シュワルツシルト解の導出

シュワルツシルト解は、質量があり、回転せず、球対称な物体の影響下にある時空を記述する。これは、アインシュタイン場の方程式に対する最も単純かつ有用な解の 1 つであると考える人もいる。^[要出典]

座標にそれぞれ 1 から 4 のラベルが付けられた座標チャートで作業し、最も一般的な形式のメトリック (それぞれが 4 つの変数の滑らかな関数である 10 個の独立したコンポーネント) から始めます。ソリューションは球対称、静的、真空であると想定されます。この記事では、これらの想定を次のように記述します (正確な定義については、関連するリンクを参照してください)。 ${\displaystyle \left(r,\theta,\phi,t\right)}$

1. 球対称時空は、回転に対して不変であり、鏡像をとったときも同様です。
2. 静的時空とは、すべての計量成分が時間座標から独立しており（したがって）、時間反転の下でも時空の幾何学は変化しない時空である。${\displaystyle t}$${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial t}}g_{\mu \nu }=0}$${\displaystyle t\rightarrow -t}$
3. 真空解は、方程式 を満たす解です。アインシュタインの場の方程式(宇宙定数はゼロ) から、収縮により が生じるため、これは次のことを意味します。${\displaystyle T_{ab}=0}$${\displaystyle R_{ab}=0}$ ${\displaystyle R_{ab}-{\tfrac {R}{2}}g_{ab}=0}$${\displaystyle R=0}$
4. ここで使用されるメトリック署名は(+,+,+,−) です。

最初に行うべき簡略化は、メトリックを対角化することです。座標変換、では、すべてのメトリック成分は同じままです。この変換では、 メトリック成分( ) は次のように変化します。${\displaystyle (r,\theta,\phi,t)\rightarrow (r,\theta,\phi,-t)}$${\displaystyle g_{\mu 4}}$${\displaystyle \mu \neq 4}$

${\displaystyle g_{\mu 4}'={\frac {\partial x^{\alpha }}{\partial x^{'\mu }}}{\frac {\partial x^{\beta }}{\partial x^{'4}}}g_{\alpha \beta }=-g_{\mu 4}}$（）${\displaystyle \mu \neq 4}$

しかし、予想どおり（メトリック コンポーネントは同じまま）、これは次のことを意味します。 ${\displaystyle g'_{\mu 4}=g_{\mu 4}}$

${\displaystyle g_{\mu 4}=\,0}$（）${\displaystyle \mu \neq 4}$

同様に、座標変換およびはそれぞれ次のようになります。 ${\displaystyle (r,\theta,\phi,t)\rightarrow (r,\theta,-\phi,t)}$${\displaystyle (r,\theta,\phi,t)\rightarrow (r,-\theta,\phi,t)}$

${\displaystyle g_{\mu 3}=\,0}$（）${\displaystyle \mu \neq 3}$

${\displaystyle g_{\mu 2}=\,0}$（）${\displaystyle \mu \neq 2}$

これらをすべてまとめると次のようになります。

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\,0}$（）${\displaystyle \mu \neq \nu }$

したがって、メトリックは次の形式になります。

${\displaystyle ds^{2}=\,g_{11}\,dr^{2}+g_{22}\,d\theta ^{2}+g_{33}\,d\phi ^{2}+g_{44}\,dt^{2}}$

ここで、4 つのメトリック成分は時間座標から独立しています(静的仮定による)。 ${\displaystyle t}$

定数 の各超曲面上では、定数および定数(つまり、各放射状線上) は、球対称性によりのみ に依存するはずです。したがって、は単一変数の関数です。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle g_{11}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle g_{11}}$

${\displaystyle g_{11}=A\left(r\right)}$

同様の議論を に適用すると次のことがわかります。 ${\displaystyle g_{44}}$

${\displaystyle g_{44}=B\left(r\right)}$

定数と定数の超曲面上では、計量が2次元球面の計量であることが要求される。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle dl^{2}=r_{0}^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})}$

これらの超曲面の 1 つ (たとえば、半径 のもの) を選択すると、この超曲面に制限された計量成分 (および で表す)は、および(球対称性により)の回転で変化しないはずです。この超曲面上の計量の形式を比較すると、次のようになります。 ${\displaystyle r_{0}}$${\displaystyle {\tilde {g}}_{22}}$${\displaystyle {\tilde {g}}_{33}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\tilde {g}}_{22}\left(d\theta ^{2}+{\frac {{\tilde {g}}_{33}}{{\tilde {g}}_{22}}}\,d\phi ^{2}\right)=r_{0}^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})}$

すると、次のようになります。

${\displaystyle {\tilde {g}}_{22}=r_{0}^{2}}$そして${\displaystyle {\tilde {g}}_{33}=r_{0}^{2}\sin ^{2}\theta }$

しかし、これは各超曲面上で成立する必要がある。したがって、

${\displaystyle g_{22}=\,r^{2}}$そして${\displaystyle g_{33}=\,r^{2}\sin ^{2}\theta }$

および が平坦な時空の場合と同じでなければならないことを直感的に理解する別の方法は、弾性材料を球対称 (放射状) に伸ばしたり圧縮したりしても、2 点間の角度距離は変化しないことです。 ${\displaystyle g_{22}}$${\displaystyle g_{33}}$

したがって、メトリックは次の形式で表すことができます。

${\displaystyle ds^{2}=A\left(r\right)dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}+B\left(r\right)dt^{2}}$

およびの未決定関数。またはがある時点でゼロに等しい場合、その時点で計量は特異になることに注意してください。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle r}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

上記の測定基準を使用して、インデックスが であるクリストッフェル記号を見つけます。 記号は関数の全微分を表します。 ${\displaystyle (1,2,3,4)=(r,\theta ,\phi ,t)}$${\displaystyle '}$

${\displaystyle \Gamma _{ik}^{1}={\begin{bmatrix}A'/\left(2A\right)&0&0&0\\0&-r/A&0&0\\0&0&-r\sin ^{2}\theta /A&0\\0&0&0&-B'/\left(2A\right)\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \Gamma _{ik}^{2}={\begin{bmatrix}0&1/r&0&0\\1/r&0&0&0\\0&0&-\sin \theta \cos \theta &0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \Gamma _{ik}^{3}={\begin{bmatrix}0&0&1/r&0\\0&0&\cot \theta &0\\1/r&\cot \theta &0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \Gamma _{ik}^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&B'/\left(2B\right)\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\B'/\left(2B\right)&0&0&0\end{bmatrix}}}$

およびを決定するために、真空場の方程式が使用されます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle R_{\alpha \beta }=\,0}$

したがって:

${\displaystyle {\Gamma _{\beta \alpha ,\rho }^{\rho }}-\Gamma _{\rho \alpha ,\beta }^{\rho }+\Gamma _{\rho \lambda }^{\rho }\Gamma _{\beta \alpha }^{\lambda }-\Gamma _{\beta \lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho \alpha }^{\lambda }=0\,,}$

ここで、コンマは導関数に使用されているインデックスを区切るために使用されます。リッチ曲率は、指定された座標で対角になります。

${\displaystyle R_{tt}=-{\frac {1}{4}}{\frac {B'}{A}}\left({\frac {A'}{A}}-{\frac {B'}{B}}+{\frac {4}{r}}\right)-{\frac {1}{2}}\left({\frac {B'}{A}}\right)^{'}\,,}$

${\displaystyle R_{rr}=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {B'}{B}}\right)^{'}-{\frac {1}{4}}\left({\frac {B'}{B}}\right)^{2}+{\frac {1}{4}}{\frac {A'}{A}}\left({\frac {B'}{B}}+{\frac {4}{r}}\right)\,,}$

${\displaystyle R_{\theta \theta }=1-\left({\frac {r}{A}}\right)^{'}-{\frac {r}{2A}}\left({\frac {A'}{A}}+{\frac {B'}{B}}\right)\,,}$

${\displaystyle R_{\phi \phi }=\sin ^{2}(\theta )R_{\theta \theta },}$

ここでプライムは関数の r導関数を意味します。

場の方程式のうち 3 つだけが非自明であり (4 番目の方程式は3 番目の方程式のちょうど倍数)、簡略化するとそれぞれ次のようになります。 ${\displaystyle \sin ^{2}\theta }$

${\displaystyle 4A'B^{2}-2rB''AB+rA'B'B+rB'^{2}A=0}$、

${\displaystyle -2rB''AB+rA'B'B+rB'^{2}A-4B'AB=0}$、

${\displaystyle rA'B+2A^{2}B-2AB-rB'A=0}$

最初の方程式と 2 番目の方程式を減算すると、次のようになります。

${\displaystyle A'B+AB'=0\Rightarrow A(r)B(r)=K}$

ここで、はゼロでない実定数です。3番目の式に代入して整理すると、次のようになります。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle A(r)B(r)\,=K}$

${\displaystyle rA'=A(1-A)}$

これは一般解を持つ:

${\displaystyle A(r)=\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)^{-1}}$

非ゼロの実定数に対して。したがって、静的で球対称な真空解の計量は次の形式になります。 ${\displaystyle S}$

${\displaystyle ds^{2}=\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})+K\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)dt^{2}}$

上記の計量によって表される時空は漸近的に平坦であること、つまり、 として、計量はミンコフスキー計量のそれに近づき、時空多様体はミンコフスキー空間のそれに似ていることに注意してください。 ${\displaystyle r\rightarrow \infty }$

計量の測地線（が極限化されたところで得られる）は、ある極限（例えば、無限大の光速に向かう）において、ニュートン運動の解（例えば、ラグランジュ方程式によって得られる）と一致しなければならない。（計量は、それが表す質量が消滅するとき、 ミンコフスキー空間に制限されなければならない。）${\displaystyle ds}$

${\displaystyle 0=\delta \int {\frac {ds}{dt}}dt=\delta \int (KE+PE_{g})dt}$

(ここで は運動エネルギー、 は重力による位置エネルギーです) 定数と は、このアプローチのいくつかのバリエーションによって完全に決定されます。弱場近似から、次の結果が得られます。 ${\displaystyle KE}$${\displaystyle PE_{g}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle g_{44}=K\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)\approx -c^{2}+{\frac {2Gm}{r}}=-c^{2}\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)}$

ここでは重力定数、は重力源の質量、 は光速です。次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle m}$${\displaystyle c}$

${\displaystyle K=\,-c^{2}}$そして${\displaystyle {\frac {1}{S}}=-{\frac {2Gm}{c^{2}}}}$

したがって:

${\displaystyle A(r)=\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)^{-1}}$そして${\displaystyle B(r)=-c^{2}\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)}$

したがって、シュワルツシルト計量は最終的に次の形式で記述できます。

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})-c^{2}\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)dt^{2}}$

ご了承ください：

${\displaystyle {\frac {2Gm}{c^{2}}}=r_{s}}$

は質量 の物体のシュワルツシルト半径の定義なので、シュワルツシルト計量は別の形式で書き直すことができます。 ${\displaystyle m}$

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})-c^{2}\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)dt^{2}}$

これは、計量​​が事象の地平線（つまり、 ）に近づくにつれて特異になることを示しています。計量の特異点は物理的な特異点ではありません（ただし、 には実際の物理的な特異点があります）。これは、適切な座標変換（たとえば、Kruskal–Szekeres 座標系）を使用することで示されます。 ${\displaystyle r\rightarrow r_{s}}$${\displaystyle r=0}$

[この導出はケプラーの第 3 法則を前提としているため、欠陥があります。この法則には相対論的な補正があるため、これは根拠がありません。たとえば、「r」の意味は、この古典法則では物理的な距離ですが、一般相対性理論では単なる座標です。] シュワルツシルト計量は、円軌道と一時的に静止した質点の既知の物理学を使用して導出することもできます。^[1] の未知の係数である計量から始めます。 ${\displaystyle r}$

${\displaystyle -c^{2}=\left({ds \over d\tau }\right)^{2}=A(r)\left({dr \over d\tau }\right)^{2}+r^{2}\left({d\phi \over d\tau }\right)^{2}+B(r)\left({dt \over d\tau }\right)^{2}.}$

ここで、オイラー・ラグランジュ方程式を弧長積分に適用します。 は定数 なので、被積分関数は に置き換えることができます。これは、被積分関数に任意の定数を掛けても E-L 方程式はまったく同じであるためです。 E-L 方程式を修正された被積分関数に適用すると、次のようになります。 ${\displaystyle {J=\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\sqrt {-\left({\text{d}}s/{\text{d}}\tau \right)^{2}}}\,{\text{d}}\tau .}}$${\displaystyle ds/d\tau }$${\displaystyle ({\text{d}}s/{\text{d}}\tau )^{2},}$${\displaystyle J}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}A'(r){\dot {r}}^{2}+2r{\dot {\phi }}^{2}+B'(r){\dot {t}}^{2}&=&2A'(r){\dot {r}}^{2}+2A(r){\ddot {r}}\\0&=&2r{\dot {r}}{\dot {\phi }}+r^{2}{\ddot {\phi }}\\0&=&B'(r){\dot {r}}{\dot {t}}+B(r){\ddot {t}}\end{array}}}$

ここでドットは微分を表す。${\displaystyle \tau .}$

円軌道では、上記の最初のE-L方程式は次の式と等しくなります。 ${\displaystyle {\dot {r}}={\ddot {r}}=0,}$

${\displaystyle 2r{\dot {\phi }}^{2}+B'(r){\dot {t}}^{2}=0\Leftrightarrow B'(r)=-2r{\dot {\phi }}^{2}/{\dot {t}}^{2}=-2r(d\phi /dt)^{2}.}$

ケプラーの運動の第三法則は

${\displaystyle {\frac {T^{2}}{r^{3}}}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}.}$

円軌道では周期は等しいので 、${\displaystyle T}$${\displaystyle 2\pi /(d\phi /dt),}$

${\displaystyle \left({d\phi \over dt}\right)^{2}=GM/r^{3}}$

点質点は中心物体の質量に比べて無視できるので 、これを積分すると、積分定数が未知数となる。 は、設定することで決定でき、その場合、時空は平坦であり、 So であり、 ${\displaystyle m}$${\displaystyle M.}$${\displaystyle B'(r)=-2GM/r^{2}}$${\displaystyle B(r)=2GM/r+C,}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle M=0,}$${\displaystyle B(r)=-c^{2}.}$${\displaystyle C=-c^{2}}$

${\displaystyle B(r)=2GM/r-c^{2}=c^{2}(2GM/c^{2}r-1)=c^{2}(r_{s}/r-1).}$

質点が一時的に静止しているとき、元の計量方程式は となり、上記の最初のE-L方程式は となり、 質点が一時的に静止しているとき、重力加速度は となり、 したがって ${\displaystyle {\dot {r}}=0}$${\displaystyle {\dot {\phi }}=0.}$${\displaystyle {\dot {t}}^{2}=-c^{2}/B(r)}$${\displaystyle A(r)=B'(r){\dot {t}}^{2}/(2{\ddot {r}}).}$${\displaystyle {\ddot {r}}}$${\displaystyle -MG/r^{2}.}$

${\displaystyle A(r)=\left({\frac {-2MG}{r^{2}}}\right)\left({\frac {-c^{2}}{2MG/r-c^{2}}}\right)\left(-{\frac {r^{2}}{2MG}}\right)={\frac {1}{1-2MG/(rc^{2})}}={\frac {1}{1-r_{s}/r}}.}$

計量の元々の定式化では、光の速度が半径方向と横方向で同じではない異方性座標が使われていました。 アーサー・エディントンは、等方性座標で別の形式を与えました。^[2] 等方性球面座標では、、、座標とが不変であり、（ と仮定）^[3]${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle r\geq {\frac {2Gm}{c^{2}}}}$

${\displaystyle r=r_{1}\left(1+{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}}$     、       、 そして${\displaystyle dr=dr_{1}\left(1-{\frac {(Gm)^{2}}{4c^{4}r_{1}^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)=\left(1-{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}/\left(1+{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}}$

そして等方 直交座標では、、、${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle x=r_{1}\,\sin(\theta )\,\cos(\phi )\quad ,}$   ${\displaystyle y=r_{1}\,\sin(\theta )\,\sin(\phi )\quad ,}$   ${\displaystyle z=r_{1}\,\cos(\theta )}$

等方性直交座標では、メトリックは次のようになります。

${\displaystyle ds^{2}=\left(1+{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{4}(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})-c^{2}dt^{2}\left(1-{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}/\left(1+{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}}$

シュワルツシルト計量を導出する際には、計量が真空、球対称、静的であると仮定された。静的仮定は不要である。バーコフの定理によれば、アインシュタインの場の方程式の球対称真空解はどれも定常であり、したがってシュワルツシルト解も定常である。バーコフの定理の結果、球対称のままの脈動星はどれも重力波を生成しない。星の外部領域が静的であるからである。

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