流体ソリューション

一般相対性理論では、流体解は、重力場が流体の質量、運動量、応力密度によって完全に生成されるアインシュタイン場の式の正確な解です。

天体物理学では、完全気体は完全流体の特殊なケースと考えられるため、流体解は恒星モデルとしてよく使用されます。宇宙論では、流体解は宇宙モデルとしてよく使用されます。

相対論的流体の応力エネルギーテンソルは次のように表される^[1]。

${\displaystyle T^{ab}=\mu \,u^{a}\,u^{b}+p\,h^{ab}+\left(u^{a}\,q^{b}+q^{a}\,u^{b}\right)+\pi ^{ab}}$

ここ

• 流体要素の世界線は速度ベクトル の積分曲線であり、${\displaystyle u^{a}}$
• 射影テンソルは 他のテンソルをに直交する超平面要素に射影する。${\displaystyle h_{ab}=g_{ab}+u_{a}\,u_{b}}$${\displaystyle u^{a}}$
• 物質の密度はスカラー関数で与えられる。${\displaystyle \mu }$
• 圧力はスカラー関数で与えられ、${\displaystyle p}$
• 熱流束ベクトルは次のように与えられる。${\displaystyle q^{a}}$
• 粘性せん断テンソルは次のように与えられる。${\displaystyle \pi ^{ab}}$

熱流束ベクトルと粘性せん断テンソルは世界線に対して 横方向であり、

${\displaystyle q_{a}\,u^{a}=0,\;\;\pi _{ab}\,u^{b}=0}$

これは、それらが事実上 3 次元の量であり、粘性応力テンソルが対称でトレースレスであるため、それぞれ 3 つと 5 つの線形独立成分を持つことを意味します。密度と圧力を合わせると、合計 10 個の線形独立成分になります。これは、4 次元対称ランク 2 テンソルの線形独立成分の数です。

流体解のいくつかの特殊なケースは注目に値します (ここでは光速c  = 1)。

• 完全な流体では粘性せん断力と熱流束はゼロになります。

${\displaystyle T^{ab}=(\mu +p)\,u^{a}\,u^{b}+p\,g^{ab},}$

• 塵は圧力のない完全な流体です。

${\displaystyle T^{ab}=\mu \,u^{a}\,u^{b},}$

• 放射流体は、以下の条件を満たす完全流体です。${\displaystyle \mu =3p}$

${\displaystyle T^{ab}=p\,\left(4\,u^{a}\,u^{b}+\,g^{ab}\right).}$

最後の 2 つは、それぞれ物質優位の時代と放射線優位の時代の宇宙論モデルとしてよく使用されます。一般に流体を指定するには 10 個の関数が必要ですが、完全流体の場合は 2 個、ダスト流体と放射線流体の場合はそれぞれ 1 個の関数のみが必要であることに注意してください。このようなソリューションを見つけるのは、一般的な流体ソリューションを見つけるよりもはるかに簡単です。

ダストや放射流体以外の完全流体の中で、最も重要な特殊なケースは、静的な球対称完全流体解です。これらは、球面を横切るシュワルツシルト真空に常に一致させることができるため、恒星モデルの内部解として使用できます。このようなモデルでは、流体の内部が真空の外部に一致する球が恒星の表面であり、半径が に近づくにつれて圧力は極限でゼロになる必要があります。ただし、密度は下からの極限ではゼロ以外になる可能性がありますが、上からの極限では当然ゼロになります。近年、これらすべての解を得るための驚くほど単純なスキームがいくつか示されました。 ${\displaystyle r=r[0]}$${\displaystyle r_{0}}$

座標基底ではなくフレーム フィールドに関して計算されたテンソルの成分は、（原理的には）観測者によって測定できる成分であるため、 多くの場合、物理成分と呼ばれます。

完全流体の特殊なケースでは、適応フレーム

${\displaystyle {\vec {e}}_{0},\;{\vec {e}}_{1},\;{\vec {e}}_{2},\;{\vec {e}}_{3}}$

（最初のものは時間的単位ベクトル場、最後の3つは空間的単位ベクトル場）は常に存在し、その中でアインシュタインテンソルは単純な形をとる。

${\displaystyle G^{{\widehat {a\,}}{\widehat {b\,}}}=8\pi \,\left[{\begin{matrix}\mu &0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\end{matrix}}\right]}$

ここで、はエネルギー密度、は流体の圧力です。ここで、時間的単位ベクトル場は、流体要素と共動する観測者の世界線にどこでも接しているので、先ほど述べた密度と圧力は、共動する観測者によって測定されたものです。これらは、前のセクションで示した一般的な座標基底式に現れる量と同じです。これを確認するには、 と置くだけです。物理的な要素の形から、任意の完全流体の等方性群が、通常の回転群である 3 次元リー群 SO(3) と同型であることが簡単にわかります。 ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {e}}_{0}}$

これらの結果が、曲がった時空でも平坦なミンコフスキー時空での流体力学とまったく同じであるという事実は、等価性原理の表現です。

完全流体におけるアインシュタインテンソルの 特性多項式は、次の形をとる。

${\displaystyle \chi (\lambda )=\left(\lambda -8\pi \mu \right)\,\left(\lambda -8\pi p\right)^{3}}$

ここでも、流体要素と共動する観測者によって測定された流体の密度と圧力です。(これらの量は流体内で変化する可能性があることに注意してください。) これを書き出し、結果として得られる代数関係を簡略化するためにグレブナー基底法を適用すると、特性の係数が次の 2 つの代数的に独立した(不変の) 条件を満たす 必要があることがわかります。${\displaystyle \mu ,\,p}$

${\displaystyle 12a_{4}+a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}=0}$

${\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}-9a_{3}^{2}-9a_{1}^{2}a_{4}+32a_{2}a_{4}=0}$

しかし、ニュートンの恒等式によれば、アインシュタインテンソルの累乗の軌跡はこれらの係数と次のように関係しています。

${\displaystyle {G^{a}}_{a}=t_{1}=a_{1}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{a}=t_{2}=a_{1}^{2}-2a_{2}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{a}=t_{3}=a_{1}^{3}-3a_{1}a_{2}+3a_{3}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{d}\,{G^{d}}_{a}=t_{4}=a_{1}^{4}-4a_{1}^{2}a_{2}+4a_{1}a_{3}+2a_{2}^{2}-a_{4}}$

したがって、上記の 2 つの量をすべてべき乗のトレースで書き直すことができます。これらは明らかにスカラー不変量であり、完全な流体解の場合に同じように消えなければなりません。

${\displaystyle t_{2}^{3}+4t_{3}^{2}+t_{1}^{2}t_{4}-4t_{2}t_{4}-2t_{1}t_{2}t_{3}=0}$

${\displaystyle t_{1}^{4}+7t_{2}^{2}-8t_{1}^{2}t_{2}+12t_{1}t_{3}-12t_{4}=0}$

これは、流体の圧力と密度を関連付ける 状態方程式については何も仮定していないことに注意してください。1 つの単純固有値と 1 つの 3 重固有値があることのみを仮定しています。

ダスト溶液（圧力消失）の場合、これらの条件は大幅に簡素化されます。

${\displaystyle a_{2}\,=a_{3}=a_{4}=0}$

または

${\displaystyle t_{2}=t_{1}^{2},\;\;t_{3}=t_{1}^{3},\;\;t_{4}=t_{1}^{4}}$

テンソル体操記法では、これはリッチスカラーを使用して次のように記述できます。

${\displaystyle {G^{a}}_{a}=-R}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{a}=R^{2}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{a}=-R^{3}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{d}\,{G^{d}}_{a}=-R^{4}}$

放射性液体の場合、基準は

${\displaystyle a_{1}=0,\;27\,a_{3}^{2}+8a_{2}^{3}=0,\;12\,a_{4}+a_{2}^{2}=0}$

または

${\displaystyle t_{1}=0,7\,t_{3}^{2}-t_{2}\,t_{4}=0,\;12\,t_{4}-7\,t_{2}^{2}=0}$

これらの基準を使用する場合、最大固有値が時間的固有ベクトルに属することを確実にするように注意する必要があります。これは、この固有値基準を満たすローレンツ多様体があり、その中で大きな固有値は空間的固有ベクトルに属し、これらは放射流体を表すことができないためです。

特性の係数はしばしば非常に複雑に見え、トレースもそれほど良くはありません。ソリューションを探すときは、適切に適応されたフレームに関してアインシュタイン テンソルの成分を計算し、適切な成分の組み合わせを直接削除する方がほとんどの場合優れています。ただし、適応されたフレームが明らかでない場合は、これらの固有値基準が、特に他の考慮事項と組み合わせて使用​​すると、役立つ場合があります。

これらの基準は、いわゆる完全流体解を抜き打ちチェックするのに役立つことが多く、その場合、特性係数は、より単純な不完全流体の場合よりもはるかに単純になることが多いです。

注目すべき個々のダスト解はダスト解の記事に列挙されている。正圧を特徴とする注目すべき完全流体解には、宇宙論のさまざまな放射流体モデルが含まれる。

• FRW 放射流体、放射優位FRW モデルとも呼ばれます。

静的球対称完全流体のファミリーに加えて、注目すべき回転流体ソリューションには以下が含まれます。

• ワルキスト流体はカー真空と似た対称性を持ち、回転する恒星の単純なモデルの内部解を提供できるのではないかと当初期待されていましたが、その後、期待は打ち砕かれました。

• ダストソリューション、ダストソリューションの重要な特別なケースについては、
• 一般相対論における厳密解、一般における厳密解については、
• ローレンツ群
• 完全流体、物理学一般における完全流体については、
• 相対論的ディスク、完全流体の観点から相対論的ディスクを解釈します。

• ステファニー、H.クレイマー、D.マッカラム、M.ヘネセラース、C.ヘルト、E. (2003)。アインシュタインの場方程式の正確な解 (第 2 版)。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-46136-7。 正確で完璧な流体および粉塵ソリューションの例を多数示します。
• ステファニ、ハンス（1996年）。一般相対性理論（第2版）。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-37941-5。相対論的流体と熱力学については第 8 章を参照してください。
• Delgaty, MSR; Lake, Kayll (1998). 「アインシュタイン方程式の孤立した静的球対称完全流体解の物理的受容性」. Comput. Phys. Commun . 115 (2–3): 395–415. arXiv : gr-qc/9809013 . Bibcode :1998CoPhC.115..395D. doi :10.1016/S0010-4655(98)00130-1. S2CID  17957408.このレビュー記事では、1995 年頃までに知られていた静的球対称流体解を調査します。
• Lake, Kayll (2003). 「アインシュタイン方程式のすべての静的球対称完全流体解」. Phys. Rev. D . 67 (10): 104015. arXiv : gr-qc/0209104 . Bibcode :2003PhRvD..67j4015L. doi :10.1103/PhysRevD.67.104015. S2CID  119447644.この記事では、一般相対論における静的球対称完全流体解をすべて得るために最近発見されたいくつかの方式のうちの 1 つについて説明します。