定するために必要な自由関数の数を数えるための、大まかではあるが便利な方法です。

2次元波動方程式のような3変数の2階偏微分方程式を考える。

${\displaystyle u_{tt}=u_{xx}+u_{yy}.}$

このような方程式を、任意の関数に必要な偏微分よりも少ない偏微分を使って関数の任意の偏微分を書き直すことを可能にする書き換え規則として考えると、多くの場合有益である。例えば、が波動方程式を満たす場合、次のように書き直すことができる 。${\displaystyle u(t,x,y)}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle u_{tyt}=u_{tty}=u_{xxy}+u_{yyy}}$

最初の等式では、偏微分が可換であるという事実を利用しました。

線形偏微分方程式の重要な特殊なケースでこれに答えるために、アインシュタインは次のように尋ねました。解の偏微分のうち、線形独立となるものはいくつありますか？彼の答えは、通常の生成関数を使用して記録すると便利です。

${\displaystyle s(\xi )=\sum _{k=0}^{\infty }s_{k}\xi ^{k}}$

ここで、は、問題の方程式の解空間における任意の関数の線形独立な偏微分（k 次）の数を数える自然数です。 ${\displaystyle s_{k}}$

関数が何らかの偏微分方程式を満たすときはいつでも、対応する書き換え規則を使用してそれらのいくつかを消去することができます。これは、混合偏微分が必然的に線形従属になるためです。具体的には、 3変数（制約なし）の 任意の関数の多様性を数えるべき級数は、

${\displaystyle f(\xi )={\frac {1}{(1-\xi )^{3}}}=1+3\xi +6\xi ^{2}+10\xi ^{3} +\ドット }$

しかし、ある2階偏微分方程式の解空間にあるものを数えたべき級数は

${\displaystyle g(\xi )={\frac {1-\xi ^{2}}{(1-\xi )^{3}}}=1+2\xi +5\xi ^{2}+ 7\xi ^{3}+\ドット }$

これは、 2 次部分関数を1 つ、3 次部分関数を3 つ、など 削除できることを記録します。${\displaystyle u_{tt}}$${\displaystyle u_{ttt},\,u_{ttx},\,u_{tty}}$

より一般的には、n変数の任意の関数のOGFは

${\displaystyle s[n](\xi )=1/(1-\xi )^{n}=1+n\,\xi +\left({\begin{matrix}n\\2\end{matrix}}\right)\,\xi ^{2}+\left({\begin{matrix}n+1\\3\end{matrix}}\right)\,\xi ^{3}+\dots }$

ここで、生成関数の無限べき級​​数の係数は、適切な無限二項係数列を使用して構成され、線形m次方程式を満たすために必要な関数のべき級数は、

${\displaystyle g(\xi )={\frac {1-\xi ^{m}}{(1-\xi )^{n}}}}$

次、

${\displaystyle {\frac {1-\xi ^{2}}{(1-\xi )^{3}}}={\frac {1+\xi }{(1-\xi )^{2} }}}$

これは、 3変数の 2 次線形偏微分方程式の解が、2変数の自由に選択された2 つの関数によって表現可能であると解釈できます。そのうちの 1 つはすぐに使用され、もう 1 つは解を表現するために 1 次導関数を取った後にのみ使用されます。

この予測を検証するには、初期値問題の解を思い出してください。

${\displaystyle u_{tt}=u_{xx}+u_{yy},\;u(0,x,​​y)=p(x,y),\;u_{t}(0,x,​​y)=q(x,y)}$

ラプラス変換を 適用 すると、${\displaystyle u(t,x,y)\mapsto [Lu](\omega ,x,y)}$

${\displaystyle -\omega ^{2}\,[Lu]+\omega \,p(x,y)+q(x,y)+[Lu]_{x}+[Lu]_{y}}$

2つの空間変数に フーリエ変換を 適用すると、次の式が得られます。${\displaystyle [Lu](\omega ,x,y)\mapsto [FLU](\omega ,m,n)}$

${\displaystyle -\omega ^{2}\,[FLu]+\omega \,[Fp]+[Fq]-(m^{2}+n^{2})\,[FLu]}$

または

${\displaystyle [FLu](\omega ,m,n)={\frac {\omega \,[Fp](m,n)+[Fq](m,n)}{\omega ^{2}+m^{2}+n^{2}}}}$

逆ラプラス変換を適用すると、

${\displaystyle [Fu](t,m,n)=[Fp](m,n)\,\cos({\sqrt {m^{2}+n^{2}}}\,t)+{\frac {[Fq](m,n)\,\sin({\sqrt {m^{2}+n^{2}}}\,t)}{\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}}$

逆フーリエ変換を適用すると、

${\displaystyle u(t,x,y)=Q(t,x,y)+P_{t}(t,x,y)}$

どこ

${\displaystyle P(t,x,y)={\frac {1}{2\pi }}\,\int _{(xx')^{2}+(yy')^{2}}}$

${\displaystyle Q(t,x,y)={\frac {1}{2\pi }}\,\int _{(xx')^{2}+(yy')^{2}}}{\frac {q(x',y')\,dx'dy'}{\left[t^{2}-(xx')^{2}-(yy')^{2}\right]^{1/2}}}}$

ここで、p、q は 2 つの変数の任意の (十分に滑らかな) 関数であるため、(適度な時間依存性のため) 積分 P、Q も 2 つの変数の「自由に選択された」関数としてカウントされます。約束どおり、2 次元波動方程式の初期値問題の一般解を表現するために、そのうちの 1 つをもう 1 つに加える前に 1 回微分します。

非線形方程式の場合、閉じた形式で一般解を得ることはほとんど不可能です。ただし、方程式が準線形(最高次の導関数が線形) である場合は、上記と同様の近似情報を得ることができます。つまり、解空間のメンバーを指定することは、「非線形の細かい点を除いた」ものであり、少数の変数で特定の数の関数を指定することと同等です。これらの関数の数は、偏微分方程式のアインシュタイン強度です。上記の単純な例では、強度は 2 ですが、この場合はより正確な情報を得ることができました。

• Siklos, STC (1996). 「アインシュタインの方程式の解の数え上げ」.クラス. 量子重力. 13 (7): 1931–1948. Bibcode :1996CQGra..13.1931S. doi :10.1088/0264-9381/13/7/021. S2CID  250815723. 制約カウントのリーマン幾何学と一般相対性理論への応用。