プロ有限群

数学において、プロ有限群とは、ある意味で有限群の体系から構成される位相群のことである。

プロ有限群を用いる考え方は、有限群のシステム全体を「統一的」または「概観的」に捉えることにある。プロ有限群の性質は、一般的に言えば、システムの統一的な性質である。例えば、プロ有限群が（位相群として）有限生成であるのは、ある条件が満たされる場合のみである。${\displaystyle d\in \mathbb {N} }$システム内のすべてのグループが生成できるように${\displaystyle d}$要素。^{[ 1 ]}有限群に関する多くの定理は、プロ有限群に容易に一般化できます。例としては、 ラグランジュの定理とシローの定理があります。^{[ 2 ]}

プロ有限群を構成するには、有限群の体系と、それらの間の群準同型写像が必要です。一般性を失うことなく、これらの準同型写像は全射であると仮定できます。その場合、有限群は結果として得られるプロ有限群の商群として現れます。ある意味で、これらの商群はプロ有限群を近似します。

プロ有限群の重要な例としては、以下の加法群が挙げられる。${\displaystyle p}$-進整数と無限次数体拡大のガロア群。

すべてのプロ有限群はコンパクトかつ完全不連結である。この概念の非コンパクトな一般化として、局所プロ有限群がある。さらに一般的なものとして、完全不連結群がある。

プロ有限群は、2つの同等な方法のいずれかで定義できる。

• 有限群は、離散位相が与えられた場合、プロ有限群となる。
• のグループ${\displaystyle p}$-進整数${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$加法の下ではプロ有限（実際にはプロサイクリック）である。それは有限群の逆極限である。${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$どこ${\displaystyle n}$すべての自然数と自然マップの範囲${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z} }$のために${\displaystyle n\geq m.}$このプロ有限群の位相は、${\displaystyle p}$-進評価${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$
• プロ有限整数の群${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$は、${\displaystyle \mathbb {Z} .}$詳細には、それは有限群の逆極限である。${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$どこ${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$モジュロマップを使用して${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$のために${\displaystyle m\,|\,n.}$このグループは、すべてのグループの積です${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},}$そしてそれは、任意の有限体の絶対ガロア群である。
• 無限次数体拡大のガロア理論は、自然にプロ有限なガロア群を生み出す。具体的には、${\displaystyle L/K}$はガロア拡大であり、群を考える。${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (L/K)}$すべての体自己同型から構成される${\displaystyle L}$すべての要素を保持する${\displaystyle K}$固定。この群は有限群の逆極限である。${\displaystyle \operatorname {Gal} (F/K),}$どこ${\displaystyle F}$すべての中間フィールドの範囲で、${\displaystyle F/K}$は有限ガロア拡大である。極限過程の場合、制限準同型写像は${\displaystyle \operatorname {Gal} (F_{1}/K)\to \operatorname {Gal} (F_{2}/K)}$使用される場合、${\displaystyle F_{2}\subseteq F_{1}.}$得られたトポロジー${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$ヴォルフガング・クルルにちなんでクルル位相として知られている。ウォーターハウス（1974）は、すべてのプロ有限群は、ある体のガロア理論から生じる群と同型であることを示した。${\displaystyle K,}$しかし、どの分野を（まだ）制御することはできない${\displaystyle K}$この場合はそうなるでしょう。実際、多くの分野で${\displaystyle K}$一般に、どの有限群がガロア群として現れるかは正確にはわからない。${\displaystyle K.}$これは体に関する逆ガロア問題である。 ${\displaystyle K.}$（一部の分野では）${\displaystyle K}$逆ガロア問題は解決済みである（例えば、複素数体上の1変数有理関数の体など）。すべてのプロ有限群が体の絶対ガロア群として現れるわけではない。 ^{[ 6 ]}
• 代数幾何学で考察されるエタール基本群は、大まかに言えば、代数が代数多様体の有限被覆しか「見ることができない」ため、プロ有限群でもある。しかし、代数トポロジーの基本群は一般にプロ有限ではない。任意の指定された群に対して、その基本群と等しい基本群を持つ2次元CW複体が存在する。
• 局所的に有限な根付き木の自己同型群はプロ有限である。

• （任意の数の）プロ有限群の積はすべてプロ有限である。プロ有限性から生じる位相は積位相と一致する。連続遷移写像を持つプロ有限群の逆系の逆極限はプロ有限であり、逆極限関手はプロ有限群の圏上で完全である。さらに、プロ有限であることは拡張性質である。
• プロ有限群のすべての閉部分群はそれ自体がプロ有限である。プロ有限性から生じる位相は部分空間位相と一致する。${\displaystyle N}$プロ有限群の閉正規部分群である${\displaystyle G,}$次に因子グループ${\displaystyle G/N}$はプロ有限である。プロ有限性から生じる位相は商位相と一致する。
• すべてのプロ有限群${\displaystyle G}$はコンパクトハウスドルフであり、上にハール測度が存在する。${\displaystyle G,}$これにより、サブセットの「サイズ」を測定できます。${\displaystyle G,}$特定の確率を計算し、関数を積分する${\displaystyle G.}$
• プロ有限群の部分群は、それが閉部分群であり、かつ有限指数を持つ場合に限り、開部分群である。
• Nikolay NikolovとDan Segalの定理によれば、位相的に有限生成プロ有限群 (すなわち、稠密な有限生成部分群を持つプロ有限群) では、有限指数の部分群は開群である。これは、位相的に有限生成プロ有限群に対するJean-Pierre Serreの以前の類似の結果を一般化したものである。${\displaystyle p}$グループ。証明では有限単純群の分類を使用します。
• 上記のニコロフ・セガル結果の簡単な帰結として、任意の全射離散群準同型${\displaystyle \varphi :G\to H}$プロフィニティ群の間${\displaystyle G}$そして${\displaystyle H}$は、${\displaystyle G}$は位相的に有限生成である。実際、の任意の開部分群は${\displaystyle H}$は有限指数なので、${\displaystyle G}$も有限指数を持つため、開集合でなければならない。
• 仮定する${\displaystyle G}$そして${\displaystyle H}$位相的に有限生成プロ有限群であり、離散群として同型写像によって同型である。${\displaystyle \iota .}$それから${\displaystyle \iota }$上記の結果により、全単射かつ連続である。さらに、${\displaystyle \iota ^{-1}}$も連続なので、${\displaystyle \iota }$これは同相写像である。したがって、位相的に有限生成なプロ有限群の位相は、その代数構造によって一意に決定される。

有限群の概念があり、これは有限群の概念的双対です。つまり、群${\displaystyle G}$有限群の帰納的系の直極限である場合、それは ind-有限群である。（特に、それはind-群である。）通常の用語は異なる。群${\displaystyle G}$有限生成部分群がすべて有限である場合、その群は局所的に有限であると呼ばれる。これは実際には「ind-有限」であることと同義である。

ポントリャーギン双対性を適用することで、アーベルプロ有限群は局所有限離散アーベル群と双対関係にあることがわかる。後者はまさにアーベルねじれ群である。

プロ有限群とは射影的であるのは、すべての拡張に対して持ち上げ特性を持つ場合である。これは、${\displaystyle G}$は、プロ有限からのすべての全射射に対して射影的である。${\displaystyle H\to G}$セクションがあります${\displaystyle G\to H.}$^{[ 7 ] [ 8 ]}

プロ有限群の射影性${\displaystyle G}$これは、次の2つの特性のいずれかに相当します。^{[ 7 ]}

• コホモロジー次元${\displaystyle \operatorname {cd} (G)\leq 1;}$
• すべての素数に対して${\displaystyle p}$シロー${\displaystyle p}$-サブグループの${\displaystyle G}$無料のプロ-${\displaystyle p}$-グループ。

すべての射影プロ有限群は、擬代数的に閉じた体の絶対ガロア群として実現できる。この結果は、 Alexander LubotzkyとLou van den Driesによるものである。^{[ 9 ]}

プロ有限群${\displaystyle G}$は位相的に単一の要素によって生成される場合はプロサイクリック${\displaystyle \sigma$ ;} つまり、もし${\displaystyle G={\overline {\langle \sigma \rangle }},}$サブグループの閉鎖${\displaystyle \langle \sigma \rangle =\left\{\sigma ^{n}:n\in \mathbb {Z} \right\}.}$^{[ 10 ]}

位相群${\displaystyle G}$周期的であるのは、${\displaystyle G\cong {\textstyle \prod \limits _{p\in S}}G_{p}}$どこ${\displaystyle p}$素数の集合の範囲${\displaystyle S}$そして${\displaystyle G_{p}}$は、${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$または${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} .}$^{[ 11 ]}

• ハウスドルフ完成
• 局所的に巡回する群
• プロpグループ
• プロ有限整数– 数論的概念 
• 残余性質（数学）
• 剰余有限群– 数学群の一種 

• マイケル・D・フリード;ジャーデン、モーシェ(2008)。フィールド演算。 Ergebnisse der Mathematik および ihrer Grenzgebiete。 3.フォルゲ。 Vol.  11 (第 3 改訂 版)。スプリンガー・フェルラーグ。ISBN 978-3-540-77269-9. Zbl 1145.12001 . 
• Nikolov, Nikolay; Segal, Dan (2007)、「有限生成プロ有限群について、I：強完全性と一様境界」、Annals of Mathematics、第2シリーズ、165 (1): 171–238、arXiv : math.GR/0604399、doi : 10.4007 /annals.2007.165.171。
• Nikolov, Nikolay; Segal, Dan (2007)、「有限生成プロ有限群について、II：準単純群における積」、Annals of Mathematics、第2シリーズ、165 (1): 239–273、arXiv : math.GR/0604400、doi : 10.4007/annals.2007.165.239。
• Lenstra、Hendrik (2003)、Profinite Groups (PDF) 、 Oberwolfachでの講演。
• Lubotzky, Alexander (2001)、「書評」、Bulletin of the American Mathematical Society、38 (4): 475–479、doi : 10.1090/S0273-0979-01-00914-4・プロ有限群に関する複数の書籍のレビュー。
• Serre、Jean-Pierre (1994)、Cohomologie galoisienne、数学講義ノート (フランス語)、vol.  5 (5 版)、シュプリンガー版、ISBN 978-3-540-58002-7MR 1324577、Zbl 0812.12002​  。 Serre, Jean-Pierre (1997)、ガロア コホモロジー、Patrick Ion 訳、Springer-Verlag、ISBN 3-540-61990-9、Zbl 0902.12004 
• Waterhouse, William C. (1974)、「プロ有限群はガロア群である」、アメリカ数学会紀要、42 (2)、アメリカ数学会: 639–640、doi : 10.1090/S0002-9939-1974-0325587-3、JSTOR 2039560、Zbl 0281.20031  。