アインシュタイン場の方程式の解

アインシュタイン場方程式の解は、一般相対性理論のアインシュタイン場方程式（EFE）を解くことによって得られる時空の計量である。場方程式を解くとローレンツ多様体が得られる。解は大きく分けて厳密解と非厳密解に分類される。

アインシュタイン場の方程式は

$${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }\,=\kappa T_{\mu \nu },}$$

どこ$\displaystyle G_{\mu \nu }}$アインシュタインテンソルは、${\displaystyle \Lambda }$は宇宙定数（簡略化のためにゼロとされることもある）である。$\displaystyle g_{\mu \nu }}$は計量テンソルです。${\displaystyle \kappa }$は定数であり、$\displaystyle T_{\mu \nu }}$は応力エネルギーテンソルです。

アインシュタイン場の方程式は、アインシュタインテンソルと、時空多様体におけるエネルギー、運動量、および応力の分布を表す応力エネルギーテンソルとの関係を示しています。アインシュタインテンソルは、計量テンソルとその偏微分から構成されるため、応力エネルギーテンソルが与えられれば、アインシュタイン場の方程式は計量テンソルを求めることができる10個の偏微分方程式の系となります。

重力系の進化を決定するには、多くの場合、アインシュタイン場の方程式だけでは不十分であることを理解することが重要です。アインシュタイン場の方程式は、応力エネルギーテンソルに依存し、応力エネルギーテンソルは物質とエネルギーのダイナミクス（例えば、運動する粒子の軌道）に依存し、さらにダイナミクスは重力場に依存します。理論の弱い場​​の極限のみに関心がある場合は、特殊相対性理論の方法やニュートンの重力法則を用いて物質のダイナミクスを計算し、得られた応力エネルギーテンソルをアインシュタイン場の方程式に代入することができます。しかし、厳密解や強い場を記述する解が必要な場合は、計量と応力エネルギーテンソルの両方の進化を同時に解く必要があります。

解を得るには、上記のEFE（どちらの形式でも可）に加えて、連続の式（応力エネルギーテンソルの変化を決定するため）を用いる必要がある。

${\displaystyle T^{ab}{}_{;b}\,=0\,.}$

これらはわずか14個の方程式（場の方程式から10個、連続の方程式から4個）に過ぎず、20個の未知数（10個の計量成分と10個の応力エネルギーテンソル成分）を決定するには不十分である。状態方程式が欠けている。最も一般的な場合、少なくともさらに6個の方程式が必要であることは容易にわかる。時空全体で変化する可能性のある内部自由度（温度など）がある場合は、さらに多くの方程式が必要になる可能性もある。

実際には、状態方程式の完全なセットを単純な近似式に置き換えることで問題を簡略化できる場合が多い。一般的な近似式には以下のようなものがある。

• 真空：

${\displaystyle T_{ab}\,=0}$

• 完全流体：

${\displaystyle T_{ab}\,=(\rho +p)u_{a}u_{b}+pg_{ab}}$どこ${\displaystyle u^{a}u_{a}=-1}$

ここ${\displaystyle \rho }$は瞬間的な共動座標系で測定された質量エネルギー密度であり、$u_a$は流体の4次元速度ベクトル場であり、${\displaystyle p}$プレッシャーです。

• 相互作用しない塵（完全流体の特殊なケース）：

${\displaystyle T_{ab}\,=\rho u_{a}u_{b}}$

完全流体の場合、密度に関連する別の状態方程式は次のようになります。${\displaystyle \rho }$そして圧力${\displaystyle p}$追加する必要がある。この方程式は温度に依存することが多いため、熱伝達方程式が必要となるか、熱伝達を無視できるという仮定が必要となる。

次に、元の 14 個の方程式のうち独立なのは 10 個だけであることに注目してください。${\displaystyle T^{ab}{}_{;b}=0}$これはアインシュタイン方程式の結果です。これは、システムがゲージ不変であるという事実を反映しています（一般に、何らかの対称性がない場合、同じシステム上の曲線座標ネットの選択は、数値的に異なる解に対応します）。「ゲージ固定」が必要です。つまり、明確な結果を得るために、座標系に 4 つの（任意の）制約を課す必要があります。これらの制約は、座標条件として知られています。

よく用いられるゲージの一つに、「デ・ドンダーゲージ」と呼ばれるものがあり、これは調和条件ゲージまたは調和ゲージとも呼ばれる。

${\displaystyle g^{\mu \nu }\Gamma ^{\sigma }{}_{\mu \nu }=0\,.}$

数値相対性理論では、好ましいゲージは、 ADM形式に基づくいわゆる「3+1分解」である。この分解では、計量は次の形式で記述される。

${\displaystyle ds^{2}\,=(-N+N^{i}N^{j}\gamma _{ij})dt^{2}+2N^{i}\gamma _{ij}dtdx^{j}+\gamma _{ij}dx^{i}dx^{j}}$、 どこ${\displaystyle i,j=1\dots 3\,.}$

${\displaystyle N}$そして${\displaystyle N^{i}}$これらは時空座標の関数であり、各点で任意に選択できます。残りの物理的自由度は以下にあります。$\displaystyle \gamma _{ij}}$これは定数を持つ3次元超曲面上のリーマン計量を表す。${\displaystyle t}$例えば、素朴な選択として${\displaystyle N=1}$、${\displaystyle N_{i}=0}$これは、いわゆる同期座標系に対応する。つまり、t座標が、共動する観測者（固定された軌道に沿って移動する粒子）の固有時間と一致する座標系である。${\displaystyle x^{i}}$（軌道）

状態方程式が選択され、ゲージが固定されると、方程式の完全なセットを解くことができます。残念ながら、真空中の重力場（応力エネルギーテンソルがゼロ）という最も単純な場合でさえ、問題は複雑すぎて厳密に解くことはできません。物理的な結果を得るには、数値計算法を用いるか、対称性を課して厳密解を求めるか、摂動法やアインシュタインテンソルの線形近似などの中間的なアプローチを試すかのいずれかになります。

主要な研究分野の一つは、アインシュタイン場の方程式の厳密解の発見である。これらの方程式を解くことは、特定の物理的条件下で計量テンソル（時空の曲率と幾何学を定義する）の正確な値を計算することに相当する。このような解を構成するものについての正式な定義はないが、ほとんどの科学者は、それらは初等関数または線形微分方程式を用いて表現できるべきであるという点で一致している。^{[ 1 ]}これらの方程式の最も注目すべき解には、次のようなものがある。

• シュワルツシルト解は、球対称で回転しない、電荷を持たない質量のある物体を取り巻く時空を記述する。十分にコンパクトな物体の場合、この解は中心に特異点を持つブラックホールを生成する。^{[ 2 ]}中心質量から遠く離れた点では、シュワルツシルト解によって予測される加速度は、ニュートンの重力理論によって予測される加速度とほぼ一致する。^{[ 3 ]}
• ライスナー・ノルドシュトロム解は、電荷を持つ非回転球対称物体を解析するもので、1916年から1921年の間に複数の研究者によって独立に発見された。^{[ 4 ]}この解は、場合によっては、二重事象の地平線を持つブラックホールの存在を予測することができる。^{[ 5 ]}
• カー解は、シュワルツシルト解を回転する質量のある物体に一般化したものである。回転の影響をアインシュタイン場の方程式に組み込むのが難しいため、この解は1963年まで発見されなかった。^{[ 6 ]}
• 帯電した回転する質量のある物体に対するカー・ニューマン解。この解は、カー解に使用されたのと同じ複素座標変換の手法を用いて、1964 年に導出された。^{[ 7 ]}
• 宇宙論におけるフリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー解は、 1922年にアレクサンダー・フリードマンによって発見され、1927年にジョルジュ・ルメートルによって確認された。この解は、宇宙の膨張を予測する上で画期的なものであり、7年後にエドウィン・ハッブルによる一連の測定によって確認された。^{[ 8 ]}この解は、一般相対性理論が静的な宇宙とは相容れないことを示し、アインシュタインは後に、膨張していない宇宙を説明するために場の方程式を設計したのは間違いだったと認めた。^{[ 9 ]}

今日でも、アインシュタイン場の方程式が解かれていない重要な状況が数多く残っています。その中でも最も重要なのは、太陽と地球、あるいは連星系の2つの恒星など、互いに相互作用する2つの質量のある物体の周りの時空の幾何学に関する2体問題です。3つ以上の質量のある物体の相互作用（「 n体問題」）を考えると、状況はさらに複雑になります。しかし、ポストニュートン展開の手法を用いることで、n体問題における場の方程式の近似解を構築することは依然として可能です。^{[ 10 ]}一般に、アインシュタイン場の方程式の極端な非線形性により、最も特殊な場合を除いて、それらを解くことは困難です。^{[ 11 ]}

厳密解ではない解は非厳密解と呼ばれます。このような解は主に、EFEを閉じた形で解くことの難しさから生じ、多くの場合、理想的なシステムへの近似という形をとります。ほとんどの物理的シナリオでは、厳密解を見つけることは不可能であるため、近似が行われます。このような場合でも、非厳密解は現実的な宇宙論的システムのモデル化に利用できます。さらに、多くの非厳密解は物理的な内容を持たないかもしれませんが、理論的な推測に対する有用な反例となります。

非厳密解は、数値的手法や摂動理論を用いて求められることが多い。一般的な摂動的手法としては、ニュートン力学を基準として相対論的効果を考慮した補正を加えるポストニュートン展開がある。 ^{[ 12 ]}連立微分方程式を解くための数値的手法には、直交多項式または関数の集合で関数を展開するスペクトル法、有限差分法、有限要素法などがある。 ^{[ 13 ]}コンピュータシミュレーションも、特に大質量星やブラックホールなどの強磁場シナリオにおいて、非厳密解を求めるためによく用いられ、臨界挙動や予期せぬ現象の検出に役立つ。^{[ 14 ]}コンピュータシミュレーションを用いてこれらの解を求める手法は、数値相対性理論と呼ばれる。

アインシュタイン場の方程式の解を研究することには、理論的な理由だけでなく、実際的な理由も存在する。

純粋に数学的な観点から言えば、アインシュタイン場の方程式の解の集合を知ることは興味深い。これらの解の中には、1つ以上のパラメータによってパラメータ化されるものもある。物理的な観点から言えば、アインシュタイン場の方程式の解を知ることで、ブラックホール、中性子星、恒星系などの天体物理現象を非常に精密にモデル化することができる。解析対象とした系について、水星の近日点歳差運動、回転するブラックホール内部における共回転領域の存在、大質量天体の周りを回る物体の軌道などについて、解析的に予測を行うことができる。

• リッチ計算
• アルバート・アインシュタイン

• Wheeler, JA; Misner, C.; Thorne, KS (1973). Gravitation . WH Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0。
• Wheeler, JA; Ciufolini, I. (1995).重力と慣性.プリンストン大学出版局. ISBN 978-0-691-03323-5。
• ラムボーン、RJA（2010）。相対性理論、重力、宇宙論。オープン大学、ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-13138-4。