ラムダ真空ソリューション

一般相対性理論では、ラムダ真空解は、応力エネルギーテンソルの唯一の項が宇宙定数項であるアインシュタイン場の方程式の正確な解です。これは、物理的には、非ゼロの真空エネルギーへの一種の古典的近似として解釈できます。これらは、宇宙定数がゼロになる真空解とは区別してここで説明します。

用語に関する注意:この記事は標準的な概念に関するものですが、この概念を表す標準的な用語が存在しないようです。そこで、 Wikipediaのために標準的な用語を提供しようと試みました。

アインシュタイン場の方程式は、 いわゆる宇宙定数項とともに と書かれることが多い。しかし、この項を右辺に移動して応力エネルギーテンソルに吸収することも可能であり、その場合、宇宙定数項は応力エネルギーテンソルへの単なる別の寄与となる。そのテンソルへの他の寄与が消えると、結果は ラムダ真空となる。リッチテンソル による同等の定式化は次のようになる。 $${\displaystyle G^{ab}+\Lambda \,g^{ab}=\kappa \,T^{ab},}$$ ${\displaystyle \Lambda \,g^{ab}}$ ${\displaystyle T^{ab}}$$${\displaystyle G^{ab}=-\Lambda \,g^{ab}}$$$${\displaystyle R^{ab}=\left({\tfrac {1}{2}}R-\Lambda \right)\,g^{ab}.}$$

ゼロでない宇宙定数項は、ゼロでない真空エネルギーの観点から解釈することができます。次の 2 つのケースがあります。

• ${\displaystyle \Lambda >0}$:ド・ジッター空間と同様に、正の真空エネルギー密度と負の等方性真空圧力、
• ${\displaystyle \Lambda <0}$:反ド・ジッター空間と同様に、負の真空エネルギー密度と正の等方性真空圧力。

真空のエネルギー密度がゼロではないという考えは直感に反するように思えるかもしれないが、これは量子場理論では意味をなしている。実際、真空のエネルギーがゼロではないことは、カシミール効果で実験的に検証することもできる。

座標基底ではなくフレーム フィールドに関して計算されたテンソルの成分は、観測者によって (原理的に) 測定できる成分であるため、 多くの場合、物理成分と呼ばれます。フレームは 4 つの単位ベクトル場から構成されます。 ここで、最初の単位ベクトル場は時間的単位ベクトル場であり、他の単位ベクトル場は空間的単位ベクトル場であり、すべての点で、観測者ファミリー (必ずしも慣性観測者ではない) の世界線に直交します。 $${\displaystyle {\vec {e}}_{0},\;{\vec {e}}_{1},\;{\vec {e}}_{2},\;{\vec {e}}_{3}}$$${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$

注目すべきことに、ラムダ真空の場合、すべての観測者は同じエネルギー密度と同じ（等方性）圧力を測定します。つまり、アインシュタイン テンソルは次の形式をとります。 このテンソルがすべての観測者 に対して同じ形式をとるということは、ラムダ真空の等方性群がSO(1,3)、つまり完全なローレンツ群であると言うことと同じです。 $${\displaystyle G^{{\hat {a}}{\hat {b}}}=-\Lambda {\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$$

ラムダ真空のアインシュタインテンソルの 特性多項式は、次の形式でなければなりません。ニュートンの恒等式 を使用すると、この条件は、アインシュタインテンソルのべき乗の トレースで次のように再表現できます。 ここで、は 、2 階のアインシュタインテンソルに対応する線形演算子のべき乗のトレースです。 $${\displaystyle \chi (\zeta )=\left(\zeta +\Lambda \right)^{4}}$$$${\displaystyle t_{2}={\tfrac {1}{4}}t_{1}^{2},\;t_{3}={\tfrac {1}{16}}t_{1}^{3},\;t_{4}={\tfrac {1}{64}}t_{1}^{4}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}t_{1}&={G^{a}}_{a},&t_{2}&={G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{a},\\t_{3}&={G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{a},&t_{4}&={G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{d}\,{G^{d}}_{a}\end{aligned}}}$$

ラムダ真空解の定義は、物理的な解釈に関係なく数学的に意味を持ち、ラムダ真空は純粋数学者によって研究される概念の特殊なケースです。

アインシュタイン多様体は、リッチテンソルが計量テンソルに比例する擬似リーマン多様体です。アインシュタイン多様体でもあるローレンツ多様体は、まさにラムダ真空解です。

ラムダ真空ソリューションの注目すべき個別の例は次のとおりです。

• ド・ジッター空間、 dS宇宙論モデルとも呼ばれる。
• 反ド・ジッター空間、 AdS宇宙論モデルとも呼ばれる。
• ド・ジッター・シュワルツシルト計量、これはド・ジッター宇宙に浸された球対称の質量の大きい物体をモデル化する（AdSについても同様）。
• カー・ド・ジッター計量、後者の回転一般化、
• ナリアイ時空; これは、ベルトッティ-ロビンソンの電気真空以外で、デカルト積構造を持つ一般相対性理論における唯一の解です。

• 一般相対論における正確な解